SZERAG ROZDZIELCZY PRZEDZIAŁOWY
i - numer przedziału (klasy); xi - przedział <x0i, x1i); x0i - dolna granica (min) przedziału; x1i - górna granica (max) przedziału; xi - środek przedziału; ni - liczebność w przedziale; nisk - liczebność skumulowana; Wi - wskaźnik struktury (częstość); Wisk - częstość skumulowana; h - rozpiętość (szerokość) przedziału;
środek przedziału				gęstość częstości
częstość , gdzie				średnia arytmetyczna ważona
rozpiętość przedziału				odchylenie standardowe
gęstość liczebności				wariacja
typowy obszar zmienności
odchylenie przeciętne
współczynnik skupienia (kurtoza)							współczynnik koncentracji
modalna (dominanta, moda, wartość najczęstsza) w kol. „ni” szukamy największej wartości, następnie odczytujemy nr klasy z kol. „i”, w której występuje ta wartość, i zapisujemy jako „m” m - nr klasy (przedzału) modalnej, x0m - dolna granica przedziału modalnej, nm - liczebność klasy modalnej, nm-1 - liczebność klasy przed klasą modalnej nm+1 - liczebność klasy po klasie modalnej, hm=h - rozpiętość przedziału modalnej
wskaźnik skośności
współczynnik skośności lub
kwantyle (dzielą liczebność na dwie części) /kwartyl I 25:75, mediana - kwartyl II 50:50, kwartyl III 75:25/
obliczamy wartość „N” i odszukujemy tę wartość w kol. „nisk”; nr klasy odczytany z kol. „i”, w której znaj-duje się ta wartość nazywamy „m” m - nr klasy (przedzału) kwartyli; x0m - dolna granica przedziału kwartyli; nm - liczebność klasy kwartyli; hm=h - rozpiętość przedziału kwartyli; - wartość odczytywana z kol. „nisk” w klasie nr „m-1”		kwartyl pierwszy
				mediana
				kwartyl trzeci
współczynnik zmienności
klasyczny lub				pozycyjny lub
odchylenie ćwiartkowe
typowy obszar zmienności cechy
SZERAG ROZDZIELCZY PUNKTOWY
i - numer przedziału (klasy); xi - przedział; ni - liczebność w przedziale; nisk - liczebność skumulowana; Wi - wskaźnik struktury (częstość); Wisk - częstość skumulowana;
częstość , gdzie					średnia arytmetyczna ważona
wariacja
odchylenie standardowe				typowy obszar zmienności
odchylenie przeciętne
współczynnik skupienia (kurtoza)					współczynnik koncentracji
modalna (dominanta, moda, wartość najczęstsza) w kol. „ni”odszukujemy największą wartość, modalną jest wartość o tym samym nr klasy z kol. „xi”
współczynnik skośności lub									wskaźnik skośności
mediana dla n nieparzystych; dla n parzystych /otrzymaną wartość z poniższych obliczeń odszukujemy w kol. „nisk”, medianą jest wartość o tym samym nr klasy z kol. „xi”/
współczynnik zmienności klasyczny lub
SZEREG SZCZEGÓŁOWY
n - liczebność próby, xi - wartości kolejnych prób, i = 1, 2, ..., n
średnia arytmetyczna								typowy obszar zmienności
wariacja								odchylenie przeciętne
odchylenie standardowe								wskaźnik skośności
		współczynnik zmienności klasyczny lub
współczynnik skupienia (kurtoza)							współczynnik koncentracji
modalna (dominanta, moda, wartość najczęstsza) wartość lub wartości, które najczęściej występuje w szeregu
mediana dla n nieparzystych; dla n parzystych (wynik to „i”, Me=xi)

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

o wartości przeciętnej

o wskaźniku struktury

o wariancji

o równości wartości przeciętnych

1. sformułowanie hipotezy H0 I H1 HO : m = wartość przeciętna H1 : m≠wp α = poziom istotności 2. wybór sprawdzianu hipotezy zakładamy, że rozkład cechy w zbiorowości jest N(m, σ); i tak jeśli: A σ jest znane i n≤30 σ znane i n>30 σ jest nieznane i n>30, ale wówczas σ ≈ S to sprawdzianem hipotezy H0: m=m0 jest statystyka: B kiedy σ jest nieznane i n≤30, sprawdzianem hipotezy jest: ; S lub S1 3. wyznaczanie zbioru krytycznego A zakładamy, że sprawdzianem hipotezy H0 jest statystyka wartość krytyczną tα odczytujemy z tablic dla zbiorów dwustronnych , dla jednostronnych B zakładamy, że sprawdzianem hipotezy H0 jest statystyka Wartoś krytyczną tα odczytujemy z tablic rozkładu Studenta dla n-1 stopniami swobody: P(tα) = α przy zbiorze dwustronnym P( tα) = 2α przy zbiorach jednostronnych

populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p=prawdop., że badana cech przyjmie wyróżnioną wartość, na podstawie n-elementowej próby, gdzie n≥100; HO : p=p0; H1 : p≠p0 lub p<p0 lub p>p0; α = poziom istotności sprawdzianem hipotezy HO : p=p0 jest statystyka: , która w przybliżeniu ma rozkład N(0,1); przy czym X=liczba jednostek o wyróżnionej wartości cechy w n - elementowej próbie; q=1-p wartość krytyczną tα odczytujemy z tablic tak jak dla hipotezy o wartości przeciętnej jeśli T>tα należy odrzucić H0 na korzyść H1

cecha X ma rozkład N(m,σ); jej hipoteza H0 to: H0: ; H1: DLA n≤30 A jeśli m jest znane to spr. hipotezy: , statystyka ta ma rozkład , o n stopniach swobody B jeśli m nieznane to spr. hipotezy: lub ; statystyki te mają rozkład o n-1 stopniach swobody ; gdzie α=poziom istotności, zaś stopnie swobody to: jeśli liczymy za pomocą podpunktu A wynoszą n; B : n-1 jeśli > odrzucamy H0 DLA n>30 A jeśli m jest znane to spr. hipotezy: B jeśli m nieznane to spr. hipotezy: T ma rozkład zbliżony do N(0,1) wartość krytyczną tα odczytujemy z tablic tak jak dla hipotezy o wartości przeciętnej

dane są 2 zbiorowości generalne o rozkładach normalnych N(m1,σ1) i N(m2,σ2) H0: m1=m2; H1: m1{< lub ≠ lub >}m2 n1, n2 - wielkość prób prostych, - średnie arytmetyczne prób, - wariancję z prób DLA: σ1, σ2 - znane i n1≤30, n2≤30; σ1, σ2 - znane i n1>30, n2>30; σ1, σ2 - nieznane i n1>30, n2>30, to , sprawdzian ma postać: rozkład tej statystyki jest normalny N (0,1) DLA: σ1,σ2 -nieznane, σ1=σ2 i n1≤30, n2≤30 rozkład studenta o (n1+n2-2) stopniach swobody, jeśli nie wiadomo, czy σ1=σ2 to przed sprawdzeniem H0: m1=m2 należy zweryfikować hipotezę H0: dalszy tok testowania H0: m1=m2 przebiega tak jak przy testowaniu hipotezy o jednej średniej, wartości przeciętnej

o dwóch wskaźnikach struktury

założenia jak powyżej; HO : p1=p2; H1 : p1≠p2 lub p1<p2 lub p1>p2; sprawdzianem hipotezy HO jest statystyka: , gdzie , , sposób weryfikacji hipotezy jak powyżej

kolejne etapy konstrukcji testu statystycznego dla wszystkich hipotez są jednakowe i wyglądają jak podpunkty 1-3 z I kol. α oznacza poziom istotności (prawdop. popełnienia błędu) i najczęściej przyjmuje wartości bliskie zeru i na ogół są równe: 0.01; 0.02; 0.05; 0.1. zbiorem krytycznym nazywamy zbiór wartości sprawdzianu hipotezy, które odrzucają H zero

ROZKŁADY

rozkłady dyskretne

rozkłady ciągłe

rozkłady związane z rozkładem normalnym

zero ~ jedynkowy

jednostajny w przedziale [a, b]

chi ~ kwadratowy

funkcja rozkładu P (X = 1) = p; P (X = 0) = q; p + q = 1 dystrybuanta F(x)= wartość oczekiwana E(X)=p wariacja V(X)=pq

funkcja gęstości f(x) dystrybuanta F(x)= wartość oczekiwana E(X)= wariacja V(X)= mediana Me= funkcja nie ma modalnej, gdyż funkcja gęstości nie posiada maksimum

rozkład χ^2 jest to rozkład sumy: X +X +..+X wartość oczeki-wana: E(χ )=k wariacja: V(χ )=2k tylko z tablic k-stopień swobody P(X>x) P(X<x)=1-P(X≥x) x=χ TABLICE: P k x k∈<0,30> jeśli k>30 korzys-tamy z rozkładu zm losowej , która ma rozkład zbliżony do roz-kładu N( ,1)

Dwumianowy /Bernoulliego/

B(n, p) ; funkcja rozkładu B(n, p, k)= P(X = k) = = C p^kq^n-k , gdzie p /prawdopodobieństwo sukcesu/, q = 1 - p /prawdopodobieństwo porażki/, k=1,2,..,n dystrybuanta F(x)= wartość oczekiwana E(X)=np wariacja V(X)=npq

