Analiza struktury i zbiorowości

• Wskaźnik natężenia kształtowanie wlk. 1 zjawiska na tle innego

$W = \ \frac{n}{m}\text{\ \ }$n –liczebność jednej zbiorowości/ m - drugiej

$$wskaznik\ gestosci\ zaludnienia = \ \frac{liczba\ mieszkancow}{\text{powierzchnia\ danego\ kraju}}$$

• Wskaźnik struktury

$$W_{i} = \ \frac{n_{i}}{n}\text{\ \ }\left( 10\% \right)\ \ \ \ \ \ 0 \leq W_{i} \leq 1$$

• Wskaźnik podobieństwa struktur

$$W_{p} = \ \sum_{i = 1}^{k}{min(W_{1}i\ ,\ W_{2}i})\ \ \ \ \ \ 0 \leq W_{p} \leq 1$$

Miary średnie (tendencji centralnej) – opisują˛ przeciętne położenie wartości liczbowych danej cechy statystycznej.

Klasyczne miary średnie

$$\overset{\overline{}}{x} = \ \frac{x_{1} + \ x_{2} + \ldots + \ x_{n}}{n}\ \ \ \ lub\ krocej\ \overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{= \ }\frac{\sum_{}^{}\mathbf{\text{xi}}}{\mathbf{N}}$$

$$\overset{\overline{}}{x} = \ \left\{ \begin{matrix} \frac{\sum_{}^{}\mathbf{\text{xi}}\mathbf{\ \bullet \ }\mathbf{n}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{N}}\mathbf{\text{\ \ dla\ szeregu\ punktowego}} \\ \frac{\sum_{}^{}\dot{\mathbf{\text{xi}}}\mathbf{\ \bullet \ }\mathbf{n}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{N}}\mathbf{\ dla\ szeregu\ z\ przedzialami\ kladowymi} \\ \end{matrix} \right.\ $$

- średnia harmoniczna (stosowana w odniesieniu do cech stosunkowych – wydajność, prędkość – jest odwrotnością średniej arytmetycznej z odwrotności zaobserwowanych wartości)

szeregów szczegółowych prostych$\text{\ \ \ }{\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}}_{\mathbf{h}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{n}}{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}}$

$${\overset{\overline{}}{X}}_{h} = \ \left\{ \begin{matrix} \frac{\mathbf{n}}{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{k}}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{n}_{\mathbf{i}}}} \\ \frac{\mathbf{n}}{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{k}}{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}\mathbf{n}_{\mathbf{i}}\mathbf{\ }}}\mathbf{\ }\ \ przedzialami\ klasowymi \\ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ punktowego}$$

- średnia geometryczna (G) stosowana np. w odniesieniu do wskaźników dynamiki, inaczej średnie tempo zmian

Pozycyjne miary średnie

- wartość modalną inaczej nazywana dominanta˛ (Do). nazywamy tę wartość´ cechy, która w badanej zbiorowości występuje najczęściej.

$\mathbf{D}_{\mathbf{o}}\mathbf{= \ }\mathbf{X}_{\mathbf{s}}\mathbf{+ \ }\mathbf{h}_{\mathbf{s}}\frac{\mathbf{n}_{\mathbf{s}}\mathbf{- \ }\mathbf{n}_{\mathbf{s - 1}}}{\mathbf{n}_{\mathbf{s}}\mathbf{- \ }\mathbf{n}_{\mathbf{s - 1}}\mathbf{+ \ }\mathbf{n}_{\mathbf{s}}\mathbf{- \ }\mathbf{n}_{\mathbf{s + 1\ }}}$ Xs – początek przedziału dominanty, hs – rozpiętość przedziału dominanty,

n_s, n_s-1, n_s+1 – liczebności odpowiednio przedziału dominanty, przedziału poprzedniego i następnego.

- kwartyle kwartyl pierwszy (Q1), kwartyl drugi (Q2), kwartyl trzeci (Q3); szczególne znaczenie ma kwartyl drugi zwany także medianą lub wartością środkowa i oznaczany symbolem Me.

