Ruch obrotowy bryły sztywnej.

Ciałem sztywnym (lub bryłą sztywną) nazywamy układ bardzo wielu punktów materialnych, których wzajemne odległości pozostają stałe. Jest to więc ciało, które nie podlega odkształceniom.

Ciało sztywne charakteryzujemy, podając rozkład mas w przestrzeni w dowolnym układzie odniesienia- dla N punktów będzie to N wartości mas i n wektorów wodzących (m_i, r_i). Często do opisu ciała sztywnego używa się ciągłego rozkładu masy - wówczas trzeba znać kształt ciała oraz funkcję rozkładu jego gęstości ρ(r), mierzoną w kg/m³. Masa zgromadzona w jednostce objętości dV w miejscu r dana jest jako ρ(r)dV.

Ciała stałe można z dobrym przybliżeniem traktować jako bryły sztywne, o ile siły działające (w tym siły bezwładności) nie są na tyle duże, by powodować odkształcenia.

Opis ruchu (kinematyka) bryły sztywnej.

Ze względu na stałość odległości między punktami ciała sztywnego, jego ruch daje się opisać przy pomocy 6 funkcji czasu (czyli ma on 6 stopni swobody). Najczęściej ruch ciała sztywnego wyraża się jako złożenie ruchu postępowego środka masy (ma on 3 stopnie swobody, X,Y,Z) oraz ruchu obrotowego bryły (pozostałe 3 stopnie swobody, mogą to być np. kąty obrotów wokół trzech wzajemnie prostopadłych osi). Należy pamiętać, że układ środka masy nie zawsze jest układem inercjalnym.

Położenie środka masy ciała sztywnego o masie M w dowolnym układzie odniesienia obliczamy wg. znanego wzoru (zob. wykład o zasadach zachowania):

- dla punktowego rozkładu masy
- dla ciągłego rozkładu masy

Ruch postępowy środka masy ciała sztywnego opisujemy podobnie, jak ruch punktu materialnego (tzn podając wartość wektora R_cm(t) jako funkcję czasu).

Ruch obrotowy wokół stałej osi.

Ruch obrotowy bryły sztywnej to taki, w którym wszystkie punkty ciała zakreślają okręgi, a środki tych okręgów leżą na prostej (odcinku), zwanej osią obrotu. Jeśli oś obrotu ma stały kierunek, to ruch obrotowy opisujemy, podając zależność kąta obrotu, θ, od czasu, jako funkcję θ(t), oraz kierunek osi obrotu.

Prędkość kątową ω definiujemy jako wektor o wartości
i kierunku zgodnym z osią obrotu; o zwrocie wektora decyduje reguła śruby prawoskrętnej. Prędkość kątowa (podobnie jak kąt θ(t)) jest jednakowa dla wszystkich punktów bryły sztywnej. Prędkość kątową wyrażamy w radianach na sekundę.

Związek między prędkością kątową bryły a prędkościami liniowymi punktów składowych bryły sztywnej wyraża się jako:

v_i = ω×r_i

związek ten jest prawdziwy także w przypadku zmiennej osi obrotów.

Przyspieszenie kątowe (wektor) definiuje się jako pochodną wektora ω po czasie:

ε =

Związek między przyspieszeniem kątowym a przyspieszeniem liniowym dowolnego punktu bryły sztywnej (zob. wykład II, kinematyka ruchu po kręgu):

a_i = ε×r_i - i_nω²r_i⊥

Wyrażenie ε×r_i nosi nazwę przyspieszenia stycznego, zaś - i_nω²r_i⊥ to przyspieszenie dośrodkowe.

Przykłady:

1. Ruch obrotowy jednostajny wokół stałej osi: θ(t) = At + θ₀; ω=A, kierunek wektora ω jest zgodny z osią obrotów; oczywiście ε=0.

2. Ruch obrotowy jednostajnie przyspieszony (opóźniony) wokół stałej osi: θ(t) = t²/2 + ω₀t + θ₀;

ω= t + ω₀, kierunek wektora ω pokrywa się z osią obrotów;

ε=, kierunek wektora ε pokrywa się z osią obrotów.

Wzory te są analogiczne do wzorów opisujących ruch punktu materialnego po prostej.

Dynamika bryły sztywnej.

Ponieważ bryła sztywna jest układem punktów materialnych, jej dynamika daje się wyprowadzić z zasad Newtona. Dla wygody wprowadzono jednak szereg nowych pojęć, takich jak moment siły, moment bezwładności itd.

