Pochodne funkcji elementarnych:
(x
n
)’ = nx
n-1
x
x
2
1
)'
(
=
2
1
1
x
x
−
=
′
(a
x
)’ = a
x
ln a
x
x
1
)
(ln
=
′
a
x
x
a
ln
1
)
(log
=
′
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
x
x
2
cos
1
)
(tg
=
′
x
x
2
sin
1
)
(ctg
−
=
′
2
1
1
)
sin
(
x
x
arc
−
=
′
2
1
1
)
cos
(
x
arc
−
−
=
′
2
1
1
)
tg
(
x
arc
+
=
′
2
1
1
)
ctg
(
x
arc
+
−
=
′
(sh x)’ = ch x
(ch x)’ = sh x
x
ch
x
th
2
1
)
(
=
′
x
sh
x
cth
2
1
)
(
−
=
′
2
1
1
)
(
x
x
sh
ar
+
=
′
1
1
)
(
2
−
=
′
x
x
ch
ar
2
1
1
)
(
x
x
th
ar
−
−
=
′
2
1
1
)
(
x
x
cth
ar
−
=
′
)
(
)
(
]
)
(
[ln
x
f
x
f
x
f
′
=
′
Całki podstawowe
∫
=
C
dx
0
∫
+
=
+
1
1
n
x
dx
x
n
n
∫
=
x
dx
x
ln
1
∫
=
x
x
e
dx
e
∫
=
a
a
dx
a
x
x
ln
∫
−
=
x
xdx
cos
sin
∫
=
x
xdx sin
cos
x
x
dx
tg
cos
2
=
∫
x
x
dx
ctg
sin
2
−
=
∫
∫
=
x
ch
dx
x
sh
∫
=
x
sh
dx
x
ch
x
th
x
ch
dx
=
∫
2
x
cth
x
sh
dx
−
=
∫
2
∫
−
=
=
+
x
arc
x
arc
x
dx
ctg
tg
1
2
∫
−
=
=
−
x
arc
x
arc
x
dx
cos
sin
1
2
2
2
1
ln
1
x
x
x
sh
ar
x
dx
+
+
=
=
+
∫
1
ln
1
2
2
−
+
=
=
−
∫
x
x
x
ch
ar
x
dx
Całka przez części:
∫
∫
∫
′
⋅
−
⋅
=
=
′
=
=
′
=
′
=
=
′
⋅
dx
x
u
x
v
x
v
x
u
dx
v
x
v
dx
x
v
dx
x
u
x
u
dx
x
v
x
u
)
(
)
(
)
(
)
(
...
)
(
...
)
(
...
)
(
...
)
(
)
(
)
(
Całki prawie podstawowe:
∫
+
−
=
C
x
a
dx
ax
cos
1
sin
C
x
a
dx
ax
+
=
∫
sin
1
cos
∫
+
=
−
C
a
x
arc
x
a
dx
sin
2
2
C
x
a
x
a
x
arc
a
dx
x
a
+
−
+
=
−
∫
2
2
2
2
2
2
sin
2
∫
+
+
+
=
+
C
k
x
x
k
x
dx
2
2
ln
C
k
x
x
k
x
x
k
dx
k
x
+
+
+
+
+
=
+
∫
2
2
2
2
ln
2
Wzory rekurencyjne:
∫
−
−
=
=
1
n
x
n
x
n
n
nI
e
x
dx
e
x
I
∫
−
−
+
+
⋅
−
=
=
2
1
1
cos
sin
1
sin
n
n
n
n
I
n
n
x
x
n
xdx
I
2
1
1
sin
cos
1
cos
−
−
+
+
⋅
=
=
∫
n
n
n
n
I
n
n
x
x
n
xdx
I
∫
−
−
−
−
=
=
2
1
1
tg
tg
n
n
n
n
I
n
x
xdx
I
∫
−
−
−
−
+
−
−
=
=
2
1
1
2
sin
)
1
(
cos
sin
n
n
n
n
I
n
n
x
n
x
x
dx
I
2
1
1
2
cos
)
1
(
sin
cos
−
−
−
−
+
−
=
=
∫
n
n
n
n
I
n
n
x
n
x
x
dx
I
∫
−
−
−
−
+
+
−
=
+
=
1
1
2
2
2
2
3
2
)
1
)(
1
(
2
)
1
(
n
n
n
n
I
n
n
x
n
x
x
dx
I
Podstawienia:
(
)
dx
x
a
x
F
∫
−
2
2
,
, x = a sin t lub x = ar th t
(
)
dx
x
a
x
F
∫
+
2
2
,
, x = a ctg t lub x = ar sh t
(
)
∫
−
dx
a
x
x
F
2
2
,
,
t
a
x
cos
=
lub x = ar ch t
(
)
dx
x
x
x
F
q
p
q
p
∫
...
