1. Podana jest funkcja gęstości prawdopodobieństwa układu zmiennych losowych nieujemnych

Wyznaczyć k, p(x), p(y).

2. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną, wartość średnią oraz wariację zmiennej losowej o gęstości prawdopodobieństwa

3. Aparatura zawiera 2000 jednakowo niezawodnych elementów. Prawdopodobieństwo zepsucia się każdego z nich wynosi p=0,0005. Jakie jest prawdopodobieństwo, że aparatura przestanie działać, jeżeli ma to miejsce przy uszkodzeniu chociażby jednego elementu.

1. Dwuwymiarowa zmienna losowa dyskretna (X,Y) ma rozkład prawdopodobieństwa P(X=i,Y=j)=kq^i+j 0<q<1, i,j=0,1,2,... . Wyznaczyć stałą k, rozkłady brzegowe zmiennych losowych X,Y (P(X=i),P(Y=j)).

2. Niezależne próby aparatury powtarza się dotąd, dopóki aparatura nie przestanie działać. Prawdopodobieństwo zepsucia się aparatury nie zmienia się w poszczególnych próbach i jest równe p. Znaleźć dla niej wartość oczekiwaną ilości prób.

3. Znaleźć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej X o rozkładzie Pascala:

Wyznaczyć E(X), W(X) w oparciu o tą funkcję.

1. Znaleźć funkcję charakterystyczną i wszystkie momenty (EXⁿ , x€N) zmiennej losowej X o rozkładzie równomiernym w przedziale [a,b]

2. Blok składa się z przekaźnika A połączonego szeregowo z zespołem dwóch przekaźników B i C, które są ze sobą połączone równolegle. Przekaźnik A może nie działać z prawdopodobieństwem p₁, a B i C z jednakowym prawdopodobieństwem p₂. Oblicz średnią ilość włączeń bloku do pierwszego braku połączenia.

3. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y=x³. Zmienna losowa ma rozkład normalny o wartości średniej równej zero i wariacji równej [N(0,1)].

---