Reguła de l'Hospitala

Efektywne wyznaczanie granic funkcji w przypadku symboli nieoznaczonych typu
,
często zdecydowanie upraszcza zastosowanie twierdzenia, które nazywamy regułą de l'Hospitala.

Twierdzenie 11.1.

Niech
będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale
, przy czym
. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych
i jest równa
. Jeśli istnieją granice funkcji

to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie
i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.

Dowód 11.1.

(szkic) Twierdzenie wykażemy w przypadku, gdy granica ilorazu pochodnych
jest skończona. Załóżmy również dodatkowo (aby uprościć dowód), że
. Niech
będzie dowolną liczbą taką, że
. Z twierdzenia Cauchy'ego wynika, że dla pewnej liczby
zachodzi równość:

czyli

gdyż

Wartość
zależy od wyboru
. Jeśli punkt
zmierza do
, punkt pośredni
również będzie zmierzał do
. Wobec tego w granicy przy
dostajemy równość:

Stąd jeśli istnieje granica ilorazu pochodnych
w punkcie
, to istnieje również granica ilorazu funkcji
w tym punkcie i są one równe.

Uwaga 11.2.

Zastosowanie wzoru z tezy reguły de l'Hospitala jest możliwe po sprawdzeniu, czy licznik i mianownik ułamka
spełniają wszystkie założenia podanego twierdzenia, tj.

- czy obie funkcje są różniczkowalne w sąsiedztwie punktu
,

- czy istnieje granica ilorazu pochodnych
w punkcie
,

- czy obie funkcje
oraz
zmierzają do zera w punkcie
.

Jeśli którekolwiek z tych założeń nie jest spełnione, nie należy stosować reguły de l'Hospitala, gdyż nie ma żadnej gwarancji, czy granica ilorazu pochodnych ma jakikolwiek związek z istnieniem i wartością granicy ilorazu funkcji. Pamiętajmy także, że zapis (którego w ramach wykładu będziemy unikać, a który jest powszechny w większości zbiorów zadań i w podręcznikach)

należy rozumieć w ten sposób, że uprzednio sprawdzono, iż spełnione są założenia reguły de l'Hospitala i - wobec tego - wnioskujemy o istnieniu granicy ilorazu funkcji i o równości tej granicy z granicą ilorazu pochodnych.

W wersji podanej powyżej reguła de l'Hospitala stanowi narzędzie do badania istnienia granic ilorazu
w przypadku nieoznaczoności typu
. Prawdziwe jest również następujące twierdzenie

Twierdzenie 11.3.

Niech
będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale
, przy czym
. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych
i jest równa
. Jeśli istnieją granice funkcji

to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie
i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.

Dowód tego twierdzenia pomijamy. Zwróćmy jednak uwagę, że mając narzędzie do badania istnienia granicy ilorazu funkcji
w przypadku nieoznaczoności typu
, możemy go także użyć w przypadku nieoznaczoności typu
. Wystarczy bowiem iloraz
zastąpić odwrotnością ilorazu odwrotności funkcji
,
, tj.

gdyż iloraz
jest symbolem typu
, gdy
jest symbolem nieoznaczonym typu
.

Przykład 11.4.

Dla dowolnej liczby naturalnej
istnieje granica

Niech
. Iloraz
spełnia założenia reguły de l'Hospitala, gdyż obie funkcje są różniczkowalne w
, iloraz
stanowi symbol nieoznaczony
przy
i istnieje granica ilorazu pochodnych

Stąd istnieje

Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej
prawdziwa jest implikacja

Skoro istnieje
, to istnieje granica ilorazu pochodnych funkcji
i
, gdyż

gdy

Z reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje
Na mocy zasady indukcji matematycznej granica
istnieje dla dowolnej liczby naturalnej
.

Wniosek 11.5.

Jeśli
jest dowolnym wielomianem, to
. Innymi słowy: funkcja wykładnicza
zmierza do nieskończoności szybciej niż jakikolwiek wielomian.

Dowód 11.5.

Każdy wielomian jest sumą skończonej liczby jednomianów
. Skoro iloraz dowolnego jednomianu i funkcji wykładniczej zmierza do zera, to na podstawie twierdzenia o granicy sumy wnioskujemy, że suma ilorazów

także zmierza do zera, gdy
.

