$$k \approx \sqrt{n},\ k \leq 5\ \log n\backslash n$$

• Długość przedziału klasowego (h):

$$h \geq \frac{x_{\max} - x_{\min}}{k}$$

• Średnia arytmetyczna $\left( \overset{\overline{}}{x} \right)$:

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$$

• Mediana (Me):

$$Me = \left\{ \begin{matrix} X_{\frac{n + 1}{2},\ \ \ \ gdy\ nieparzyste} \\ \frac{1}{2}\left( X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2} + 1} \right),\ \ \ gdy\ parzyste \\ \end{matrix} \right.\ $$

• Modalna – najczęstsza wartość, dominanta

• Kwartyle (Q) i kwantyle (q):

  • Q₁=q_0,25

  • Q₂=Me

  • Q₃=q_0,75

• Wariancja (S²) i odchylenie standardowe (S):

$$S^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}$$

$$S = \sqrt{S^{2}}$$

• Współczynnik zmienności (V) – powyżej 20% jest duża zmienność:

$$V = \frac{S*100\%}{\overset{\overline{}}{x}}$$

• Asymetria/skośność (As):

$$As = \frac{\overset{\overline{}}{x} - Mo}{S}$$

$$As = \frac{\left( Q_{3} - Q_{2} \right) - \left( Q_{2} - Q_{1} \right)}{Q_{3} - Q_{1}}$$

$$As = \frac{3\left( \overset{\overline{}}{x} - Me \right)}{S}$$

• Średnia ważona $\left( \overset{\overline{}}{x} \right)$:

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{x_{i}*n_{i}}$$

• Środek przedziału klasowego:

$$x_{i}^{'} = \frac{x_{i}^{-} + x_{i}^{+}}{2}$$

• Średnia ważona dla środka przedziału klasowego:

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{x_{i}^{'}*n_{i}}$$

• (Niewiadoma)

$$q_{p} = x_{q}^{-} + \frac{h_{q}}{n_{q}}\left( n*p - \sum_{i = 1}^{q - 1}n_{i} \right)$$

x_q^- - dolna granica z przedziału z kwantylem

h_q – długość przedziału

n_q – liczebność przedziału

• Modalna (Mo):

$$Mo = X_{\text{Mo}}^{-} + \frac{\left( n_{\text{Mo}} - n_{Mo - 1} \right)*h}{\left( n_{\text{Mo}} - n_{Mo - 1} \right) + \left( n_{\text{Mo}} - n_{Mo + 1} \right)}$$

n_Mo – liczebność modalnej

• Średnia harmoniczna $\left( \overset{\overline{}}{x_{H}} \right)$:

$$\overset{\overline{}}{x_{H}} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{k}\frac{n_{i}}{x_{i}}}$$

• Kowariancja (cov):

$$\text{cov}\left( x,y \right) = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)\left( y_{i} - \overset{\overline{}}{y} \right)$$

$$\text{cov}\left( y,y \right) = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - \overset{\overline{}}{y} \right)^{2} = S^{2}$$

• Jeżeli cov „+”, to wraz ze wzrostem czegoś, rośnie coś innego

• Jeżeli cov „-”, to wraz ze wzrostem czegoś, maleje coś innego

• Współczynnik korelacji (r):

$$r = \frac{\text{cov}\left( x,y \right)}{S_{x}*S_{y}}$$

$$r = \frac{\sum_{}^{}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)\left( y_{i} - \overset{\overline{}}{y} \right)}}{\sqrt{\sum_{}^{}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}*\sum_{}^{}\left( y_{i} - \overset{\overline{}}{y} \right)^{2}}}}$$

• Model regresyjny:

y = ax + b

y – zmiana zależna

x – zmiana niezależna

a,b – parametry modelu

$$\mathbf{a} = \frac{\text{cov}\left( x,y \right)}{S_{x}^{2}} = \frac{\sum_{}^{}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)\left( y_{i} - \overset{\overline{}}{y} \right)}}{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}} = r*\frac{S_{y}}{S_{x}}$$

$$\mathbf{b} = \overset{\overline{}}{y} - a\overset{\overline{}}{x}$$

• Wariancja reszt (S_e²):

$$S_{e}^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - \hat{y_{i}} \right)^{2}$$

