Nr ćwicz. 105	Data		Wydział	Semestr	Grupa
Prowadzący:			Przygotowanie	Wykonanie	Ocena

Wyznaczanie współczynnika rozszerzalności liniowej ciał stałych

1. Wstęp teoretyczny

Zmianie temperatury ciała towarzyszy na ogół zmiana jego wymiarów liniowych, a więc i zmiana objętości. Elementarny przyrost temperatury dT ciała, którego długość całkowita wynosi l, powoduje przyrost długości dl określony wzorem

Współczynnik α nazywamy współczynnikiem rozszerzalności liniowej. Jego wartość liczbowa jest równa względnemu przyrostowi długości dl/l spowodowanemu zmianą temperatury o 1°C i zależy od rodzaju ciała a także od temperatury. W związku z zależnością współczynnika α od temperatury długość ciała jest na ogół nieliniową funkcją temperatury. W zakresie niewielkich zmian temperatury w przybliżeniu można przyjąć, że współczynnik α jest stały (mówimy wówczas o średnim współczynniku rozszerzalności liniowej), a długość wzrasta wprost proporcjonalnie do temperatury. W tej sytuacji odpowiednikiem wzoru jest wzór następujący:

skąd można wyprowadzić bezpośredni wzór na współczynnik rozszerzalności liniowej:

Przyczyny zjawiska rozszerzalności cieplnej należy szukać w strukturze mikroskopowej ciał. Ciała stałe, na przykład, zbudowane są z atomów (jonów) rozłożonych regularnie w przestrzeni i tworzących sieć krystaliczną. Atomy są wzajemnie ze sobą powiązane siłami pochodzenia elektrycznego, co uniemożliwia im trwałą zmianę położenia. Dostarczona do kryształu energia cieplna wywołuje drgania atomów wokół położeń równowagi. Amplituda tych drgań rośnie wraz z temperaturą. Częstotliwość drgań cieplnych atomów sięga 10¹³ Hz. W tej sytuacji pojęcie odległości międzyatomowej ma sens tylko jako odległość między środkami drgań sąsiednich atomów.

Gdyby energia kinetyczna atomów była równa zeru, znajdowałyby się one w odległości r_o od siebie, dla której to odległości energia potencjalna posiada minimum.

W rzeczywistości atomy wykonują drgania wokół położeń równowagi, tzn. mają określoną energię kinetyczną, która wzrasta ze wzrostem temperatury. W temperaturze T₁ odległość między atomami zmienia się od a₁ do wartości b₁. Wskutek asymetrii krzywej potencjalnej średnie położenie drgającej cząsteczki nie będzie się pokrywać z wartością r₀, lecz przesunie się w prawo osiągając wartość r₁. Przy podwyższeniu temperatury do T₂ atom przejdzie na wyższy poziom energetyczny E_k2 - jego ruch drgający będzie się odbywał między punktami a₁ i b₂, a średnie położenie osiągnie wartość r₂.

Z powyższego opisu wynika, że wraz ze wzrostem temperatury rośnie nie tylko amplituda drgań atomów, lecz także ich średnia wzajemna odległość, co makroskopowo objawia się jako rozszerzalność cieplna.

2. Opis ćwiczenia

Ćwiczenie przeprowadzałem dla pręta mosiężnego i stalowego o długości początkowej 76,84 ± 0,005 cm od temperatury 25 do 70^oC co 5 stopni.

3. Schemat ćwiczenia

1. Pomiar początkowej długości prętów.

2. Co 5°C pomiar temperatury i przyrostów długości aż do 70 stopni.

3. Pomiar przyrostów długości (ujemnych) przy stygnięciu prętów.

4. Wykonanie wykresu zależności wydłużenia od temperatury.

5. Obliczenie wartości współczynnika rozszerzalności cieplnej dla każdego przyrostu temperatury oraz wartości średniej.

4. Dane eksperymentalne

1. Początkowa długość prętów: 768,4 ± 0,05 mm

2. Wskazania czujników mikrometrycznych przy wzrastającej temperaturze

temperatura [^oC]	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70
mosiądz [mm]	0,10	0,15	0,23	0,32	0,40	0,49	0,57	0,65	0,73	0,81
stal [mm]	2,04	2,08	2,14	2,19	2,24	2,28	2,33	2,38	2,43	2,48

3. Wskazania czujników mikrometrycznych przy opadającej temperaturze

temperatura [^oC]	65	60	55	50	45	40	35	30	25
mosiądz [mm]	0,71	0,61	0,52	0,43	0,35	0,28	0,20	0,11	0,04
stal [mm]	2,42	2,36	2,30	2,24	2,19	2,14	2,09	2,04	2,00

5. Obliczenie wyników i dyskusja błędów

1. Błędy systematyczne

Błędem wynikającym z klasy przyrządów obarczony był pomiar długości prętów (± 0,05 mm), oraz pomiary za pomocą czujników mikrometrycznych (± 0,05 mm). Klasa termometru nie została podana przyjąłem zatem ± 0,5^oC.