Rysunek do dowodu 11.6.

Wniosek 11.6.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej
istnieje
.

Dowód 11.6.

Dla dowolnej liczby
potrafimy znaleźć liczbę naturalną
większą od
. Wówczas dla
mamy

Skoro
, gdy
, to na podstawie twierdzenia o trzech ciągach istnieje
.

W poprzednim module rozważaliśmy funkcję

i pozostawiliśmy bez dowodu stwierdzenie, że

Uwaga 11.7.

Funkcja
ma w punkcie
pochodne dowolnie wysokiego rzędu równe zeru.

Dowód 11.7.

Dla
iloraz różnicowy
. Z kolei dla
mamy

,gdzie

.

Zauważmy, że
, gdy
. Ponieważ istnieje granica
, więc istnieje również granica
Stąd istnieje
. Dla
wyznaczamy pochodną, korzystając z twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji i dostajemy (po uwzględnieniu istnienia pochodnej w zerze)

Rozważmy następnie iloraz różnicowy
. Dla
mamy
, natomiast gdy
zachodzi równość

gdzie

Podobnie jak poprzednio, ponieważ istnieje granica
, więc istnieje również granica

Stąd istnieje
. Wobec tego, że dla
mamy
, a dla dodatnich
- na mocy twierdzeń o pochodnej iloczynu oraz złożenia funkcji - zachodzi równość

Wobec tego druga pochodna
istnieje w każdym punkcie
i wyraża się wzorem

Kontynuując rozumowanie spostrzegamy, że dla dowolnej liczby naturalnej
pochodna rzędu
funkcji
wyraża się wzorem

gdzie
jest pewnym wielomianem zmiennej
(podstawiamy
). Wobec tego iloraz różnicowy w zerze pochodnej rzędu
funkcji
jest postaci

gdzie
jest także pewnym wielomianem. Po podstawieniu za
, wobec istnienia

granicy
wnioskujemy o istnieniu granicy
. W oczywisty sposób istnieje także granica ilorazu różnicowego przy
, więc istnieje
. Na mocy zasady indukcji matematycznej istnieje więc
dla dowolnej liczby naturalnej
.

Porównajmy zachowanie w sąsiedztwie zera oraz nieskończoności funkcji logarytmicznej i funkcji
, gdy
. Wykażemy, że

Uwaga 11.8.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej
istnieją granice

Dowód 11.8.

Obie funkcje
oraz
są różniczkowalne w prawostronnym sąsiedztwie zera i istnieją granice
oraz
. Ponadto iloraz pochodnych tych funkcji

zmierza do zera, gdy
dla dowolnej liczby
. Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje

Z kolei przy
mamy
,
dla
. Iloraz pochodnych tych funkcji

zmierza do zera przy
dla dowolnej liczby
. Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje także

Uwagę można podsumować krótko stwierdzeniem, że funkcja logarytmiczna zmierza do nieskończoności wolniej niż jakakolwiek potęga zmiennej
o dodatnim wykładniku. W sąsiedztwie zera z kolei funkcja logarytmiczna zmierza tak wolno do minus nieskończoności, że pomnożenie jej przez jakąkolwiek potęgę zmiennej
o dodatnim wykładniku stanowi wyrażenie zbieżne do zera.

Reguła de l'Hospitala pozwala łatwo wykazać istnienie szeregu ważnych granic.

Twierdzenie 11.9.

Istnieją granice

a)
,

b)
,

c)
,

d)
, dla dowolnej liczby
.

Dowód 11.9.

a) Funkcje
i
są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument
zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych
, gdy
. Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje
.

b) Funkcje
i
są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument
zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych
na mocy punktu a). Stąd istnieje także
.

c) Podobnie jak w obu poprzednich punktach
i
są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument
zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych
, gdy
. Stąd istnieje
.

d) Wyrażenie
stanowi przy
symbol nieoznaczony typu
. Przekształćmy je

Zauważmy, że wykładnik

gdyż na mocy poprzedniego punktu iloraz
zmierza do jedynki, gdy
zmierza do zera. Stąd wobec ciągłości funkcji wykładniczej istnieje granica

Zwróćmy uwagę, że z faktu istnienia granicy ciągu
, nie można wyciągnąć bezpośrednio wniosku o istnieniu granicy funkcji
przy
, stąd dowód punktu d) uwagi jest konieczny, aby stwierdzić, że granica ta istnieje.

