Pomiar lepkości cieczy

Ćwiczenie nr 16

Opis teoretyczny

Lepkość jest własnością gazów i cieczy, która charakteryzuje opór podczas płynięcia. Właściwość ta jest mierzona ilościowo współczynnikiem lepkości η.

Weźmy warstwę cieczy o grubości h, ograniczoną płaszczyznami A i B. Sile zewnętrznej przeciwdziała siła lepkości cieczy i zgodnie z I zasadą Newtona mamy ruch jednostajny płyty B. W warstwie cieczy ustala się stały gradient prędkości. Dla większości cieczy spełniona jest zależność wprowadzona przez Newtona:

Ciecze spełniające powyższe prawo to ciecze newtonowskie. Współczynnik lepkości jest równy liczbowo wartości siły stycznej, która przyłożona do jednostkowej powierzchni przesuwanej wartości utrzymuje w tej warstwie przepływ laminarny ze stałym jednostkowym gradientem prędkości warstw:

Współczynnik ten odnosi się do tzw. lepkości dynamicznej dla odróżnienia od tzw. współczynnika lepkości kinetycznej:

Współczynnik lepkości w cieczach newtonowskich maleje wraz ze wzrostem temperatury zgodnie z zależnością:

gdzie: W - energia aktywacji

k - stała Boltzmanna

Wielkość A słabo zależy od temperatury i można ją uznać za stałą.

Metoda Stokesa

Ciało stałe poruszające się w ośrodku lepkim pociąga za sobą cząsteczki płynu, będące w bezpośrednim sąsiedztwie dzięki istnieniu miedzycząsteczkowych. Te cząsteczki pociągają za sobą dalsze z innych warstw. W pewnej odległości od ciała ośrodek nie będzie już zaburzony. Taki gradient prędkości związany jest z siłą lepkości, która jest proporcjonalna do prędkości ruchu ciała, wielkości powierzchni przekroju poprzecznego i zależy od kształtu ciała oraz współczynnika lepkości ośrodka. Dla ruchu ciała w kształcie kuli o promieniu r siła oporu lepkiego określona jest prawem Stokesa: T=6Πηrv.

Na kulę wykonaną z ciała stałego w ośrodku lepkim o danym współczynniku lepkości i danej gęstości działają siły ciężkości, oporu (Stokesa) i wyporu. Równanie tego ruchu ma postać:

gdzie: F_w = 4/3 Πr³ρg.

Równanie doprowadzamy do postaci:

po podstawieniu
otrzymujemy równanie różniczkowe:

,

które całkujemy dla v=0 dla t=0:

,

gdzie:
oraz
.

Otrzymujemy:

.

Wstawiając za masę m.=4/3 Πr³ρ_kg, otrzymujemy po przekształceniach:

.

Prędkość kuli rośnie, ale po pewnym czasie prędkość ustali się (siły się zrównoważą).

Prędkość ruchu jednostajnego wyniesie:

.

Po odpowiednich przekształceniach wzoru możemy obliczyć współczynnik lepkości cieczy:

,

gdzie: t - czas opadania kulki między rysami odległymi o l.

Uwzględniając skończone rozmiary rury pomiarowej o promieniu R należy wprowadzić poprawkę, co daje ostatecznie:

,

gdzie: V - objętość kulki.

Po odpowiednich uproszczeniach wzór ma postać:

.

Puaz - jednostka lepkości dynamicznej w układzie CGS;

.

Metoda Poiseuille'a

Podczas przepływu cieczy przez przewody występują opory lepkości spowodowane spadkami prędkości pomiędzy warstwami cieczy w różnej odległości od osi przewodu. Prędkość wzrasta od prędkości zerowej przy ściance rudy do największej w środku. Do pokonania tych oporów musi być wzięta pewna nadwyżka ciśnienia p₁-p₂. Przepływem cieczy przez rurki rządzi prawo Poiseuille'a, które wyraża się wzorem:

,

gdzie: V - objętość cieczy o danym współczynniku lepkości η przepływającej w ciągu sekundy przez rurkę o promieniu R i długości L przy różnicy ciśnień p₁-p₂ na końcach rurki.