S_e – odchylenie standardowe reszt

^ - wartości teoretyczne, czyli wynikające z regresji

• Współczynnik zbieżności (φ²)(fi):

$$\varphi^{2} = \frac{\sum_{}^{}\left( y_{i} - \hat{y_{i}} \right)^{2}}{\sum_{}^{}\left( y_{i} - \hat{y} \right)^{2}}$$

• Współczynnik determinacji (R²):

R² = 1 − φ²

• Przyjmuje wartości <0;1>

• Współczynnik korelacji rang Spearman’a (r_s):

$$r = 1 - \frac{6\sum_{i = 1}^{n}d_{i}^{2}}{n\left( n^{2} - 1 \right)}$$

d_i – różnica między rangami danej obserwacji

d_i = y_i^r − x_i^r

€ <-1;1>

y	x	∑
	x1	x2
y1	a	b
y2	c	d
∑i	a+c	b+d

• Chi (χ²):

$$\chi^{2} = \frac{n\left( ad - bc \right)^{2}}{\left( a + c \right)\left( b + d \right)\left( a + b \right)(c + d)}$$

• Współczynnik V-Cramera

$$V = \sqrt{\frac{\chi^{2}}{n*min(k - 1;s - 1)}}$$

k-1 – kolumna

s-1 – wiersz

• (Niewiadoma)

$$\chi^{2} = \sum_{i = 1}^{k}{\sum_{j = 1}^{s}\frac{{(n_{\text{ij}} - {\hat{n}}_{\text{ij}})}^{2}}{{\hat{n}}_{\text{ij}}}}$$

n_ij – liczebność realna

^n_ij – liczebność teoretyczna

$${\hat{n}}_{\text{ij}} = \frac{n_{i}*n_{j}}{n}$$

n_i• - wiersze

n_•j – kolumny

• Kowariancja (inna) (cov):

$$cov(x,y) = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{\sum_{j = 1}^{s}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)\left( y_{j} - \overset{\overline{}}{y} \right)n_{\text{ij}}}}$$

• Macierze kowariancji i korelacji

$$C = \begin{bmatrix} \text{yy} & \text{yx} & \text{yz} \\ \text{xy} & \text{xx} & \text{xz} \\ \text{zy} & \text{zx} & \text{zz} \\ \end{bmatrix}$$

$$R = \begin{bmatrix} \text{yy} & \text{yx} & \text{yz} \\ \text{xy} & xx & \text{xz} \\ \text{zy} & \text{zx} & \text{zz} \\ \end{bmatrix}$$

• Korelacja (inna)(r):

$$r_{\text{yx.z}} = \frac{r_{\text{yx}} - r_{\text{yz}}*r_{\text{xz}}}{\sqrt{\left( 1 - r_{\text{yz}}^{2} \right)\left( 1 - r_{\text{xz}}^{2} \right)}}$$

r_yx.z , r_yz.x , r_xz.y

• Współczynnik ĩ (tau) Kendal’a (r_ĩ):

$$r_{i} = \frac{2R}{\frac{1}{2}n(n - 1)} - 1$$

• Dystrybuanta:

F(x) = P(X < x)

P(a≤X<b) = F(b) − F(a)

F(x_p) ≤ p ≤ F(x_p) + 0

F(x_p) – patrzenie od -   

F(x_p)+0 – patrzenie od +  

• Rozkład Bernulliego:

X ∼ B(n, p)

n – liczba niezależnych doświadczeń

p – prawdopodobieństwo sukcesu

$$P\left( X = k \right) = \left( \frac{n}{k} \right)p^{k}{(1 - p)}^{n - k}$$

E(X) = n * p

D²(X) = n * p * q

q = 1-p

• Rozkład Poissona:

X ∼ P(λ)

λ = n * p

E(X) = λ - wartość oczekiwana

D²(X)=λ

$$P\left( X = k \right) = \frac{\lambda^{k}}{k!}*e^{- \lambda}$$

e ≈ 2, 718

• Funkcja gęstości rozkładu normalnego

$$f\left( x \right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left\lbrack - \frac{{(X - \mu)}^{2}}{2\sigma^{2}} \right\rbrack$$

-(inf) < X < +(inf)

• Standaryzacja

$$U = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

E(X) = U(albo μ)=Me = Mo

D²(X) = σ²

ϕ(−u) = 1 − ϕ(u)