W dynamice bryły sztywnej istotne jest, w którym punkcie ciała przykładamy siłę działającą. Użyteczne okazuje się pojęcie wektora momentu siły, M, którego definicja jest następująca:

M = r × F = r ×

r oznacza “ramię działania” siły, czyli wektor wodzący punktu przyłożenia siły. Moment siły (zwany niekiedy momentem obrotowym) wyraża się w niutonach razy metr (Nm).

Parą sił nazywamy dwie siły równoległe o równych wartościach i przeciwnych zwrotach, ale przyłożone w różnych punktach bryły sztywnej. Para sił ma zatem niezerowy moment sił, chociaż wypadkowa siła jest zerem.

Twierdzenie o redukcji układu sił działających na ciało sztywne:

Dowolny układ sił zewnętrznych, działających na ciało sztywne, jest równoważny działaniu jednej siły (równej sumie wektorowej sił działających), działającej na środek masy ciała, oraz jednej pary sił równych sobie, ale przeciwnie skierowanych, o momencie, będącym sumą wektorową momentów wszystkich sił zewnętrznych.

Równania Newtona dla bryły sztywnej.

Dzięki powyższemu twierdzeniu równania ruchu bryły sztywnej można rozseparować na równanie ruchu postępowego środka masy, (które jest analogiczne do równania ruchu punktu materialnego):

oraz na równanie ruchu obrotowego bryły:

gdzie L jest wektorem sumarycznego momentu pędu bryły. Są to najważniejsze, i najbardziej ogólne, równania ruchu postępowo-obrotowego bryły sztywnej.

Zasada zachowania momentu pędu w ruch obrotowym

Ponieważ siły wiążące bryłę sztywną można uważać za centralne, zasada zachowania momentu pędu ma zastosowanie dla brył sztywnych. Można ją sformułować następująco: jeśli suma wektorowa momentów sił zewnętrznych, działających na ciało sztywne, lub układ ciał sztywnych, jest zerem, to całkowity moment pędu układu jest stały.

Takie sformułowanie jest bezpośrednią konsekwencją równania
.

Zauważmy, że ponieważ moment pędu jest wektorem, zasada powyższa zawiera w istocie 3 zasady zachowania trzech niezależnych składowych wektora L.

Twierdzenie: podczas ruchu względem stałej osi obrotów moment pędu jest proporcjonalny do prędkości kątowej i ma ten sam kierunek.

L = Iω

gdzie I - moment bezwładności, zależny od masy i kształtu ciała, wyrażany w kg·m². Więcej o momencie bezwładności zob. poniżej.

Przykład zastosowania zasady zachowania momentu pędu: piruet.

Piruet. Łyżwiarz, kręcący piruety, nie jest układem izolowanym, ponieważ działa na niego siła ciężkości oraz siła reakcji podłoża (lodu). Jednak obie te siły maja kierunek pionowy, a więc ich moment będzie miał zawsze kierunek poziomy. Wynika stad, że składowa pionowa momentu pędu musi być zachowana, co wykorzystuje łyżwiarz do przyspieszenia swoich obrotów, zmniejszając swój moment bezwładności poprzez złożenie rąk:

I₁ω₁ = I₂ω₂

Przykład: jadący i stojący rower.

Jak wiadomo, stanie na rowerze nie poruszającym się jest b. trudne, natomiast w czasie ruchu rower łatwo utrzymuje pozycje pionową. Wynika to z II zasady Newtona dla ruchu obrotowego (zmiana kierunku momentu pędu wymaga użycia momentu siły). Dla roweru stojącego moment pędu jego kół jest zerowy, i dlatego nawet najmniejszy moment siły (w tym wypadku siły ciążenia) może zmienić jego położenie.

Zauważmy, że efekt ten dowodzi wektorowego charakteru momentu pędu!

Zasada zachowania energii w ruchu bryły sztywnej. Obliczanie momentu bezwładności.

Ponieważ siły utrzymujące kształt bryły sztywnej są siłami centralnymi, ich obecność nie narusza zasady zachowania energii mechanicznej. Jeśli zatem siły zewnętrzne, działające na bryłę sztywną, są siłami zachowawczymi, to do analizy jej ruchu (postępowo-obrotowego) można stosować zasadę zachowania energii.

