= +C α ≠ -1

= ln │x│+C {α = -1}

=

= -cos x +C

= sin x +C

= sin ax +C

= tg x +C

= -ctg x +C

= arc sin x +C

= arc cos x +C

= arc tg x +C

= arc ctg x +C

=

= ln│f (x)│+C

= F(b) - F(a)

∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) -∫f'(x)g(x) dx

tg = t

sin x =

cos x =

tg x =

ctg x =

dx =

sin² x = cos² x =

sin 2α = 2 sinα cosα cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1

sinα + sinβ = 2 sincos tgα + tgβ =

sinα - sinβ = 2 cossin tgα - tgβ =

cosα + cosβ = 2 coscos ctgα + ctgβ =

cosα - cosβ = -2 sinsin ctgα - ctgβ =

sinα sinβ = cosα = cos2 = cos² - sin²

cosα cosβ =

sinα cosβ =

sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ tg(α+β) =

cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ tg(α-β) =

sin(α-β) = sinα cosβ - cosα sinβ ctg(α+β) =

cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ ctg(α-β) =

def: f '(x₀) =

(a^x)'= a^x ln a

(ln x)' =

(sin ax)' = a cos ax (cos ax)'= - a sin ax

(tg ax)' = ∙a (ctg ax)' = ∙a

(tg² x)' = 2tg x

(arc sin x)'= (arc cos x)'=

(arc tg x)' = (arc ctg x)' =

(log_a x)' =

(sh x)' = ()' = ch x

(ch x)' = ()' = sh x

(th x)' = ()' =

(cth x)' = ()' =

(1+)^a/n = ℮ {(1+n)^1/n = ℮}

(1+)^n/a = ℮ {(1+)ⁿ = ℮}

(1+)ⁿ = ℮^a

= 1 = 1

= 1 { z de l'Hospitala} = 1 ; = 1 ; = 1

= 1 {bo ln (1+x) = ln(1+x)^1/x = ln ℮ = 1}

= 0

= {bo log_a (1+x) = log_a(1+x)^1/x = log_a ℮ = = }

= ln a {a>0}

S= {|q|<1 ; c. geometr. zbieżny} 1+2+3+∙∙∙+n =

1²+2²+3²+∙∙∙+n² =

Jeżeli dane są szeregi ∑ a_n ∑ b_n a ich wyrazy spełniają (od pewnego n) : 0 ≤ a_n ≤ b_n

{∑ a_n jest minorantą ∑ b_n natomiast ∑ b_n jest mojorantą ∑ a_n. }

to: z rozbierzności ∑a_n wynika rozbierzność ∑b_n natomiast ze zbieżności ∑b_n wynika zbieżność ∑a_n.

Tw o trzech ciągach: jeśli a_n = c_n = g natomiast wyrazy ciągu b_n spełniają a_n ≤ b_n ≤ c_n (począwszy od pewnego n)

to również b_n = g

War. konieczny zbieżn. szeregu: a_n = 0 {niewystarczający np. ∑jest rozb. chociaż = 0}

Kryt Dirichleta ∑ zbieżny gdy α > 1 rozbieżny gdy α ≤ 1

Kryt Cauchy'ego gdy = g to a_n zbieżny <=> 0 < g < 1 rozbieżny <=> gdy g >1 (g=1→niewiadomo)

∑ = = => zbieżny

Kryt d'Alemberta gdy = g to a_n zbieżny <=> 0 ≤ g < 1 rozbieżny <=> gdy g >1 (g=1→niewiadomo)

∑ = ∙ = itd. = < 1 => zbieżny

Kryt limensowe porównawcze ∑ a_n ∑ b_n jeśli istnieje = k (0 ≤ k < ∞) to ze zbieżności b_n wynika zbieżność a_n.

∑sin = 1 → => sin też rozb. = 1 → => tg też zbieżny.

Tw Leibnitz'a szereg ∑ (-1) a_n {nazyw. Przemiennym lub naprzemiennym} jest zbieżny jeżeli:

1˚ a_n > 0 2˚ a_n > a_n+1 3˚ a_n = 0.

---