Mamy więc:

Wyznaczenie bezwzględnego współczynnika lepkości z tego wzoru jest skomplikowane, dlatego wygodniej jest porównać jakieś dwie ciecze, biorąc stosunek ich bezwzględnych współczynników lepkości (wyznaczmy względny współczynnik lepkości):

,

gdzie: η₁ - współczynnik badanej cieczy,

η₂ - współczynnik lepkości wody w danej temperaturze.

Prawo Bernoulliego - jest to równanie opisujące trwałe niezmienne w czasie przepływy płynów pozbawionych lepkości, których gęstość ρ zależy jedynie od ciśnienia p. W przypadku jednorodnego płynu nieściśliwego znajdującego się w polu ciężkości o potencjale ρ=gh prawo Bernoulliego ma postać:

Wzór Poiseuille'a określa wypływ na sekundę, dlatego wypływ w ciągu czasu t₁ dla pierwszej cieczy będzie równy:

,

dla drugiej cieczy:

.

Ponieważ objętości są równe można porównać te wzory. Różnice ciśnień na końcach rurki są proporcjonalne do gęstości przepływających cieczy:

p₁'-p₂'=kd₁ i p₁''-p₂''=kd₂,

gdzie: d - gęstość badanej cieczy

k - współczynnik proporcjonalności.

Po skróceniu otrzymujemy:

, czyli
.

Przebieg doświadczenia i obliczenia

Metoda Poiseuille'a. Stosując się do tej metody, napełniliśmy wodą naczynie zakończone kapilarą. Następnie otworzyliśmy kurek i zmierzyliśmy stoperem czas opadania poziomu wody między górną a dolną kreską. Następnie przeprowadziliśmy analogicznie doświadczenie dla alkoholu i acetonu.

Aby obliczyć względny współczynnik lepkości danej cieczy korzystamy ze wzoru Poiseuille'a, czyli

Dla drugiej cieczy wzór jest analogiczny, ponadto V₁=V₂, czyli:

gdzie d - gęstość cieczy.

Stąd wyznaczamy względny współczynnik lepkości alkoholu:

d₂=0,998595 [g*cm^-3]- gęstość wody w temperaturze 18°C

η₁=0,01065 [g*cm^-1*s^-1] - lepkość wody w temperaturze 18°C

d₂=0,7901 [g*cm^-3]- gęstość alkoholu w temperaturze 18°C

oraz acetonu:

d₂=0,792 [g*cm^-3]- gęstość acetonu w temperaturze 18°C

Metoda Stokesa. Przy badaniu tej metody kilkakrotnie mierzymy czas przelotu różnych kulek między pierścieniami w cylindrze.

Najpierw jednak wyliczymy masy kulek, wykonanych z aluminium o gęstości ρ_AL=2,7g/cm³.

m₁=6,860 [g]

m₂=4,877 [g]

m₃=2,504 [g]

m₄=1,461 [g]

m₅=0,55 [g]

Następnie policzymy prędkości dla kulki I, dla różnych pierścieni 1-2, 2-3, 1-3.

L[m]	Np.	t1	t2	v1	v2
0,253	1-2	1,05	1,02	0,240952	0,248039
0,335	2-3	1,59	1,54	0,210692	0,217532
0,588	1-3	2,53	2,44	0,232411	0,240984

Jak widać prędkość ta jest prawie tak sama, więc ciało to porusza się ruchem ze stałą prędkością, czyli ruchem prostoliniowym.

Obliczamy współczynnik lepkości gliceryny, korzystając ze wzoru:

A po przekształceniach

Gdzie ρ_AL=2,7g/cm³ - gęstość aluminium, ρ_C=1,263 g/cm³ - gęstość gliceryny, g=981cm/s*s, R=3,4cm - promień cylindra, r - promień kulki, t - czas spadania przez pierścień, l - długość pierścienia.