Energia kinetyczna bryły sztywnej w ruchu obrotowym jest sumą energii kinetycznych jej punktów składowych:

E_k =

Wyrażenie:

nazywa się momentem bezwładności bryły sztywnej względem określonej osi obrotów (wyznaczonej przez kierunek wektora ω). Mamy zatem:

Jeśli rozkład masy bryły jest rozkładem ciągłym, to wzór na moment bezwładności ma postać całkową:
.

Moment bezwładności dla regularnych brył można obliczyć (zob. niżej). Np. dla kuli o masie M i promieniu R wynosi on 2/5MR².

Sumaryczną energię kinetyczną ciała sztywnego o masie M i momencie bezwładności I wyrażamy jako:

E_k =

Energię potencjalną bryły sztywnej wyraża się często jako energię jego środka masy

E_p = E_p(R_cm)

Wzór ten jest jednak ścisły tylko dla jednorodnego pola siłowego. W przypadku pól silnie niejednorodnych energia potencjalna bryły sztywnej jest sumą energii potencjalnych punktów składowych i zależy od jej kształtu, rozkładu masy, rozkładu ładunku elektrycznego itd.

Uwaga: moment bezwładności tego samego ciała względem różnych osi obrotów może być różny!

(Nieobowiązkowe)

Obliczanie momentów bezwładności dla brył symetrycznych i jednorodnych.

Aby obliczyć moment bezwładności dla bryły sztywnej o ciągłym rozkładzie masy, korzystamy ze wzoru:

Przykłady (wszędzie zakładamy ρ = const):

Pręt liniowy o długości L i przekroju ΔS: dV=ΔSdl; I =ρΔS∫l²dl, całkowanie od 0 do L/2, ostatecznie I=ML²/12.

Walec (oś obrotu zgodna z osią symetrii): dV jest objętością „warstwy walcowej”:

dV = 2πrhdr; zatem:
= πρhR⁴/2 = MR²/2 gdyż M = ρπhR²

Kula (oś obrotu przechodzi przez środek) liczymy najpierw moment dla kuli wydrążonej o grubości powłoki dr:

= 2πρr⁴dr,

a następnie całkujemy względem zmiennej r od 0 do R, otrzymując w końcu I = 2MR²/5.

Przykład: staczanie się brył z równi pochyłej.

Kula i walec oraz walec wydrążony o równych promieniach (R) staczają się (bez poślizgu) z równi pochyłej o długości l i nachyleniu . Która bryła stoczy się najszybciej, a która najwolniej? Tarcie zaniedbujemy.

W oparciu o zasadę zachowania energii piszemy:

gdzie I = AMR²; A = 0.4 dla kuli; 0.5 dla walca i 1 dla walca wydrążonego.

Jeśli toczenie jest bez poślizgu, to mamy związek miedzy prędkością liniową a kołową: V_cm = Rω; zatem:

skąd można obliczyć prędkość końcową, która jest równa 2 razy prędkość średnia (bo ruch jest jednostajnie przyspieszony):

, a zatem prędkość ta jest największa dla kuli, a najmniejsza dla walca wydrążonego, bez względu na masę!

Twierdzenie Steinera.

Jeżeli ciało obraca się wokół osi nie przechodzącej przez środek masy, to jego moment bezwładności jest zwiększony o wielkość Ma², gdzie a - odległość osi obrotu od środka masy.

Dowód:

I = Σm_ir²_i⊥ = Σm_i((x_i+a)²+y²_i) = Σm_ir²_i⊥ + Σm_ia² + 2aΣm_ix_i, ale ostatni wyraz jest zerem w układzie środka masy.

Wahadło fizyczne. Bryła sztywna zawieszona jest na (stałej) osi powyżej środka masy. Na ciało wychylone z położenia równowagi działa moment siły związany z siłą ciężkości. Punktem przyłożenia tej siły jest środek masy ciała, a zatem:

M = -mglsinθ,

gdzie l - odległość punktu zawieszenia od środka masy. W przybliżeniu małych wychyleń mamy sinθ≈θ, i wobec tego równanie ruchu ma postać

jest to zatem równanie ruchu harmonicznego z częstością daną równaniem

ω² =

W przypadku, gdy I = ml² (wahadło matematyczne), dostajemy ω² = mgl/ml² = g/l.

Jeżeli znamy moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy, to moment względem rzeczywistej osi obrotu obliczamy z twierdzenia Steinera:

I = I₀ + ml²

gdzie I₀ jest momentem bezwładności wahadła względem osi symetrii lub osi głównej bryły.