$\mathbf{N}_{\mathbf{Q}\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{4}}$ $\mathbf{N}_{\mathbf{Q}\mathbf{3}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{4}}$ $\mathbf{\text{\ \ \ N}}_{\mathbf{\text{ME}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{2}}\mathbf{\ \ \ \ Me = xs + \ }\frac{\mathbf{\text{hs}}}{\mathbf{\text{ns}}}\left( \mathbf{N}_{\mathbf{\text{ME}}}\mathbf{- \ }\mathbf{M}_{\mathbf{isk - 1}} \right)$ xs-dolna granica przedziału mediany, hs – rozpiętnośc przedziału mediany, ns – liczebność przedziału mediany, Nme – numer mediany, M_isk-1 wartość skumulowana przedziału poprzedzającego przedział mediany

Miary zróżnicowania (dyspersji, rozrzutu, zmienności, rozproszenia) – opisują˛ stopień rozproszenia wartości badanej cechy wokół średniej.( Miary, które pozwalają ocenić stopień heterogeniczności danej zbiorowości (czyli stopień zróżnicowania) nazywamy miarami zmienności lub zamiennie).

Miary bezwzględne

Klasyczne : odchylenie przeciętne dx / odchylenie standardowe sx / wariacja s_x²

- szereg szczegółowy

$\mathbf{d}_{\mathbf{x}}\mathbf{= \ }\frac{\sum_{}^{}\left| \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right|}{\mathbf{N}}$ $\mathbf{\text{\ \ \ }}\mathbf{s}_{\mathbf{x}}\mathbf{= \ }\sqrt{\frac{\sum_{}^{}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right)^{\mathbf{2}}}{\mathbf{N}}}$ $\mathbf{\ }\mathbf{s}_{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{k}}{\left( \mathbf{\ }\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{\ } \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{\ \ }}}$

- szereg punktowym

$\mathbf{d}_{\mathbf{x}}\mathbf{= \ }\frac{\sum_{}^{}{\left| \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right|\mathbf{\ \bullet \ }\mathbf{n}_{\mathbf{i}}}}{\mathbf{N}}$ $\mathbf{s}_{\mathbf{x}}\mathbf{= \ }\sqrt{\frac{\sum_{}^{}{\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{\ \bullet \ }\mathbf{n}_{\mathbf{i}}}}{\mathbf{N}}}$   $\mathbf{s}_{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{k}}{\left( \mathbf{\ }\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{\ } \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet}\mathbf{n}_{\mathbf{i}}\mathbf{\text{\ \ }}}$

- szereg z przedziałami klasowymi

$\mathbf{d}_{\mathbf{x}}\mathbf{= \ }\frac{\sum_{}^{}{\left| \dot{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right|\mathbf{\ \bullet \ }\mathbf{n}_{\mathbf{i}}}}{\mathbf{N}}$ $\mathbf{s}_{\mathbf{x}}\mathbf{= \ }\sqrt{\frac{\sum_{}^{}{\left( \dot{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{\ \bullet \ }\mathbf{n}_{\mathbf{i}}}}{\mathbf{N}}}$ $\mathbf{s}_{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{k}}{\left( \mathbf{\ }\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{\ } \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet}\mathbf{n}_{\mathbf{i}}\mathbf{\text{\ \ }}}$

Pozycyjne : rozstęp (Rozstęp definiujemy jako różnice˛ między wartością˛ największą i najmniejsza˛ badanej cechy w zbiorowości, czyli) Rx/ odchylenie ćwiartkowe Qx

- szereg szczegółowy, punktowym, z przedziałami klasowymi

$\mathbf{Q}_{\mathbf{x}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{Q}_{\mathbf{3}}\mathbf{- \ }\mathbf{Q}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{2}}$ R_x= x_max− x_min

Miary względne

Klasyczne współczynnik zmienności

- na odchyleniu przeciętnym $V_{\text{dx}} = \ \frac{d_{x}}{x}\ \bullet 100\ \%$

- na odchyleniu standardowym $V_{\text{sx}} = \ \frac{s_{x}}{x}\ \bullet 100\ \%$

Pozycyjne: na odchyleniu ćwiartkowym $V_{\text{Qx}} = \ \frac{Q_{x}}{\text{Me}}\ \bullet 100\ \%$