Dla kulki I

l [cm]	Np.	t1	t2	η1	η2	η1[pauz]	η2[pauz]
25,3	l1-2	1,05	1,02	5,831	5,665	0,058	0,057
33,5	l2-3	1,59	1,54	6,669	6,459431	0,067	0,064
58,8	l1-3	2,53	2,44	6,046	5,830836	0,06	0,058

η_śrI=0,061[pauz]

Dla kulki II

l [cm]	Np.	t1	t2	η1	η2	η1[pauz]	η2[pauz]
25,3	l1-2	1,37	1,24	6,315	5,715	0,063	0,057
33,5	l2-3	1,78	1,72	6,196	5,987	0,062	0,06
58,8	l1-3	3,25	3,03	6,445	6,009	0,064	0,06

η_śrII=0,061 [pauz]

Dla kulki III

l [cm]	Np.	t1	t2	η1	η2	η1[pauz]	η2[pauz]
25,3	L1-2	1,68	1,71	5,335	5,431	0,053	0,054
33,5	L2-3	2,28	2,29	5,468	5,492	0,055	0,055
58,8	L1-3	3,94	3,85	5,384	5,261	0,054	0,053

η_śrIII=0,054 [pauz]

Dla kulki IV

l [cm]	Np.	t1	t2	η1	η2	η1[pauz]	η2[pauz]
25,3	l1-2	2,12	2,11	4,944	4,92	0,049	0,049
33,5	l2-3	2,91	2,84	5,125	5,001	0,051	0,05
58,8	l1-3	4,85	4,91	4,866	4,926	0,049	0,049

η_śrIV=0,05 [pauz]

Dla kulki V

l [cm]	Np.	t1	t2	η1	η2	η1[pauz]	η2[pauz]
25,3	l1-2	2,99	3,3	3,922	4,328	0,039	0,043
33,5	l2-3	4,13	4,19	4,091	4,15	0,041	0,041
58,8	l1-3	7,25	7,56	4,092	4,267	0,041	0,043

η_śrV=0,041 [pauz]

Wartość średnia współczynnika lepkości gliceryny wynosi η_śr=0,0534[pauz]

Wpływ na współczynnik lepkości ma także rurka cylindra. Gdy kulka spada w rurze cylindrycznej o promieniu R, występujące wówczas wpływy ścianek zmniejszają prędkość spadania tyle razy, ile wynosi wartość ułamka

Dla przykładu, gdy nie uwzględnimy tego ułamka, to wartość współczynnika lepkości dla kulki V będzie wynosić η_śrV=0,052 [pauz]. Różnica ta nie jest duża, jednakże bezpośrednio wpływa na wynik współczynnika lepkości gliceryny.

Ocena błędów oraz wnioski

Błąd wyznaczonych współczynników lepkości obliczymy metodą różniczki zupełniej. Obliczenia wykonałem w Excelu.

Dokładność stopera - Δt=0,01 s.

Metoda Poiseuille'a.

Metoda Stokesa.

Dokładność śruby mikrometrycznej - Δr=0,01 mm=0,001cm

Dokładność miarki milimetrowej - ΔR, Δl=1mm=0,1cm

Dla kulki K₁

Dla kulki K₂

Dla kulki K₃

Dla kulki K₄

Dla kulki K₅

Wyniki naszego doświadczenia są zbliżone z danymi tablicowymi.

	Wyniki z doświadczenia	Dane tablicowe
Alkohol	0,019296 [g/cm*s]	0,0124 [g/cm*s]
Aceton	0,006455 [g/cm*s]	0,00303 [g/cm*s]
Gliceryna	0,052 [pauz]	0,1656 [pauz]

Przy metodzie Poiseuille'a widać, iż wyniki nie są rozbieżne z danymi tablicowymi. Natomiast przy metodzie Stokesa widać rozbieżność bardzo dużą. Różnica ta jest spowodowana kilkoma czynnikami. Po pierwsze ważna jest temperatura badanej cieczy. W danych tablicowych, np. gęstość wody jest podana dla różnych temperatur, natomiast gęstość gliceryny jest dana tylko dla 18°C. To samo dotyczy współczynnika lepkości cieczy. Ponadto wpływ na odczyt miała także niedokładność ludzkiego oka oraz jego refleks, przy użyciu stopera. Dla metody Stokesa analiza błędów ukazała, iż błąd jest znaczny. Nasze doświadczenie wykazało, iż własnością cieczy jest lepkość, czyli opór podczas płynięcia.

5

9

10.12.1999

dr T. Biernat

Marcin Grześczyk

I rok „bis” - Fizyka

---