2. Obliczenie przyrostów długości

Przyrosty długości otrzymujemy bezpośrednio z czujników mikrometrycznych, po odjęciu od wskazania dla danej temperatury wskazania początkowego. Mamy zatem błąd dl = ± 0,1 mm.

1. Przyrosty długości dla rosnącej temperatury

	dl0	dl30	dl35	dl40	dl45	dl50	dl55	dl60	dl65	dl70
mosiądz	0	0,05	0,13	0,22	0,30	0,39	0,47	0,55	0,63	0,71
stal	0	0,04	0,10	0,15	0,20	0,24	0,29	0,34	0,39	0,44

2. przyrosty długości dla malejącej temperatury

	dl0	dl30	dl35	dl40	dl45	dl50	dl55	dl60	dl65	dl70
mosiądz	-0,06	0,07	0,16	0,24	0,31	0,39	0,48	0,57	0,67	0,77
stal	-0,04	0,04	0,09	0,14	0,19	0,24	0,30	0,36	0,42	0,48

Stąd wniosek, że l₀ trzeba przyjąć odpowiednio: 768,4 - 0,06 mm = 768,34 ± 0,1 mm dla mosiądzu i 768,4 - 0,04 mm = 768,36 ± 0,1 mm dla stali.

3. 
   Wykres zależności wydłużenia od temperatury dla danych odczytywanych przy rosnącej temperaturze

4. 
   Wykres zależności wydłużenia od temperatury dla danych odczytywanych przy malejącej temperaturze

5. Wyznaczenie współczynnika rozszerzalności cieplnej dla każdego przyrostu temperatury.




Błąd został obliczony metodą różniczki logarytmicznej.

1. Wyznaczenie α dla mosiądzu i stali przy temperaturze rosnącej

mosiądz

T	Δl	ΔT	α	dα
30	0,05	5	1,30E-05	2,34E-05
35	0,13	10	1,69E-05	1,13E-05
40	0,22	15	1,91E-05	7,40E-06
45	0,30	20	1,95E-05	5,53E-06
50	0,39	25	2,03E-05	4,39E-06
55	0,47	30	2,04E-05	3,66E-06
60	0,55	35	2,05E-05	3,13E-06
65	0,63	40	2,05E-05	2,74E-06
70	0,71	45	2,05E-05	2,43E-06

stal

T	Δl	ΔT	α	dα
30	0,04	5	1,04E-05	2,39E-05
35	0,10	10	1,30E-05	1,17E-05
40	0,15	15	1,30E-05	7,81E-06
45	0,20	20	1,30E-05	5,86E-06
50	0,24	25	1,25E-05	4,71E-06
55	0,29	30	1,26E-05	3,92E-06
60	0,34	35	1,26E-05	3,36E-06
65	0,39	40	1,27E-05	2,94E-06
70	0,44	45	1,27E-05	2,61E-06

2. Wyznaczenie α dla mosiądzu i stali przy temperaturze malejącej

mosiądz

T	Δl	ΔT	α	dα
30	0,07	5	1,82E-05	2,24E-05
35	0,16	10	2,08E-05	1,09E-05
40	0,24	15	2,08E-05	7,29E-06
45	0,31	20	2,02E-05	5,50E-06
50	0,39	25	2,03E-05	4,39E-06
55	0,48	30	2,08E-05	3,64E-06
60	0,57	35	2,12E-05	3,11E-06
65	0,67	40	2,18E-05	2,71E-06
70	0,77	45	2,23E-05	2,40E-06

stal

T	Δl	ΔT	α	dα
30	0,04	5	1,04E-05	2,39E-05
35	0,09	10	1,17E-05	1,18E-05
40	0,14	15	1,21E-05	7,87E-06
45	0,19	20	1,24E-05	5,89E-06
50	0,24	25	1,25E-05	4,71E-06
55	0,3	30	1,30E-05	3,90E-06
60	0,36	35	1,34E-05	3,33E-06
65	0,42	40	1,37E-05	2,91E-06
70	0,48	45	1,39E-05	2,58E-06

6. Obliczenie średnich współczynników rozszerzalności (błąd obliczono za pomocą odchylenia standardowego średniej)

	mosiądz	stal
α średnia	1,98E-05	1,25E-05
błąd α	± 2,04E-06	± 9,03E-07

6. Zestawienie wyników

Z powyżej przedstawionych danych i obliczeń można przyjąć, po uwzględnieniu błędów, współczynniki rozszerzalności liniowej dla mosiądzu 1,98⋅10^-5 1/K, a dla stali 1,25⋅10^-5 1/K. Tablice podają te wartości odpowiednio 1,89⋅10^-5 1/K i 1,3⋅10^-5 1/K.

7. Wnioski końcowe

Ćwiczenie dało, wziąwszy pod uwagę, że współczynniki rozszerzalności liniowej mają bardzo małą wartość liczbową, bardzo zbliżone do prawidłowych wyniki. Ujemne
(w stosunku do wyjściowych) przyrosty długości przy ochładzaniu prętów wynikają prawdopodobnie z dosyć szybkiego procesu chłodzenia, przebiegającego relatywnie o wiele szybciej od procesu ogrzewania prętów.

laboratorium mechaniczne sprawozdanie z ćw. nr 105 strona nr 1







---