Politechnika Łódzka filia

w Bielsku - Białej

Laboratorium z Fizyki

Wyznaczanie pojemności kondensatora metodą drgań relaksacyjnych.

Wykonali:

W powyższym doświadczeniu zajęto się wyznaczaniem pojemności kondensatora metodą drgań relaksacyjnych.

Pojemność kondensatora definiujemy jako stosunek ładunku Q na okładkach do różnicy potencjałów U jaka występuje między nimi.

Jednostką pojemności jest 1F (farad).

Pojemność kondensatora zależy od kształtu okładek, ich wzajemnej odległości oraz od rodzaju ośrodka wypełniającego przestrzeń między nimi. W celu zwiększenia pojemności lub odporności na działanie wysokich napięć pojedyncze kondensatory łączy się w grupy. Są dwa sposoby łączenia kondensatorów: szeregowo i równolegle.

Pojemność zastępcza układu kondensatorów połączonych równolegle równa jest sumie pojemności wszystkich kondensatorów.

Pojemność zastępczą układu kondensatorów połączonych szeregowo można obliczyć ze

wzoru:

gdzie:

C_zs - pojemność zastępcza

C_i - pojemność kondensatora i

Jedną z metod wyznaczania pojemności kondensatora jest metoda drgań relaksacyjnych. Należy zbudować obwód zawierający opornik o oporze R, kondensator o pojemności C oraz neonówkę jak na rysunku poniżej.

Po zamknięciu obwodu płynie w nim prąd ładujący kondensator, a napięcie na elektrodach neonówki wzrasta i gdy osiąga wartość równą napięciu zapłonu opór neonówki gwałtownie maleje. Kondensator rozładowuje się przez neonówkę, aż do osiągnięcia napięcia gaśnięcia. Wtedy opór neonówki skokowo wzrasta, a proces powtarza się. Okres T procesu składa się więc z czasu ładowania i rozładowywania kondensatora.

gdzie:

U_z - napięcie zapłonu neonówki

U_g - napięcie gaśnięcia neonówki

Mierząc okres T drgań relaksacyjnych dla różnych znanych wartości oporu R i pojemności C można sporządzić wykres zależności T = f (RC), który powinien być prostą o współczynniku wychylenia (kierunkowym) K i przesunięciu t₀.

Należy sporządzić pomiary okresu T drgań relaksacyjnych, przy znanym oporze R i zmieniającej się znanej pojemności kondensatora C. Zmierzone wartości zostały zapisane w tabeli nr1. Na podstawie tych wyników metodą regresji wyznaczono współczynnik K i czas t₀. Metoda ta polega na oszacowaniu nieznanych parametrów (K i t₀) na podstawie próby statystycznej. Linia regresji populacji generalnej jest dana wzorem:

E{y_i}= α₀ + α₁ x_i

gdzie:

α₀, α₁ - nieznane parametry

x_i - zmienna objaśniająca

y_i - zmienna objaśniana

Dla próby równanie linii regresji zapisuje się w postaci:

W przypadku równania regresji dla badania pojemności kondensatora parametry K i t₀ odpowiadają estymatorom parametrów α₀, α₁ w równaniu linii regresji.

Jako, że zależność nie jest znana wyznacza się estymatory parametrów poszukiwanej funkcji regresji w oparciu o metodę najmniejszych kwadratów.

W przypadku jednej zmiennej objaśnianej poszukiwane parametry wyznacza się ze wzorów:

gdzie:

x - wartość średnia x

y - wartość średnia y

Błąd pomiaru określa się na podstawie współczynnika korelacji Persona pomiędzy zmienną objaśnianą y, a zmienną objaśniającą x R_xy, im ten współczynnik jest bliższym jedności tym pomiar był dokładniejszy. Współczynnik korelacji oblicza się ze wzoru:

Następnie podłączono kondensator o nieznanej pojemności C₁, C₂ i zmierzono okres

T drgań relaksacyjnych dla tych przypadków. Zmierzono także okres drgań dla połączenia szeregowego i równoległego tych kondensatorów. Na podstawie obliczeń i zmierzonych wartości obliczono nieznaną pojemność kondensatorów C₁, C₂ ze wzoru:

T_x = K R C + t₀

Przykład obliczeń został podany w tabeli poniżej

R [ MΩ ]	C [ μF ]	RC [ s ]	tn [ s ]	T [ s ]	K	T0
5	1	5	28,3	1,42	0,17	0,2
	2	10	58,2	2,91
	3	15	86,56	4,33
	4	20	107,61	5,38
	5	25	143,4	7,17
	6	30	189,27	9,46
	7	35	206,55	10,33
	8	40	240,01	12,00
	9	45	265,07	13,25
	10	50	320,14	16,01
C1	1,14		27,54	1,377
C2	7,43		225,26	11,263
Cs	0,91		20,34	1,017
Cr	9,04		275,92	13,796
Czs	0,99			δ1	7,8%
Czr	8,57			δ2	5,5%

gdzie:

• C_s - pojemność kondensatorów 1 i 2 połączonych szeregowo, pochodząca z pomiarów

• C_r - pojemność kondensatorów 1 i 2 połączonych równolegle, pochodząca z pomiarów

• C_zs - pojemność kondensatorów 1 i 2 połączonych szeregowo, pochodząca z obliczeń

• C_zr - pojemność kondensatorów 1 i 2 połączonych równolegle, pochodząca z obliczeń

δ1, δ2 - błędy względne obliczono ze wzorów:

Krzywa cechowania kondensatora

Parametry regresji:

a=1,57 [s/μF] b =0,42 [s]

C1[ μF ]	C2[ μF ]	Cs[ μF ]	Czs[ μF ]	δ [ % ]	Cr[ μF ]	Czr[ μF ]	δ [ % ]
1,14	7,59	0,91	0,99	7,8%	9,045	8,57	5,5%

Wnioski z ćwiczenia:

Po obliczeniu kolejno dla dziesięciu kondensatorów (o znanych pojemnościach) ich czasów ładowania za pomocą świetlówki i stopera zauważa się, że czasy te rosną liniowo. Metoda drgań relaksacyjnych jest obarczona niewielkim błędem metody. Można więc za jej pomocą dość dokładnie wyznaczać pojemność kondensatora. Jednakże można ją tylko stosować tylko, gdy założy się, iż czas ładowania kondensatora jest dużo większy od czasu rozładowania. Metoda ta nie może być stosowana do wyznaczania pojemności kondensatorów rzędu nF i pF.

Różnica pomiarów praktycznych z rozważaniami teoretycznymi wynika z niedokładności pomiarów oraz urządzeń.

---