Studenta

rozkład prawdop. zm losowej Tk Tk = , gdzie T i χ są nie-zależne; T ma rozkład N(0, 1), χ ma rozkład chi-kwadratowy wartość oczekiwana: E(Tk)=0 wariacja k-stopień swobody P(X>x) P(X<x)=1-P(X≥x)

Poissona

prawdopodobieństwo określone wzorem P(X=k)= e k=0,1,.. ; m=np./stała dodatnia/ dystrybuanta F(x)= wartość oczekiwana E(X)=m wariacja V(X)=m

wykładniczy

funkcja gęstości f(x)= ; dystrybuanta F(x)= wartość oczekiwana E(X)= wariacja V(X)= ; mediana Me= funkcja nie ma dominanty, gdyż funkcja gęstości nie posiada maksimum

geometryczny

funkcja rozkładu P(X=k)=pq^k-1, k=1,2,.. p /prawdop. sukcesu/, q = 1 - p /prawdop. porażki/, k /liczba doświadczeń do pojawienie się 1-go sukcesu/ dystrybuanta F(x)= wartość oczekiwana E(X)= wariacja V(X)=

Snedecora

rozkładem Snedecora ze stopniami swobody (r1, r2) nazywamy rozkład prawdopodobieństwa ilorazu: , gdzie i są niezależne wartość oczekiwana E( )= wariacja

normalny

X ~ N(m, σ), gdzie m /wartość oczekiwa-na/, σ>0 /odchylenie standardowe/ funkcja gęstości f(x)= dla -∞ < x < +∞ dystrybuanta f(x)= wartość oczekiwana /przeciętna/ E(x) = m wariacja V(x) = σ ^2 mediana Me = m modalna Mo = m standaryzacja zm losowej X: dla T ∈ [-3, 3] /wartość odczytujemy z tablic; poza przedziałem wynosi zero/ gęstość standaryzowanej zm losowej: dla -∞ < x < +∞ X ~ N(m, σ), w zadaniach standaryzacja Φ(-t) = -Φ(t) P(T<a) lub P(T≤a) dla a∈(-∞,0) 0,5-Φ(a) a∈(0,∞) 0,5+Φ(a) P(a<T<b)=, gdzie a<b /+dodatnie, -ujemne/ dla +a i +b oraz dla +a i -b; =Φa+Φb dla -a i -b; =Φa-Φb P(T>a)=1-P(T≤a)

hipergeometryczny

H (N, R, n) rozkład hipergeometryczny P(X=k)= ; gdzie N /liczba elementów w populacji/, R /liczba elementów mających interesującą nas cechę/, n≤N /liczebność próbki/, k /liczba sukcesów/ = 0, 1, .., min (R, n) wartość oczekiwana (X)= wariacja V(X)=npq , gdzie p= , q= jeśli populacja jest bardzo duża stosujemy rozkład dwumianowy P(X=k)= P(X=k)= C p^kq^n-k,= gdzie p= , 0<p<1

KOMBINATORYKA

PERMUTACJA /wszystkie, ważna kolejność/ KOMBINACJA /z n po k, nieważna kolejność/ WARIACJA /z n po k, ważna kolejność/

TESTOWANIE HIPOTEZY O DWÓCH WARIANCJACH

TESTOWANIE HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH

badamy dwie zbiorowości o rozkładach normalnych N(m1,σ1) i N(m2,σ2); należy więc zweryfikować hipotezę H0: przy H1: , gdzie n1, n2 - wielkość prób prostych, -oznacza wariancję z prób; ze względu na postać H1 numerujemy zbiorowość tak by: ; sprawdzian hipotezy: , o wartości empirycznej Fe; statystyka ma rozkład Sendecora o r1=(n1-1) i r2=(n2-1) stopniach swobody; relacja wyznaczająca prawostronny zbiór krytyczny P(F>Fα)=α, gdzie Fα odczytujemy z tablic rozkładu Snedecora o r1 i r2 stopniach swobody; jeśli relacja jest spełniona należy H0 odrzucić

miary zależności oparte na chi-kwadrat

najczęściej stosowane miary : 1. współczynnik ϕ-Yule'a: przy czym: r = 2, s - dowolne, to 0 ≤ ϕ ≤ 1, r > 2, s - dowolne, to ϕ może być większe od 1 2. współczynnik T-Czuprowa: ; gdy: r = s, to 0 ≤ T ≤ 1; r ≠ s, T może być znacznie mniejsze od 1 3. współczynnik V-Cramera: i 0 ≤ V ≤ 1; gdy: r = s, to V = T; r ≠ s, to V > T interpretacja każdego z podanych współczynników jest taka sama: jeśli przyjmuje on wartość 0, to cechy X i Y są stochastycznie niezależne; im bliższy 1 tym silniejsza jest zależność pomiędzy badanymi cechami X i Y

---