[Edytuj]

Równość asymptotyczna

Niech
. Zauważmy, że istnienie skończonej granicy ilorazu
oznacza, że w pewnym sąsiedztwie punktu
funkcje
oraz
są w przybliżeniu równe, gdyż zgodnie z definicją granicy funkcji w punkcie
dla dowolnej liczby
istnieje

taka, że

o ile

co jest równoważne nierówności

czy też

w pobliżu punktu
. Podobnie, gdy
, istnienie skończonej granicy
oznacza, że dla dużych wartości argumentu
obie funkcje
oraz
są w przybliżeniu równe w tym sensie, że dla
potrafimy wskazać taką liczbę
, że na prawo od niej, tj. w przedziale
iloraz
różni się od stałej
o nie więcej niż
. Innymi słowy dla
mamy nierówność
.

Niech
będą funkcjami określonymi w prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu
(tj. w przedziale postaci
lub
, dla pewnego
, gdy
jest liczbą skończoną, bądź też w przedziale postaci
,
, gdy
lub
).

Definicja 11.10.

Mówimy, że funkcja
jest rzędu
w punkcie
, jeśli istnieje granica (prawo- lub lewostronna) ilorazu
w punkcie
i jest równa zeru.

Jeśli iloraz
jest ograniczony w pewnym prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu
, to mówimy, że funkcja
jest rzędu
w punkcie
.

Symbole
oraz
nazywamy symbolami Landaua. Czytamy je o małe oraz O duże od
.

Zauważmy, że jeśli
w punkcie
, to
w tym punkcie, ale nie na odwrót.

Uwaga 11.11.

Z twierdzenia o granicy sumy i granicy ilorazu dwóch funkcji wynikają natychmiast wzory stanowiące arytmetykę symboli
małe i
duże.

Często spotyka się symbole
małe i
duże w następujących przypadkach:

co oznacza, że iloraz
zmierza do zera przy

lub

gdy iloraz
jest ograniczony przy
.

W szczególności zapis

oznacza po prostu, że

zaś

piszemy, gdy różnica

jest ograniczona przy
.

Definicja 11.12.

Jeśli istnieją stałe
takie, że
, przy
(lub
), to prostą o równaniu
nazywamy asymptotą ukośną funkcji
przy
zmierzających do
(lub
). W szczególnym przypadku, gdy
mówimy, że funkcja
ma asymptotę poziomą o równaniu
.

Przypomnijmy także, że jeśli w pewnym punkcie
istnieje granica nieskończona
(lub
), to mówimy, że funkcja
ma w punkcie
asymptotę pionową prawostronną (odpowiednio: asymptotę pionową lewostronną)
. Jeśli prosta
jest zarówno prawo- i lewostronną asymptotą pionową funkcji
(czyli obie granice jednostronne
oraz
istnieją i są nieskończone), to mówimy krótko, że funkcja
ma asymptotę pionową
.

Uwaga 11.13.

Jeśli funkcja
ma asymptotę ukośną
w nieskończoności (odpowiednio: ma asymptotę ukośną
w minus nieskończoności), to

i odpowiednio:

Dowód 11.13.

Jeśli
, to
, gdy
. Stąd
.

Skoro
, to
, przy
. W przypadku asymptoty ukośnej w minus nieskończoności rozumowanie jest identyczne.

Rysunek do przykładu 11.14.(a)

Rysunek do przykładu 11.14.(b)

Przykład 11.14.

a) Funkcja
ma asymptotę poziomą
przy
, czyli
, gdy
. Nie ma asymptoty przy
.

b) Funkcja
ma przy
asymptotę poziomą
, a przy
asymptotę poziomą
. Możemy to też zapisać w postaci
przy
oraz
przy
.

c) Funkcja
ma przy
asymptotę ukośną
, a przy
asymptotę ukośną
, czyli
przy
oraz

przy
.

