4. Interpretacja fizyczna całek podwójnych
D-regularny obszar
q (x,y)- jest to gęstość D
Moment statyczny:
-moment statyczny
względem OX
-moment statyczny
względem OY
Środek ciężkości P (x0,y0)
Moment bezwładności:
-względem OX
-względem OY
-względem OZ
5. Zmiana zmiennych w całce podwójnej
Jeżeli przekształcenie x=φ(u,v) y=ψ(u,v) odwzorowuje płaski domknięty obszar regularny ∆ w płaszczyźnie zmiennych (u,v) na obszar domknięty, regularny ∆ w płaszczyźnie zmiennych (x,y)oraz: 10 funkcje φ i ψ są klasy C1 w obszarze ∆ (ciągłe ,różniczkowalne). 20 Funkcja f jest ciągła w obszarze D. 30 Odwzorowanie wnętrz jest wzajemnie jednoznaczne. 40 Wyznacznik funkcyjny Jakobian jest różny od zera wewnątrz ∆.
to:
Współrzędne biegunowe:
6. Całka potrójna. Interpretacja geometryczna (fizyczna)
Dany jest prostopadłościan P w przestrzeni Oxyz określony następująco :
oraz funkcja f(xyz) określona
tym prostopadłościanem:
10 Prostopadłościan ten dzielimy
na n prostopadłościanów Pi o
objętościach Vi tak by podział
był normalny tzn średnia podziału dąży do zera gdy n→∞. 20 W każdym prostopadłościanie Pi obieramy punkt pośredni Ai(xi,yi,zi) a następnie obliczamy wartość funkcji w punkcie pośrednim i tworzymy sumę całkową
Def.
Całka potrójna po prostopadłościanie-jeżeli ciąg sum całkowym Sn ma tą samą granicę przy każdym normalnym podziale prostopadłościanu P i jeżeli ta granica nie zależy od wyboru punktów pośrednich to granicę tę nazywamy całką potrójną funkcji F(x,y,z) i oznaczamy:
Interpretacja geometryczna całki potrójnej: 10 Jeżeli
V-objętość prostopadłościana
20 Jeżeli V jest objętością prostopadłościanu P, to liczbę f(c) gdzie cεP czyli:
nazywamy wartością
średnią funkcji f(x,y,z) w prostopadłościanie P.
Interpretacja fizyczna: -jeżeli u=u(x,y,z)-jest to gęstość objętościowa masy prostopadłościanu P to:
m-masa
Obliczanie całki potrójej: kolejność całkowania jest dowolna