Ćwiczenie 11.1.

Wyznaczyć granice

Wskazówka
[pokażschowaj]

Należy sprawdzić, czy wolno zastosować regułę de l'Hospitala, to znaczy czy odpowiednie funkcje są różniczkowalne w odpowiednim sąsiedztwie, czy ułamek jest symbolem nieoznaczonym
lub
i czy istnieje granica ilorazu pochodnych. Jeśli wszystkie założenia są spełnione, stosujemy regułę de l'Hospitala.

Rozwiązanie
[pokażschowaj]

W kwadratowych nawiasach wpisujemy, jaki symbol pojawia się w danym wyrażeniu. Przypominamy, że bardzo ważne jest upewnić się, czy odpowiedni iloraz spełnia założenia reguły de l'Hospitala, to znaczy czy odpowiednie funkcje są różniczkowalne w odpowiednim sąsiedztwie, czy ułamek jest symbolem nieoznaczonym
lub
i czy istnieje granica ilorazu pochodnych. Literka
pod znakiem równości oznacza, że stosujemy regułę de l'Hospitala i wobec tego równość jest prawdziwa tylko pod założeniem, że granica po jej prawej stronie istnieje. Jeśli granica ta nie istnieje, nie ma równości!

a) Ułamek występujący w granicy
nie prezentuje symbolu nieoznaczonego, zatem tu nie wolno stosować reguły de l'Hospitala! Mamy

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Ćwiczenie 11.2.

Wyznaczyć granice

Wskazówka
[pokażschowaj]

Z jakim symbolem nieoznaczonym mamy tu do czynienia? Jak inaczej zapisać wyrażenie, którego granicę liczymy, aby móc skorzystać z reguły de l'Hospitala? Warto tu sobie przypomnieć zasadę poznaną jeszcze w szkole podstawowej i ją trochę odwrócić: Jeśli mnożymy przez pewną liczbę niezerową, to dzielimy przez... (przez co?). Ponadto warto przypomnieć sobie wartość granicy
.

Rozwiązanie
[pokażschowaj]

Mamy tu do czynienia z symbolem nieoznaczonym
. Iloczyny zamieniamy na ilorazy zgodnie z regułą: Jeśli mnożymy przez liczbę niezerową, to dzielimy przez jej odwrotność. Można to oczywiście zrobić na dwa sposoby (biorąc odwrotność pierwszego lub drugiego czynnika), ale na ogół jedna z opcji jest korzystniejsza. Ogólna zasada jest taka, by po zróżniczkowaniu wyrażenie się upraszczało, a nie komplikowało.

a)

b)

c)

bo

Ćwiczenie 11.3.

Wyznaczyć granice

Wskazówka
[pokażschowaj]

Z jakim symbolem nieoznaczonym mamy tu do czynienia? Jak inaczej zapisać różnicę, by pojawił się iloraz albo iloczyn? Możliwych jest kilka dróg. Można coś wyjąć przed nawias. Można też zapisać odjemną i odjemnik w postaci ułamków i sprowadzić do wspólnego mianownika. W podpunkcie c) warto poprzekształcać wyrażenie, którego granicę mamy policzyć. Jeśli wymnożymy okrągły nawias przez czynnik za nim, jeden z trzech składników, jakie teraz otrzymamy, będzie symbolem oznaczonym (który?), natomiast z pozostałych dwóch można wyjąć wspólny czynnik przed nawias (jaki?).

Rozwiązanie
[pokażschowaj]

Mamy tu do czynienia z symbolem nieoznaczonym
.

a)

bo

b)

c) Przekształćmy najpierw wyrażenie pod granicą

Policzmy

A ponieważ
, więc

d)

bo

e)

f)

Ćwiczenie 11.4.

Wyznaczyć granice

Wskazówka
[pokażschowaj]

Z jakimi symbolami nieoznaczonymi mamy tu do czynienia? Przypomnijmy sobie, że wyrażenie typu
można przedstawić w postaci
. Dlaczego? Jak wygląda
? Zauważmy, że wystarczy teraz policzyć granicę
i tu mogą się przydać wskazówki do dwóch pierwszych zadań w tym module.

Rozwiązanie
[pokażschowaj]

W tym zadaniu pojawiają się symbole nieoznaczone typu wykładniczego:
. Przypominamy, że wyrażenie typu
można przedstawić w postaci
. Tej postaci będziemy używać, licząc odpowiednie granice.

a) Ponieważ
(porównaj rozwiązanie ćwiczenia 11.3. a)), mamy

b) Wobec zależności

(wykorzystujemy tu znaną zależność
), otrzymujemy

c) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że

i stąd wnioskujemy, że

d) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że

i stąd otrzymujemy

e) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że

i stąd otrzymujemy

f) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że

i stąd otrzymujemy

g) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że

i stąd otrzymujemy

h) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że

i stąd otrzymujemy

i) Zauważmy najpierw, że

a stąd
. Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że

i stąd otrzymujemy

j) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że

i stąd otrzymujemy

k) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że

i stąd otrzymujemy

l) Korzystając z reguły de l'Hospitala, wyliczamy, że

i stąd otrzymujemy

Ćwiczenie 11.5.

