Celem ćwiczenia było zmierzenie wielkości charakterystycznych dla układu drgającego, w naszym przypadku był to współczynnik sztywności sprężyny.

Badaliśmy dwie sprężyny, wyznaczyliśmy ich współczynniki sprężystości trzema metodami.

WSTĘP

1. Drgania układów liniowych o jednym stopniu swobody.

Jako współrzędna uogólnioną przyjmiemy przemieszczenie x masy m i będziemy je odmierzać od położenia równowagi statycznej układu. Równania dynamiczne ruchu masy m otrzymamy korzystając z II prawa Newtona.

mx = -S - R + G + P.

gdzie:

P=P(t) - zewnętrzna siła działająca na układ, zwana siłą wymuszającą ;

G = mg - ciężar ciała o masie m. ;

S - siła sprężystości ;

R - siła oporu tłumika ;

Przy założeniu, że odkształcenia sprężyny są niewielkie można przyjąć, że siła S jest liniową funkcją x

S =k ( x + δ_st )

Współczynnik k nazywa się współczynnikiem sztywności sprężyny. Wymiar współczynnika k wynosi [ N/m. ]. Natomiast wzór

δ_st = G / k

wyznacza ugięcie statyczne sprężyny, wywołane ciężarem G.

Pozostając na gruncie układów liniowych przyjmujemy, że siła oporu jest proporcjonalna do prędkości ruchu ciała o masie m. :

R = c x

Jeżeli uwzględnimy zależność δ_st , otrzymamy poszukiwane równanie drgań w postaci :

mx + cx + kx = P(t)

Opis metod wyznaczania wsp. sprężystości:

Metoda I

Obciążamy sprężynę kolejno pięcioma odważnikami o różnych masach m, a następnie odczytujemy poszczególne wydłużenia x. Współczynnik k należy obliczyć linearyzując wykres F=F(x), gdzie F jest siłą obciążenia sprężyny.

Metoda II

W metodzie tej obciążamy sprężynę masą m_i i wprawiamy układ w drgania swobodne mierząc czas 10 pełnych drgań - t₁₀. Następnie wyznaczamy okres drgań T_i=t₁₀/10 i korzystając ze wzoru:

wyznaczamy współczynnik sprężystości.

Metoda III

Metoda ta polega na pomiarze wymiarów sprężyny:

n - liczba zwojów, d - średnica drutu, D - średnica zewnętrzna sprężyny. Otrzymane wielkości podstawiamy do wzoru:

gdzie :

- moduł sprężystości postaciowej (dla stali),

D - średnica zewnętrzna sprężyny,

d - średnica drutu,

n - Liczba zwojów.

Obliczenia

Metoda I

Wzory

F= mg - siła obciążenia sprężyny

x - przemieszczenie

Sprężyna 1

F [N]	0	1,75	2,18	2,75	2,92	3,22
X[cm]	0	0,5	2	5	6	7

Stosując metodę najmniejszych kwadratów wyliczamy prostą:

Dane są punkty: P1[0,5;1,75] P2[2;2,18]

P3[5;2,75] P4[6;2,92]

P5[7;3,22]

n*a+b* suma (x) = suma (y)

a*suma (x)+b* suma (x²)=suma (x*y)

5*a+b*20,5=12,85

a*20,5+b*(0,25+4+25+36+49)=12,82

20,5*a+114,25*b= 59,045

a=(12,82-20,5*b)/5

a= 2,56-4,1*b

52,48-84,05*b+114,25*b=59,045

30,2*b=6,56

b=0,22

a= 1,66

Równanie prostej : y=a+bx z tego wynika, że y=1,66+0,22x

Współrzędne punktów prostej są równe

P1'[0,5;1,77] P2'[2;2,1]

P3'[5;2,76] P4'[6;2,98]

P5'[7;3,2]

Wyniki teoretyczne i obliczone metodą najmniejszych kwadratów przedstawione są na wykresie:

Po podstawieniu odpowiednich jednostek otrzymujemy współczynnik sztywności sprężyny:

=166/7,54

Sprężyna 2

F[N]	0	1,75	2,18	2,75	2,92	3,22
X[cm]	0	9,5	13	17	18	19

Dane są punkty: P1[9,5;1,75] P2[13;2,18]

P3[17;2,75] P4[18;2,92]

P5[19;3,22]

n*a+b* suma (x) = suma (y)

a*suma (x)+b* suma (x²)=suma (x*y)

5*a+b*76,5=12,82

a*76,5+b*1233,25=205,45

a=(12,82-76,5*b)/5

a= 2,56-15,3*b

195,84-1170,45*b+1233,25*b=205,45

62,8*b=9,61

b=0,15

a=2,56-2,29

a=0,27

Równanie prostej : y=a+bx z tego wynika, że y=0,27+0,15x

Współrzędne punktów prostej są równe

P1'[9,5;1,69] P2'[13;2,22]

P3'[17;2,82] P4'[18;2,97]

P5'[19;3,12]

Wyniki teoretyczne i obliczone metodą najmniejszych kwadratów przedstawione są na wykresie:

Po podstawieniu odpowiednich jednostek otrzymujemy współczynnik sztywności sprężyny:

=27/1,8

Metoda II

Wzory

T_i=t₁₀/10

m1= 0,328 m2=0,178

t1 =7,86 t2=6,79

T1=0,786 T2=0,679

K1=20,93 K2=15,22

Metoda III

Wzory

Dokonując następujących pomiarów dla każdej sprężyny :

- moduł sprężystości postaciowej (dla stali),

n - liczba zwojów ; n1= 178 n2 = 94

d - średnica drutu ; d1= 0,00105 m d2 = 0,00105

D - średnica zew. sprężyny ; D1= 0,016 m D2 = 0,0204

znajdujemy współczynnik k za pomocą wzoru :

k = Gd⁴ / 8nD³

G=0,8*10 ¹¹

Po obliczeniach otrzymujemy:

K1= 16,67 K2=15,23

Wyniki obliczeń metodami II i III przedstawiliśmy w poniższej tabeli.

Nr sprężyny	Lp.	m. [kg]	x [m.]	tg α [N/m.]	t10 [s]	Ti [s]	m. [kg]	k	n	d [m.]	D [m.]	G	k
	1	0,178	0,005						178	0,00105	0,016	0,8*10^11	16,67
I	2	0,222	0,02
	3	0,280	0,05
	4	0,298	0,06	22	7,86	0,786	0,328	20,93
	5	0,328	0,07
	1	0,178	0,095						94	0,00105	0,0204	0,8*10^11	15,23
II	2	0.222	0.13
	3	0.280	0,17
	4	0,298	0,18	15	6,79	0,679	0,178	15,22
	5	0,328	0,19

Wnioski

W części pierwszej ćwiczenia wyznaczaliśmy współczynniki sprężystości dwóch zadanych sprężyn różnymi metodami. Najłatwiejszą i najdokładniejszą metodą jest metoda I polegająca na pomiarze przemieszczenia ciężarka.

Metoda II daje wyniki obarczone błędem wynikającym z niedokładnego pomiaru czasu. Metoda III jest najmniej dokładna ponieważ uwzględnia tylko wymiary zewnętrzne i rodzaj materiału z jakiego wykonana jest sprężyna natomiast nie uwzględnia odkształcenia mechanicznego sprężyny.

Otrzymane w wyniku pomiarów i obliczeń wartości współczynników sprężystości nie różnią się od siebie znacznie co pozwala stwierdzić, że wszystkie metody są w miarę dokładne. Przy czym metoda III może okazać się nieskuteczna w przypadku sprężyny zużytej lub zniszczonej np. nadmiernie rozciągniętej - przekroczenie granicy sprężystości.

---