7. Obliczanie całki potrójnej
Własności całek potrójnych wykorzystane do ich obliczania: obszar całkowania wolno dzielić na części składowe, całka sumy funkcji jest równa sumie całek poszczególnych składników, czynnik stały wolno wytyczyć przed znak całki.
Tw: Jeżeli P: a≤x≤b; e≤y≤d; p≤z≤g to
Całka iterowana
Ω: α1≤α≤α2; β1≤β≤β2; ν1≤ν≤ν2
W całce iterowanej funkcja F(α,β,ν) jest najpierw całkowana względem ν, przy tym α i β traktuje się jako , następnie otrzymany wynik całkuje względem β, a α traktuje się jako . następnie otrzymany wynik całkuje się względem α.
8. Zmiana zmiennych w całce potrójnej
Tw: Jeżeli przekształcenie x=x(u,v,w) y=y(u,v,w) z=z(u,v,w) jest klasy C1 i wzajemnie jednoznaczne w obszarze Ω oraz jakobian
, to
W przypadku gdy obszar całkowania jest walcem, kulą lub częściom z tych brył wskazane jest zamienić współrzędne prostokątne na współrzędne walcowe:
x=rcosϕ r≥0 y=rsinϕ 0<ϕ≤2∏ z=z -∞<z<∞
Wzór na zamiane zmiennych we współrzędnych walcowych:
9. Całka krzywoliniowa nieskierowana
Dany jest na płaszczyźnie R2 łuk zwykły o końcach AB
L=AB o równaniach parametrycznych
l: x=x(t), y=y(t), t∈<t1,t2) łuk ten nie ma określonego kierunku.
1)Łuk dzielimy na części l1,l2,l3,…ln o długościach Δli gdzie i=1,2,…,n, łn=maxΔli - maksymalna długość łuków częściowych, jest to średnia podziału 1≤i≤n jeśli łn→0 przy n→∞ podział normalny.
2)Na każdym łuku obieramy punkt pośredni Pi(ξi,ni) oraz tworzymy wartość funkcji w tym punkcie.
3)Tworzymy sumę całkową dla punktów Pi=Sn=Σϕ(ξi,ni)Δl.
Def: Jeżeli dla każdego normalnego podziału łuku l granica ciągu sum całkowych Sn jest właściwa, niezależna od wyboru punktów pośrednich, to taką granicę nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną funkcji ϕ(x,y) po łuku l i oznaczamy
Obliczenie całki krzywoliniowej nieskierowanej:
1)Jeśli l∈R2 ma równanie parametryczne l: x=x(t); y=y(t); t∈<t1,t2> to
2)Jeśli l∈R3 : l:x=x(t); y=y(t); z=z(t) t∈<t1,t2> to
3)Jeżeli l dany jest równaniem y=f(x), x∈<a,b>