Miary asymetrii

1. IV. Miary asymetrii

szereg symetryczny asym. prawostronna asym. lewostronna

-wskaźnik skośności - Znak tego wskaźnika informuje o kierunku asymetrii. W przypadku szeregów symetrycznych mamy Ms = 0. jest miarą mianowana˛ o jego wartości decyduje nie tylko stopień skośności szeregu, ale również ogólny poziom cechy w danej zbiorowości. Z tego powodu częściej obliczany jest (względny) współczynnik skośności. $\mathbf{M}_{\mathbf{s}}\mathbf{= \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{- Do}$

- współczynnik skośności $\mathbf{W}_{\mathbf{s}}\mathbf{= \ }\frac{M_{s}}{s_{x}} = \mathbf{\ }\frac{\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{- Do}}{\mathbf{s}_{\mathbf{x}}}\mathbf{\text{\ \ \ lub}}\mathbf{W}_{\mathbf{s}} = \ \frac{M_{s}}{d_{x}}\mathbf{= \ }\frac{\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{- Do}}{\mathbf{d}_{\mathbf{x}}}\ $ < -1 ; 1 >

- klasyczny współczynnik asymetrii $\mathbf{A}_{\mathbf{s}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\mu}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{s}_{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}$ s_x oznacza odchylenie standardowe, natomiast μ₃ jest tzw. momentem centralnym trzeciego rzędu, który definiujemy następująco:

$$\mu^{3} = \ \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{{(x_{i} - \ \overset{\overline{}}{\text{x\ }})}^{3}\ \ \ szczegolowego} \\ \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{\left( x_{i} - \ \overset{\overline{}}{x} \right)^{3}n_{i}}\text{\ \ punktowego} \\ \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{(x_{i} - \ \overset{\overline{}}{x})}^{3}n_{i}\ z\ przedzialami \\ \end{matrix} \right.\ $$

Współczynnik As przyjmuje na ogół wartości z przedziału [-2, 2] (w przypadku skrajnej asymetrii jego wartość może wykroczyć poza ten przedział).

- pozycyjny współczynnik asymetrii określa siłę i kierunek asymetrii dla tych jednostek zbiorowości, które znajdują˛ się˛ między pierwszym i trzecim kwartylem, a więc w zawężonym obszarze zmienności cechy. $\mathbf{A}_{\mathbf{Q}}\mathbf{= \ }\frac{\left( \mathbf{Q}_{\mathbf{3}}\mathbf{- Me} \right)\mathbf{- \ }\left( \mathbf{Me - \ }\mathbf{Q}_{\mathbf{1}} \right)}{\left( \mathbf{Q}_{\mathbf{3}}\mathbf{- Me} \right)\mathbf{+ \ }\left( \mathbf{Me - \ }\mathbf{Q}_{\mathbf{1}} \right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{Q}_{\mathbf{3}}\mathbf{- 2}\mathbf{Me + \ }\mathbf{Q}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{Q}_{\mathbf{3}}\mathbf{- \ }\mathbf{Q}_{\mathbf{1}}}$ Współczynnik A_Q przyjmuje wartość z przedziału [-1, 1]. Podobnie, jak mierniki Ws i As, jego znak informuje o kierunku, a wartość bezwzględna – o sile asymetrii.

Korelacja

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona – współczynnik do pomiaru siły związku między cechami X i Y w k™órych występuje zależność korelacyjna o charakterze liniowym. Współczynnik r korelacji liniowej Pearsona przyjmuje zawsze wartości z przedziału [-1, 1]. Znak współczynnika informuje o kierunku korelacji (liniowa ujemna lub liniowa dodatnia). Wartość bezwzględna |r | informuje o sile korelacji liniowej. W szczególnym przypadku, gdy |r | = 1, wówczas mamy do czynienia z korelacja˛ funkcyjna˛ (tzn. zależność´ Y od X można wyrazić´ za pomocą˛ funkcji Y = aX + b, gdzie a, b są˛ pewnymi stałymi). Współczynnik r mierzy tylko korelację o charakterze prostoliniowym. Gdy r = 0, wówczas mówimy, że nie ma korelacji liniowej (ale może być krzywoliniowa).

