1. Operacje na wektorach:

• dodawanie dwóch wektorów jest przemienne i jest łączne:

$$\overline{A} + \overline{B} = \overline{B} + \overline{A}$$

$$\left( \overline{A} + \overline{B} \right) + \overline{C} \neq \overline{A} + (\overline{B} + \overline{C})$$

• mnożenie wektora przez skalar:

$$\alpha\left( \overline{A} + \overline{B} \right) = \alpha\overline{A} + \overline{B}$$

• iloczyn skalarny wektorów:

$$\overline{A} \bullet \overline{B} \equiv ABcos\theta$$

• iloczyn wektorowy wektorów

$$\overline{A} \times \overline{B} \equiv \hat{n}\text{AB}\sin\theta$$

2. Algebra wektorów – zapis za pomocą współrzędnych

• dodawanie dwóch wektorów:

$$\overline{A} + \overline{B} = \left( \text{Ax}\hat{x} + Ay\hat{y} + Az\hat{z} \right) + \left( \text{Bx}\hat{x} + By\hat{y} + Bz\hat{z} \right) = \left( Ax + Bx \right)\hat{x} + \left( Ay + By \right)\hat{y} + (Az + Bz)\hat{z}$$

• mnożenie przez skalar:

$$\alpha A = \alpha Ax\hat{x} + \alpha Ay\hat{y} + \alpha Az\hat{z}$$

• iloczyn skalarny wektorów:

$$\hat{x} \bullet \hat{x} = \hat{y} \bullet \hat{y} = \hat{z} \bullet \hat{z} = 1$$

$$\hat{x} \bullet \hat{x} = \left| \hat{x} \right| \bullet \left| \hat{x} \right| \bullet \cos{0} = 1 \bullet 1 \bullet 1 = 1$$

$$\hat{x} \bullet \hat{y} = \hat{x} \bullet \hat{z} = \hat{y} \bullet \hat{z} = 0$$

$$\overline{A} \bullet \overline{B} = \left( \text{Ax}\hat{x} + Ay\hat{y} + Az\hat{z} \right) \bullet \left( \text{Bx}\hat{x} + By\hat{y} + Bz\hat{z} \right) = AxBx + AyBy + AzBz$$

$$\overline{A} \bullet \overline{A} = AA = \text{Ax}^{2} + \text{Ay}^{2} + \text{Az}^{2}$$

• iloczyn wektorowy wektorów:

$$\overline{A} \times \overline{B} = \left( AyBz - AzBy \right)\hat{x} + \left( AzBx - AxBz \right)\hat{y} + (AxBy - AyBx)\hat{z}$$

$$\overline{A} \times \overline{B} = \begin{bmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \text{Ax} & \text{Ay} & \text{Az} \\ \text{Bx} & \text{By} & \text{Bz} \\ \end{bmatrix}$$

• iloczyn mieszany wektorów (prawo zamienności):

$$\left( \overline{A} \times \overline{B} \right) \bullet \ \overline{C} = \left( \overline{B} \times \overline{C} \right) \bullet \overline{A} = (\overline{C} \times \overline{A}) \bullet \overline{B}$$

3. Wektory położenia, przesunięcie i różnicy położeń:

• radialny wektor jednostkowy:

$\left| \overline{r} \right| = r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ $\overline{r} = r \bullet \hat{r}$ $\hat{r} = \frac{\overline{r}}{r}$

• wektor infinitezymalnego przesunięcia

$$d\overline{l} = dx\hat{x} + dy\hat{y} + dz\hat{z}$$

• wektor różnicy położeń dwóch punktów

$$\left| \overline{R} \right| \equiv \overline{r} - \overline{r}'$$

4. Pochodna jednej zmiennej

$df = \left( \frac{\text{df}}{\text{dx}} \right)\text{dx}$ $\frac{\text{df}}{\text{dx}}$ – nachylenie wykresu f(x)