Rysunek do przykładu 11.14.(c)

Rysunek do przykładu 11.14.(d)

d) Funkcja
ma przy
oraz przy
asymptotę poziomą
, czyli
przy
.

e) Zauważmy także, że
przy
oraz
przy
.

Rysunek do przykładu 11.14.(e)

Rysunek do przykładu 11.14.(f)

f) Podobnie
przy
oraz
przy
.

Z powyższych przykładów wynika, że

Uwaga 11.15.

Funkcja
może mieć mieć asymptotę ukośną (lub poziomą) w plus nieskończoności daną innym równaniem niż asymptota ukośna w minus nieskończoności. Może też na przykład mieć wyłącznie asymptotę w minus nieskończoności i nie mieć asymptoty w plus nieskończoności. Stąd istnieje konieczność wyznaczenia granicy ilorazu
osobno przy
i

.

Przykład 11.16.

Wykazaliśmy już, że
, co można też zapisać
, przy
. Można też wykazać, że

Ogólnie z twierdzenia Taylora (które wykazaliśmy w poprzednim module) wynika, że

Uwaga 11.17.

Jeśli
jest funkcją
razy różniczkowalną w otoczeniu punktu
, to

[Edytuj]

Uwagi o efektywnym stosowaniu reguły de l'Hospitala

Zwróciliśmy już uwagę na fakt, że reguła de l'Hospitala -- podobnie jak każde twierdzenie -- wymaga przed zastosowaniem tezy sprawdzenia, czy spełnione są założenia twierdzenia. Jednak nawet w przypadku, gdy są spełnione założenia, nie ma gwarancji, czy rachunki w oparciu o wzór z tezy prowadzą krótką drogą do celu, jakim jest stwierdzenie czy istnieje oraz ile wynosi granica ilorazu dwóch funkcji.

Rozważmy następujący

Przykład 11.18.

Sprawdźmy, czy istnieje granica

Zauważamy, że iloraz funkcji
oraz
stanowi w punkcie
symbol nieoznaczony
. Obie funkcje są różniczkowalne w otoczeniu tego punktu, więc pozostaje zbadanie, czy istnieje granica ilorazu pochodnych
w punkcie
. Próba wyznaczenia ilorazu pochodnych prowadzi do otrzymania ułamków piętrowych, które nie zachęcają do dalszych przekształceń. Zauważmy jednak, że podstawienie
sprowadza zadanie do zbadania, czy istnieje granica

ilorazu dwóch wielomianów
oraz
w punkcie
, ponieważ
, gdy
. Iloraz
stanowi symbol nieoznaczony
w punkcie
. Sprawdzenie, czy istnieje granica ilorazu pochodnych tych wielomianów jest bardzo proste

gdy

Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje granica
i jest równa
.

Przykład 11.19.

Zbadajmy, czy funkcja
ma asymptotę ukośną. Stwierdzamy, że iloraz
, gdy
. Następnie stajemy przed zadaniem wyznaczenia granicy różnicy
przy
. Wyrażenie to stanowi symbol nieoznaczony typu
. Przekształćmy je:

Ułamek o liczniku
oraz mianowniku
stanowi symbol nieoznaczony typu
przy
. Licznik i mianownik są funkcjami różniczkowalnymi w sąsiedztwie nieskończoności, tj. w przedziale typu
, dla pewnego
. Jednak już próba policzenia i uproszczenia pochodnej licznika jest dość nieprzyjemnym zadaniem. Zauważmy jednak, że podstawienie za
nowej zmiennej, znacznie uprości rachunki. Mamy bowiem

Stwierdzenie, czy istnieje granica ilorazu

przy

(ponieważ
, gdy
) jest prostym zadaniem. Iloraz funkcji

oraz

stanowi symbol nieoznaczony typu
w punkcie
; obie funkcje są różniczkowalne w otoczeniu tego punktu. Wyznaczamy iloraz pochodnych i potrzebną granicę

gdy

Z reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje granica ilorazu
i jest równa
. Stąd ostatecznie wnioskujemy, że prosta
jest asymptotą ukośną funkcji
przy
. Podobne obliczenia pozwalają stwierdzić, że ta sama prosta jest także asymptotą funkcji
przy
.

Źródło: "http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_11:_Regu%C5%82a_de_l%27Hospitala._R%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_asymptotyczna"

---