$\mathbf{r}_{\mathbf{\text{xy}}}\mathbf{= \ }\frac{\sum_{}^{}{\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right)\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)}}{\sqrt{\sum_{}^{}{\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{\bullet \ }\sum_{}^{}\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)^{\mathbf{2}}}}}$ $\mathbf{\text{\ \ \ }}\mathbf{r}_{\mathbf{\text{xy}}}\mathbf{= \ }\frac{\sum_{}^{}{\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right)\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)}}{\mathbf{sx\ \bullet \ \ sy}}$

Współczynnik korelacji rang Spearmana obliczana dla danych rangowych jest współczynnik korelacji rang Spearmana. Współczynnik r_S przyjmuje wartości z przedziału [-1, 1].

Wartość r_S = 1 oznacza, że istnieje całkowita zgodność uporządkowań wg rang a_i i b_i . Wartość r_S = -1 oznacza z kolei pełna˛ przeciwstawność uporządkowań między rangami.

Wartość r_S = 0 oznacza brak korelacji rang.

$\mathbf{r}_{\mathbf{s}}\mathbf{= 1 - \ }\frac{\mathbf{6}\sum_{}^{}\mathbf{d}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{n}\left( \mathbf{n}^{\mathbf{2}}\mathbf{- 1} \right)}\mathbf{\ \ \ \ - 1 \leq rs\ \leq 1}$ Gdzie d_i= a_i− b_i

Linia regresji

Zmienna objaśniana (zmienna zależna) – zmienna będąca przedmiotem badania. Na ogół oznaczamy ja˛ symbolem Y. Zmienne objaśniające (zmienne niezależne) – zmienne, za pomocą˛ których chcemy objaśnić´ zmiany zmiennej zależnej. Na ogół oznaczamy je symbolami X₁,X₂,….X_s Funkcja regresji – funkcja odwzorowująca zależność pomiędzy zmienna˛ objaśnianą Y a zmiennymi objaśniającymi.

W przypadku wielu zmiennych objaśniających mówimy o regresji wielorakiej, natomiast w przypadku jednej zmiennej objaśniającej – o regresji jednej zmiennej.

Funkcję f (x) = a + bx nazywamy prosta˛ regresji. Parametr a – wyraża o ile przeciętnie zmieni się zmienna zależna jeżeli zmienna niezależna wzrośnie o jednostką. Parametr b – wskazuje poziom zmiennej zależnej przy x=0, ale interpretujemy go wtedy gdy ma to uzasadniony sens ekonomiczny.

$\mathbf{a = \ }\frac{\sum_{}^{}{\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right)\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)}}{\sum_{}^{}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right)^{\mathbf{2}}}$ $\mathbf{b = \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{y}}\mathbf{- a}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}$

Relacja łącząca współczynnik regresji i współczynnik korelacji liniowej Pearsona. Współczynniki a i r maja˛ zawsze ten sam znak, przy czym współczynnik b nie musi należeć do przedziału [-1, 1], w przeciwieństwie do współczynnika r korelacji liniowej Pearsona.

$\mathbf{r}_{\mathbf{\text{xy}}}\mathbf{= \ }\frac{\sum_{}^{}{\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right)\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)}}{\mathbf{sx\ \bullet \ \ sy}}$ $\mathbf{a = \ }\frac{\sum_{}^{}{\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right)\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)}}{\sum_{}^{}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right)^{\mathbf{2}}}$ $\mathbf{\ \ \ \ \ \ a = r\ }\frac{\mathbf{\text{sy}}}{\mathbf{\text{sx}}}$

Współczynnik determinacji – określa stopień dopasowania prostej regresji do danych empirycznych. R² < 0; 1>. Im punkty są bliżej prostej to R² jest bliższe 1, dopasowanie jest lepsze.

$\mathbf{R}^{\mathbf{2}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\text{SSR}}}{\mathbf{\text{SST}}}\mathbf{= \ }\frac{\sum_{}^{}\left( \hat{\mathbf{y}_{\mathbf{i}}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)^{\mathbf{2}}}{\sum_{}^{}\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\hat{\mathbf{y}_{\mathbf{i}}} \right)^{\mathbf{2}}}$ W przypadku regresji liniowej jednej zmiennej współczynnik determinacji R² równy jest kwadratowi współczynnika korelacji liniowej Pearsona R²= (r_xy)²