,
,
2
2
1
1
, x = t
r
, dx = r t
r-1
dt
[
]
∫
+
dx
b
ax
F
q
p
,...
)
(
1
1
, ax + b = t
r
,
dt
t
a
r
dx
r 1
−
=
dx
d
cx
b
ax
F
q
p
∫
+
+
,...
1
1
,
r
t
d
cx
b
ax
=
+
+
,
dt
ct
a
b
d
t
dx
r
r
′
−
−
=
(
)
∫
dx
x
x
x
F
tg
,
cos
,
sin
,
2
1
2
sin
t
t
x
+
=
,
2
2
1
1
cos
t
t
x
+
−
=
,
2
1
2
tg
t
t
x
−
=
,
2
tg
x
t
=
,
dt
t
dx
2
1
2
+
=
(
)
dx
x
x
x
x
F
∫
⋅
cos
sin
,
cos
,
sin
2
2
,
2
2
2
1
sin
t
t
x
+
=
,
2
2
1
1
cos
t
x
+
=
,
2
1
cos
sin
t
t
x
x
+
=
⋅
, t = tg x ,
dt
t
dx
2
1
1
+
=
r = NWW(q1,q2...
)
Funkcje trygonometryczne:
∫
⋅
dx
bx
ax cos
sin
stosować:
(
)
(
)
[
]
β
α
β
α
β
α
−
+
+
=
⋅
sin
sin
cos
sin
2
1
∫
⋅
dx
bx
ax sin
sin
stosować:
(
)
(
)
[
]
β
α
β
α
β
α
+
−
−
=
⋅
cos
cos
sin
sin
2
1
∫
⋅
dx
bx
ax cos
cos
stosować:
(
)
(
)
[
]
β
α
β
α
β
α
−
−
+
=
⋅
cos
cos
cos
cos
2
1
xdx
x
x
l
m
k
n
dx
x
x
m
n
m
n
cos
)
sin
1
(
sin
1
2
2
cos
sin
2
1
2
∫
∫
−
−
=
+
=
=
⋅
i podstawić:
t
x
=
sin
dx
x
x
l
m
k
n
dx
x
x
l
k
m
n
∫
∫
−
=
=
=
⋅
)
sin
1
(
sin
2
2
cos
sin
2
2
wymnażamy, rozbijamy, rekurencyjnie
∫
∫
∫
∫
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
=
⋅
−
−
...
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
2
2
2
2
x
x
dx
x
x
dx
dx
x
x
x
x
x
x
dx
m
n
m
n
m
n
m
n
Obliczanie figur
r.normalne
r.parametryczne
r.biegunowe
pole f. płaskich
∫
=
b
a
dx
x
f
P
)
(
dt
t
x
t
y
P
∫
′
⋅
=
β
α
)
(
)
(
∫
=
β
α
ϕ
ϕ
d
f
P
)
(
2
1
2
długość łuku
(
)
∫
′
+
=
b
a
dx
x
f
L
2
)
(
1
(
) (
)
∫
′
+
′
=
β
α
dt
t
y
t
x
L
2
2
)
(
)
(
∫
+
=
β
α
δ
δ
ϕ
d
d
dr
r
L
2
2
)
(
objętość bryły
∫
=
b
a
dx
x
f
V
)
(
2
π
∫
′
⋅
=
β
α
π
dt
t
x
t
y
V
)
(
)
(
2
pow.bocz. bryły
(
)
∫
′
+
=
b
a
dx
x
f
x
f
S
2
)
(
1
)
(
2
π
(
) (
)
dt
t
y
t
x
t
y
S
∫
′
+
′
=
β
α
π
2
2
)
(
)
(
)
(
2
sh-sinus hiperboliczny
ch-cosinus hiperboliczny
cth-cotanhens hiperboliczny
th-tangens hiperboliczny
ar-arcus
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wzory na całki i pochodne, Budownictwo UTP - Isem
Podstawowe wzory na całki
Podstawowe wzory na całki, Studia, Zarządzanie, Matematyka w ekonomii i zarządzaniu
calki wzory na egzam, Studia, Matematyka wyższa ;p
wzory na pochodne (2)
wzory na pochodne, AM1
ŻEL NA TIPSIE, tipsy i wzory na paznokcjie
wzory na mn
wzory na kolokwium
wzory do liczenia pochodnej
wzory na logarytmy
Elektrodynamika wzory na koło I
Wzory na ażurowe sweterki cz 5
całki pochodne itd
Wzory na statystyke
WZORY NA II KOLOSA
wzory na kolokwium
matematyka wzory na 1 egzamin
więcej podobnych podstron