Twierdzenie o różniczkowaniu: jeśli szereg funkcyjny:
jest zbieżny w przedziale P i ponadto każda z funkcji fn jest w nim różniczkowalna, oraz szereg pochodnych:
jest jednostajnie zbieżny w P, to funkcja:
19. CAŁKOWANIE (RÓŻNICZKOWANIE) SZEREGU FUNKCYJNEGO.
Twierdzenie o różniczkowaniu: jeśli szereg funkcyjny:
jest zbieżny w przedziale P i ponadto każda z funkcji fn jest w nim różniczkowalna, oraz szereg pochodnych:
jest jednostajnie zbieżny w P, to funkcja:
jest różniczkowalna i zachodzi równość:
Twierdzenie o całkowaniu: jeśli szereg funkcyjny :
Jest jednostajnie zbieżny w przedziale P i ponadto każda z funkcji fn jest w nim całkowalna, to funkcja :
Jest całkowalna i zachodzi równość :
Szereg o wyrazach dodatnich (an>o), malejących an = f(n) jest zbieżny lub nie , w zależności od tego czy całka niewłaściwa
jest zbieżna lub nie. Gdzie f(x)- jest to malejąca funkcja ciągła
Kryterium to stosuje się wtedy , kiedy istnieje taka funkcja f(x), że jej wartość dla n naturalnych pokrywają się z wyrażeniami badanego szeregu, czyli an = f(n), a która jest określona dla wszystkich x większych od pewnej dodatniej liczby a.