Średni błąd szacunku (przewidywania) – o ile przeciętne wartości zmiennej zależnej $\left( \hat{y} \right)odchylaja\ sie\ od\ wartosci\ emipirycznych.\ $

$\mathbf{S}_{\mathbf{(y)}}\mathbf{= \ }\sqrt{\frac{\sum_{}^{}\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\hat{\mathbf{y}_{\mathbf{i}}} \right)^{\mathbf{2}}}{\mathbf{n - k}}}$ n –liczba badanych, k –liczba parametrów w linii regresji k różne od 2

Szeregi czasowe

Szereg czasowy momentów, to szereg zawierający informacje o poziomach badanego zjawiska w określonych momentach pewnego przedziału czasowego, np. liczba ludności na dany moment (stosujemy średnią arytmetyczną). Z kolei szereg czasowy okresów zawiera informacje o rozmiarach zjawiska w ciągu kolejnych okresów danego przedziału czasowego (liczba małżeństw, liczba urodzeń i zgonów) – średnia chronologiczna.

Średnia chronologiczna

${\overset{\overline{}}{\mathbf{y}}}_{\mathbf{\text{ch}}}\mathbf{= \ }\frac{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{y}_{\mathbf{1}}\mathbf{+ \ }\mathbf{y}_{\mathbf{2}}\mathbf{+ \ldots +}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{y}_{\mathbf{n}}\mathbf{\ }}{\mathbf{n - 1}}$ $\mathbf{\ }\mathbf{y}_{\mathbf{\min}}\mathbf{\ \leq \ }{\overset{\overline{}}{\mathbf{y}}}_{\mathbf{\text{ch}}}\mathbf{\ \leq \ }\mathbf{y}_{\mathbf{\max}}$

Przyrosty absolutne – różnica w poziomach zjawiska y =  y_t− y_t*

Przyrosty względne – o ile procent wyższy / niższy jest poziom zjawiska w czasie t w porównaniu do t* (moment bazowy) $\frac{\mathbf{y}_{\mathbf{t}}\mathbf{- \ }\mathbf{y}_{\mathbf{t*}}}{\mathbf{y}_{\mathbf{t*}}}\mathbf{\ ( \bullet 100\ \%)}$

Indywidualnym indeksem dynamiki nazywamy iloraz poziomów badanego zjawiska y_t1 oraz y_t0 zanotowanych w dwóch okresach (lub momentach) t₁ oraz t_0. Jednopodstawowe, dostarczające oceny dynamiki zjawiska w kolejnych okresach (momentach) czasu w porównaniu do stałego okresu (momentu) przyjętego za podstawę porównań, łańcuchowe, dostarczające oceny dynamiki zjawisk w kolejnych okresach (momentach) czasu w porównaniu do okresów (momentów) szeregu bezpośrednio poprzedzających. $i_{\left. \ t_{1} \right|t_{o}} = \ \frac{y_{t1}}{y_{t0}} \rightarrow \ \frac{\text{badany}}{\text{bazowy}}$ $\mathbf{i}_{\mathbf{1}\left| \mathbf{0} \right.\ }\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{y}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{y}_{\mathbf{0}}}$

Średnie tempo zmian (średnia geometryczna z indeksów łańcuchowych)

$G = \ \sqrt[n]{i_{\left. \ t_{1} \right|t_{o}\text{\ \ }} \bullet \ i_{\left. \ t_{2} \right|t_{1\ }} \bullet \ \ldots.\ \ \bullet \ i_{\left. \ t_{n} \right|t_{n - 1}}}$ $\text{\ \ }\mathbf{G = \ }\sqrt[\mathbf{n}]{\frac{\mathbf{y}_{\mathbf{\text{tn}}}}{\mathbf{y}_{\mathbf{t}\mathbf{0}}}}$ G – 1 (100%)- > mierzy tempo zmian (średnie) wzrosty lub spadki poziomu zjawiska z okresu na okres w badanym przedziale czasowym.