Jest to główna metoda doświadczalnego wyznaczania momentów bezwładności brył nieregularnych.

Ruch obrotowy przy zmiennej osi obrotu: żyroskop, c.d.

Żyroskop to złożone ciało sztywne, którego część wykonuje ruch obrotowy. Wskutek tego ma ono znaczny moment pędu, i wykazuje znaczną stabilność orientacji w przestrzeni, gdyż zmiana jego położenia (nachylenia) wymaga zmiany kierunku wektora L, a zatem przyłożenia znacznego momentu sił. Jak każdy wie, rower utrzymuje łatwo pozycje pionową, gdy jest w ruchu, ale nie podczas „stójki”.

Załóżmy, że trzymamy w ręku przed sobą koło, np. rowerowe, którego płaszczyzna jest pionowa, prostopadła do linii wzroku. Jeśli koło spoczywa, to możemy z łatwością skręcić jego oś tak, by wyszła z poziomu. Jeśli jednak koło to wiruje i ma własny moment pędu L, to zmiana kierunku osi obrotów wymaga przyłożenia momenty siły równego ΔL/Δt. W dodatku okazuje się, że kierunek tego momentu nie może być poziomy (tzn. siły nie mogą skręcać koła w pionie), bo poziomy moment sił spowoduje skręcenie płaszczyzny koła w bok (prawo lub lewo), zamiast ku poziomowi.

Jak wszyscy wiemy, rower pochylony na prawa stronę nie upada na ziemię, lecz skręca. Jest to efekt podobny do opisanego wyżej, gdyż nachylenie roweru powoduje powstanie momentu sił ciężkości oraz oporu podłoża. Siły te w pozycji pionowej roweru równoważą się, natomiast po pochyleniu roweru stanowią parę sił o momencie skierowanym poziomo do przodu. Ten moment sił zmienia kierunek obrotu kół roweru tak, że rower skręca w prawo.

Ruch obrotowy przy zmiennej osi obrotu: precesja bąka symetrycznego.

Bąkiem symetrycznym nazywamy ciało sztywne, obracające się wokół osi symetrii, oparte jednym punktem (leżącym na osi) o podłoże. Jeżeli oś obrotu jest pionowa, to nie działają żadne zewnętrzne momenty sił, a siła ciężkości i siła reakcji podłożą są zrównoważone.

Jeżeli jednak oś obrotu znajdzie się w położeniu nachylonym do pionu o kąt φ, to wskutek działania siły ciężkości (mg) i siły oporu podłoża (-mg) powstaje moment sił, skierowany poziomo, prostopadle do osi obrotu (=osi wirowania ciała), równy co do wartości mgrsinφ, gdzie r - odległość środka ciężkości od punktu podparcia. Moment ten w ciągu czasu Δt spowoduje zmianę całkowitego momentu pędu ΔL=MΔt, co oznacza również zmianę kierunku osi obrotu wzdłuż kierunku momentu sił (a więc nie w dół, lecz poziomo). W efekcie, oś obrotu (wirowania) bąka zaczyna krążyć wokół osi pionowej, wyznaczonej przez punkt podparcia, po powierzchni stożkowej. Zjawisko to nazywamy precesją.

Prędkość kołowa precesji, ω_pr, dana jest wzorem:

i nie zależy od kąta nachylenia φ, natomiast jest w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalna do prędkości wirowania bąka (bo L≈Iω).

Ruchy precesyjne spotyka się w wielu innych działach fizyki, np. dipole magnetyczne umieszczone w stałym polu zewnętrznym często wykonują precesję wokół linii sił pola magnetycznego. Jeśli na taki dipol skierujemy promieniowanie elektromagnetyczne o częstości równej częstości precesji (ω_p), to zachodzi zjawisko rezonansu magnetycznego, czyli pochłonięcia energii promieniowania przez dipol.

Podstawowe wielkości charakteryzujące ruch postępowy oraz obrotowy

Ruch prostoliniowy	Ruch obrotowy
Przesunięcie: ( )	Kąt obrotu
Prędkość: ( )	Prędkość kątowa :
Przyspieszenie :	Przyspieszenie kątowe:
Masa :	Moment bezwładności :
Siła :	Moment siły:
Pęd:	Moment pędu:
Energia kinetyczna:	Energia kinetyczna:

3

---