Metoda Lagrange’a: L_n(x)=$\sum_{\mathbf{i = 0}}^{\mathbf{n}}\mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{\bullet}\prod_{\begin{matrix} \mathbf{k = 0} \\ \mathbf{k \neq i} \\ \end{matrix}}^{\mathbf{n}}\frac{\mathbf{x -}\mathbf{x}_{\mathbf{k}}}{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{k}}}$

Iloraz różnicowy: Y_{i,i+1,…,i+k-1,i+k}=$\frac{Y_{i + 1,\ldots,i + k} - Y_{i,i + 1,\ldots,i + k - 1}}{X_{\text{ik}} - X_{i}}$

N₃(X)=y₀+y₀₁(x-x_o)+y₀₁₂(x-x_o)(x-x₁)+ y₀₁₂₃(x-x_o)(x-x₁)(x-x₂)

M. Trapezów: n+1=2 n=1 ∫_a^bf(x)dx=b-a//2 [f(a)-f(b)]+R_T

R_T=-(b-a)³/12 *f^II(ζ)

M. Simpsona: n+1=3 n=2 ∫_a^bf(x)dx=b-a//6 [f(a)+4f(a+b//2)+f(b)]

R_S=-(b-a)⁵/2880 *f^IV(ζ)

Metody złożone wyzn. Funkcji: ∫_a = xo^b = x_mf(x)dx = ∫_xo^x₁f(x)dx + ∫_x1^x₂f(x)dx + … + ∫_xm − 1^x_mf(x)dx gdzie m-il.częśći skok: h=b-a//m

X_i= X_i-1+h=X_o+ih=a+ih gdzie i=1,2…m

Metoda złożona trapezów:

$$\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx}} \triangleq \frac{b - a}{2m}\lbrack f\left( a \right) + f\left( b \right) + 2\sum_{i = 1}^{m - 1}{f\left( a + ih \right)}\rbrack$$

Dla m=4: $\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx}} \triangleq \frac{b - a}{2m}\lbrack f\left( a \right) + f\left( b \right) + 2\lbrack f\left( a + h \right) + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\left( a + 2h \right) + f\left( a + 3h \right)\rbrack\rbrack$

R_TZ=$\frac{{- (b - a)}^{3}}{12m2}$*f^II(ζ) War: If^II(ζ)I≤$\operatorname{}{If"(x)I}$

|∫_a^bf(x)dx−T_z| ≤ |R_TZ|

Metoda złożona SIMPSONA:

$$\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx}} \triangleq \frac{b - a}{12m}\lbrack f\left( a \right) + f\left( b \right) + 2\sum_{i = 1}^{m - 1}{f\left( a + ih \right)} + 4\sum_{i = 1}^{m}{f\left( a + \left( i - \frac{1}{2} \right)h \right)}\rbrack$$

Dla m=4: $\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx}} \triangleq \frac{b - a}{12m}\{ f\left( a \right) + f\left( b \right) + 2\left\lbrack f\left( a + h \right) + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\left( a + 2h \right) + f\left( a + 3h \right) \right\rbrack + 4\lbrack f\left( a + \frac{1}{2}h \right) + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\left( a + \frac{3}{2}h \right) + f\left( a + \frac{5}{2}h \right) + f\left( a + \frac{7}{2}h \right)\}$

R_TS=$\frac{{- (b - a)}^{5}}{2880m^{4}}$*f^IV(ζ) War: If^IV(ζ)I≤If^IV(x)I

|∫_a^bf(x)dx−S_z| ≤ |R_TS|

Numeryczne rozwiązywanie równań z 1niewiadomą:

1. f(x)=0 <a,b>

2. f(a)*f(b)≤0 1pierwiastek lub nieparzysta ilość. Albo 0 albo a lub b będzie rozwiązaniem x₀,x₁…x_n=α → α f(x_n)≤ε ε-dokładność

Metoda Bisekcji x₀=a+b//2 i wychodzą 2przedziały <a,x_o> <x_o,b> i jest <-+> i <++> więc bierzemy pierwszy(_i niby to przedział<a₁,b₁ itd.) i dalej i mamy <a,x₁><x₁,x_o> i jest < -- > i <-+> więc drugi dalej.

1. Robimy to co ↑. Aż otrzymamy X_n=a_n+b_n/2

2. f(x_n)≤ε_x Iα-x_nI≤ ε_x b-a//2ⁿ⁺¹≤ ε_x Z tej równości wyliczamy liczbe kroków metody bisekcji równą n potrzebną do wyznaczenia rozwiązania równania 1. Z dokładnością ε_x Iα-x_oI≤ b-a//2 Iα-x₁I≤ b-a//2² … Iα-x_nI≤ b-a//2ⁿ⁺¹ log₂( b-a//2ⁿ⁺¹ )≤log₂ε_x n≥log₂(b-a// ε_x)-1

3. n=$\left\lceil \operatorname{}{\left( \frac{b - a}{\varepsilon_{x}} \right) - \left. \ 1 \right\rceil} \right.\ $ zaokrąglenie w ↑ do całkow

Metoda Newtona: f(x)=0 <a,b> f(a)*f(b)≤0 f’(x)w<a,b> ma stały znak czyli f’(x)≠0 (→ g(x)=0) f’’(x)w<a,b> ma stały znak czyli f’’(x)≠0 (→ g(x)=0)

X_o: f(x_o)*f’’(x_o)>0 →x_o=a lub b Wzór$\left\{ \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \right.\ $: x_i=x_i-1-$\frac{f(x_{i - 1})}{f'(x_{i - 1})}$ i=1,2,…,n x_o

M. siecznych: f’(x_i-1)=$\frac{f\left( x_{i - 1} \right) - f\left( x_{i - 2} \right)}{x_{i - 1} - x_{i - 2}}$ $\left\{ \begin{matrix} x_{0} \\ x_{1} \\ \end{matrix} \right.\ $ i x_i= x_i-1-f(x_i-1)*$\ \frac{\left( x_{i - 1} \right)\ x_{i - 2}}{f\left( x_{i - 1} \right) - f\left( x_{i - 2} \right)}$

I=2,3…n W4: Ix_o-x₁I> Ix₁-x₂I>… >Ix_n-1-x_nI

M Eulera: Y_i=Y_i-1+hf(t_i-1,Y_i-1) h=tn-to//n warunki: y’=f(t,y) y(to)=yo

RK: Y_i=Y_i-1+(1/6)(K₁+2K₂+2K₃+K₄) i=1,2,…n gdzie K₁=hf(t_i-1,Y_i-1)

K₂=hf(t_i-1+(h/2),Y_i-1+(K₁/2)) K₃=hf(t_i-1+(h/2),Y_i-1+(K₂/2)) K₄=hf(t_i-1+h,Y_i-1+K₃