Indeksy zespołowe (agregatowe) stosowane są w przypadku zjawisk złożonych, tj. zespołami zjawisk niejednorodnych

- Agregatowe indeksy wartości $\mathbf{I}_{\mathbf{w}}\mathbf{= \ }\frac{\sum_{}^{}{\mathbf{q}_{\mathbf{1}}\mathbf{p}_{\mathbf{1}}}}{\sum_{}^{}{\mathbf{q}_{\mathbf{0}}\mathbf{p}_{\mathbf{0}}}}$ p₁, p₀ – ceny jednorodne produktu w okresie badanym/bazowym q₁,q₀ – ilość produktów w okresie badanym/bazowym

- Agregatowe indeksy ilości – o ile zmieniła się wartość agregatu, jeżeli zmieniły się ceny

Formuła Paaschego: $pI_{q} = \ = \ \frac{\sum_{}^{}{q_{1}p_{1}}}{\sum_{}^{}{q_{0}p_{0}}}$ z okresu badanego

Formuła Laspeyresa: _L$\mathbf{I}_{\mathbf{q}}\mathbf{= \ }\mathbf{= \ }\frac{\sum_{}^{}{\mathbf{q}_{\mathbf{1}}\mathbf{p}_{\mathbf{1}}}}{\sum_{}^{}{\mathbf{q}_{\mathbf{0}}\mathbf{p}_{\mathbf{0}}}}$ z okresu podstawowego

- Agregatowe indeksy cen

Formuła Paaschego: $\mathbf{\text{pI}}_{\mathbf{q}}\mathbf{= \ }\mathbf{= \ }\frac{\sum_{}^{}{\mathbf{q}_{\mathbf{1}}\mathbf{p}_{\mathbf{1}}}}{\sum_{}^{}{\mathbf{q}_{\mathbf{0}}\mathbf{p}_{\mathbf{0}}}}$ z okresu badanego

Formuła Laspeyresa: _L$\mathbf{I}_{\mathbf{q}}\mathbf{= \ }\mathbf{= \ }\frac{\sum_{}^{}{\mathbf{q}_{\mathbf{1}}\mathbf{p}_{\mathbf{1}}}}{\sum_{}^{}{\mathbf{q}_{\mathbf{0}}\mathbf{p}_{\mathbf{0}}}}$ z okresu podstawowego

Między agregatowymi indeksami wartości, ilości i cen zachodzi jednak związek określany mianem równości indeksowej. I_w=  I_p  • pI_q=  pI_p  •    I_q

Indeks ilości (indeksy cen) wg formuły Paaschego informują, o ile zmieniłaby się, tj. wzrosła lub spadła, wartość całego agregatu produktów w porównywanych okresach, gdyby ceny (ilości) produktów były stałe na poziomie z okresu badanego. / Indeksy ilości (indeksy cen) wg formuły Laspeyresa informują, o ile zmieniłaby się, tj. wzrosła lub spadła, wartość całego agregatu produktów w porównywanych okresach, gdyby ceny (ilości) produktów były stałe na poziomie z okresu podstawowego.

Wyodrębnienie tendencji rozwojowe metodą analityczną

Trend – własność szeregu czasowego.

$\hat{\mathbf{y}}\mathbf{= a + b \bullet t}$ $\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\hat{y}\ $– szacowany poziom zjawiska, t – zmienna czasowa, a – wyraz wolny,

b- współczynnik kierunkowy linii trendu

$\mathbf{b = \ }\frac{\sum_{}^{}{\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right)\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)}}{\sum_{}^{}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right)^{\mathbf{2}}}$ $\mathbf{a = \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{y}}\mathbf{- b\ \bullet}\overset{\overline{}}{\mathbf{t}}$ b – mówi o przeciętnych zmianach zjawiska w pewnych okresach czasu. a – poziom zjawiska w okresie poprzedzającym okres badany.

$\mathbf{R}^{\mathbf{2}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\text{SSR}}}{\mathbf{\text{SS}}\mathbf{T}}\mathbf{= \ }\frac{\sum_{}^{}\left( \hat{\mathbf{y}_{\mathbf{i}}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)^{\mathbf{2}}}{\sum_{}^{}\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\hat{\mathbf{y}_{\mathbf{i}}} \right)^{\mathbf{2}}}$ $\mathbf{S}_{\mathbf{(y)}}\mathbf{= \ }\sqrt{\frac{\sum_{}^{}\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{- \ }\hat{\mathbf{y}_{\mathbf{i}}} \right)^{\mathbf{2}}}{\mathbf{n - 2}}}$