Zbadać, czy do następujących granic można stosować regułę de l'Hospitala. Policzyć te granice.

Wskazówka
[pokażschowaj]

a) Czy ułamek otrzymany po zróżniczkowaniu licznika i mianownika jest prostszy od ułamka początkowego? Czy kontynuowanie odpowiedniego różniczkowania doprowadzi w rezultacie do prostszych granic do policzenia? By policzyć tę granicę, warto sobie przypomnieć zasadę dzielenia potęg o tych samych podstawach. Proszę również pokazać, że tu założenia reguły de l'Hospitala są spełnione, czyli że iloraz pochodnych ma granicę.

b) Z jakim symbolem nieoznaczonym mamy tu do czynienia? Ile wynosi granica
? Czy pochodna mianownika wyrażenia, którego granicę mamy policzyć, jest niezerowa? By policzyć granicę, wystarczy wydzielić licznik i mianownik przez pewne wyrażenie.

c) Czy pochodna mianownika wyrażenia, którego granicę mamy policzyć, jest niezerowa? Czy szukana granica w ogóle istnieje?

Warto policzyć wartość ułamka dla pewnych ciągów zbieżnych do nieskończoności.

Rozwiązanie
[pokażschowaj]

a) W tym przypadku można formalnie korzystać z reguły de l'Hospitala, bo mamy symbol nieoznaczony
i granica iloczynu pochodnych istnieje, co pokażemy za chwilę. Jednakże iloczyn pochodnych jest bardziej skomplikowany niż iloczyn funkcji i ewentualne dalsze postępowanie tylko to potęguje

i dlatego znacznie wygodniej jest nie korzystać z reguły:

Zauważmy jeszcze, że

(czyli rzeczywiście istnieje granica iloczynu pochodnych) i tak dalej...

b) Mamy
. Z twierdzenia o granicy iloczynu funkcji ograniczonej przez funkcję zbieżną do zera
, zatem w badanej w tym punkcie granicy
mamy symbol nieoznaczony
. Jednakże nie można badać granicy ilorazu pochodnych
w nieskończoności, ponieważ mianownik tego ułamka zeruje się w punktach
dla dowolnego
naturalnego (w szczególności granica tego ilorazu nie istnieje). Natomiast

ponieważ
.

c) Ponownie mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym
, gdyż

Jednakże nie można badać granicy ilorazu pochodnych

bo jej mianownik zeruje się w punktach
, dla dowolnego
. Z drugiej strony badana granica nie istnieje z definicji Heinego, bo jeśli

to

Ćwiczenie 11.6.

Wyznaczyć asymptoty funkcji

Wskazówka
[pokażschowaj]

Jak sprawdzić, czy dana funkcja ma asymptotę prawo- lub lewostronną pionową
? Jak sprawdzić, czy dana funkcja ma asymptotę poziomą w plus lub minus nieskończoności? Jak wyznaczyć
i
, jeśli
jest asymptotą ukośną danej funkcji w plus lub minus nieskończoności?

Rozwiązanie
[pokażschowaj]

a) Dziedziną funkcji
jest cały zbiór liczb rzeczywistych, zatem musimy poszukać tylko ewentualnych asymptot ukośnych. Liczymy granice

Zatem funkcja
ma asymptotę poziomą
w
i asymptotę ukośną
w
.

b) Dziedziną funkcji
jest zbiór
. Liczymy granice (przy czym zauważmy, że
)

Zatem funkcja
ma asymptotę poziomą
w obu nieskończonościach i lewostronną asymptotę pionową
.

c) Dziedziną funkcji
jest zbiór
. Liczymy granice

Zatem funkcja
ma tylko jedną asymptotę: pionową prawostronną
.

d) Dziedziną funkcji
jest zbiór
. Liczymy granice

Pozostała do policzenia granica

bo:

Zatem funkcja
ma jedną lewostronną asymptotę pionową
i asymptotę ukośną o równaniu
w obu nieskończonościach.

e) Dziedziną funkcji
jest zbiór
. Liczymy granice

Zatem funkcja
ma tylko asymptotę ukośną
w obu nieskończonościach.

f) Dziedziną funkcji
jest zbiór
. Do policzenia zatem mamy tylko granice w nieskończonościach.

bo

Zatem
ma asymptotę poziomą
w obu nieskończonościach.

g) Dziedziną funkcji
jest cały zbiór liczb rzeczywistych, zatem wystarczy zbadać granice w nieskończonościach.

Zatem funkcja
ma tylko jedną asymptotę ukośną
w plus nieskończoności.

h) Dziedziną funkcji
jest suma przedziałów
. Musimy więc tylko, policzyć granicę w zerze.

Zatem
ma obustronną asymptotę pionową
.

---