5. Gradient funkcji – mnożenie wektora ∇ przez funkcje skalarną T – jest wektorem

$$\nabla T = gradT = \hat{x}\frac{\partial T}{\partial x} + \hat{y}\frac{\partial T}{\partial y} + \hat{z}\frac{\partial T}{\partial z}$$

$$dT = \nabla T \bullet d\overline{l}$$

$$dT = (\hat{x}\frac{\partial T}{\partial x} + \hat{y}\frac{\partial T}{\partial y} + \hat{z}\frac{\partial T}{\partial z}) \bullet (\hat{x}dx + \hat{y}dy + \hat{z}dz)$$

$$dT = \nabla T \bullet d\overline{l} = |\nabla T||d\overline{l}| \bullet \cos\theta$$

6. Dywergencja - iloczyn skalarny wektora ∇ i wektora $\overline{A}$ – jest skalarem

$$\nabla \bullet \overline{A} = div\ \overline{A}$$

$$\nabla \bullet \overline{A} = \left( \hat{x}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{y}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{z}\frac{\partial}{\partial z} \right) \bullet \left( \text{Ax}\hat{x} + Ay\hat{y} + Az\hat{z} \right) = \frac{\partial Ax}{\partial x} + \frac{\partial Ay}{\partial y} + \frac{\partial Az}{\partial z}$$

7. Rotacja – iloczyn wektorowy wektora ∇ i wektora $\overline{A}$

$$\nabla \times \overline{A} = \begin{bmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \text{Ax} & \text{Ay} & \text{Az} \\ \end{bmatrix} = \hat{x}\left( \frac{\partial Az}{\partial y} - \frac{\partial Ay}{\partial z} \right) + \hat{y}\left( \frac{\partial Ay}{\partial z} - \frac{\partial Az}{\partial x} \right) + \hat{z}(\frac{\partial Ay}{\partial x} - \frac{\partial Ay}{\partial y})$$

8. Dywergencja gradientu funkcji skalarnej – laplasjan funkcji skalarnej

$$\nabla \bullet \left( \nabla T \right) = \nabla^{2}T = T = \frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}T}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}T}{\partial z^{2}}$$

9. Laplasjan funkcji wektorowej

$$\overline{A} = \left( Ax \right)\hat{x} + \left( Ay \right)\hat{y} + (Az)\hat{z}$$

10. Gradient dywergencji funkcji wektorowej

$$\text{grad\ }\left( \text{div\ }\overline{A} \right) = \ \nabla(\nabla \bullet \overline{A})$$

11. Całka krzywoliniowa z funkcji wektorowej po krzywej zamkniętej ( cyrkulacja pola wektorowego)

$$\oint_{}^{}\overline{A}d\overline{l} = \oint_{}^{}{|\overline{A}}|\ |d\overline{l}| \bullet \cos{\alpha = \oint_{}^{}{\text{A\ d}\overline{l}}}$$

$$\oint_{}^{}{\overline{A} \bullet d\overline{l}} = \int_{\Gamma_{1}}^{}{\overline{A}d\overline{l}} + \int_{\Gamma_{2}}^{}\overline{A}d\overline{l}$$

12. Cyrkulacja wektora po obwodzie elementarnego kwadratu. Rotacja pola wektorowego – definicja

$$\oint_{\square}^{}{\overline{A}d\overline{l}} = \left( \frac{\partial Ay}{\partial x} - \frac{\partial Ax}{\partial y} \right)xy = {(\nabla \times \overline{A})}_{z} \bullet s = (\nabla \times \overline{A}) \bullet \hat{n} \bullet s$$

13. Podstawowe twierdzenie dla rotacji funkcji wektorowej (wzór Stokesa). Cyrkulacja dookoła dowolnej krzywej zamkniętej

$$\oint_{\Gamma}^{}\overline{A} \bullet d\overline{l} = \int_{s}^{}{(\nabla \times \overline{A}}) \bullet d\overline{s}$$