Wartość pieniądza w czasie

Zadanie 1

Posiadane 10 000 zł lokujemy w banku na okres 3 roku. Oprocentowanie lokat 12-miesięcznych wynosi 5%.

Ustal przyszłą wartość lokaty, gdy:

1. odsetki są naliczane po terminie (kapitalizacja prosta)

2. odsetki są naliczane i kapitalizowane pod koniec każdego roku

Zadanie 2

Oblicz odsetki od dwuletniej lokaty 100 zł, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 10%, a odsetki naliczane są:

1. po terminie, czyli kapitalizacja prosta.

2. po upływie każdego roku.

Zadanie 3

Jan Kowalski chce ulokować w banku kwotę 10 000 zł. na okres pół roku i ma do wyboru 2 banki. W obu bankach oferowana roczna stopa oprocentowania lokat jest równa i wynosi 7%. W pierwszym banku A odsetki naliczane są tylko na koniec okresu trwania lokaty, natomiast w drugim banku B odsetki są naliczane i kapitalizowane, co miesiąc. Który bank wybrać?

Zadanie 4

Jan Kowalski chce ulokować w banku kwotę 10 000 zł. na okres pół roku i ma do wyboru 2 banki. W bankach oferowana roczna stopa oprocentowania lokat jest różna i wynosi w banku A 7,5%, w banku B 7,25%. W pierwszym banku A odsetki naliczane są tylko na koniec okresu trwania lokaty, natomiast w drugim banku B odsetki są naliczane i kapitalizowane co miesiąc. Który bank wybrać?

Zadanie 5

Za kwotę 10 000 zł nabywamy2-letnie obligacje skarbowe. Oprocentowanie obligacji wynosi 8% w skali roku, a odsetki są kapitalizowane co pół roku. Po jakiej cenie obligacje te zostaną odkupione przez Skarb Państwa za 2 lata?

Zadanie 6

Kwotę 10 000 zł wpłacamy na rachunek bankowy. Odsetki na tym rachunku są naliczane i kapitalizowane co 3 miesiące (oraz w dniu zamknięcia rachunku) wg rocznej stopy procentowej równej 5%. Ustal, jaką kwotę zwróci nam bank, gdybyśmy chcieli zamknąć rachunek po 8 miesiącach.

Zadanie 7

Wyspa Manhattan została w 1626 roku kupiona od Indian za równowartość 24$. Ustal, jak byłaby wartość tej kwoty dziś, gdyby Indianie ulokowali ja w banku na 7% rocznie?

Zadanie 8

Pan J. Kowalski dysponuje wolnymi środkami pieniężnymi w kwocie 30 tys. Zł. Chciałby je ulokować na roczną lokatę w banku. Trzy banki zaproponowały mu różne warunki:

Bank A: kapitalizacja na koniec okresu, roczna stopa procentowa 8%

Bank B: kapitalizacja co pół roku, roczna stopa procentowa 7,8%

Bank C: kapitalizacja co dwa miesiące, roczna stopa procentowa 7,5%

Należy ustalić, ile wyniosą odsetki (wartościowo) przy uwzględnieniu 20% podatku od odsetek.

Zadanie 9

Spółka Amika posiada wolna gotówkę w wysokości 100 tys. zł. Postanowiła ulokować ją na półtora roku w banku, uważając, że jest to inwestycja pewniejsza i przynosząca wyższą stopę zwrotu niż inne inwestycje. Bank zaproponował dwie lokaty na następujących warunkach:

• lokata A: roczna stopa procentowa 9%, kapitalizacja miesięczna,

• lokata B: roczna stopa procentowa10%, kapitalizacja prosta.

Która z tych lokat przyniesie spółce „Amica” wyższe odsetki?

Zadanie 10

Inwestycja w depozyt bankowy rozpoczęła się 15 marca, zakończyła zaś 25 czerwca tego samego roku. Zainwestowana kwota to 1000 PLN, a oprocentowanie depozytu wynosi 12%..

Należy wyznaczyć wartość przyszłą przy zastosowaniu różnych konwencji (ustalania n) przy czym rozpatrujemy jedynie kapitalizację prostą (tak zwykle czyni się w praktyce przy krótkoterminowych inwestycjach).

Zadanie 11

Inwestycja polega na systematycznym wpłacaniu przez dwa lata co miesiąc kwoty 100 zł PLN na depozyt bankowy. Oprocentowanie depozytu wynosi 12% a kapitalizacja jest …………. Sa dwa sposoby wpłacania:

- pierwszy (pierwsza wpłata za miesiąc) - renta z dołu;

- drugi (pierwsza wpłata dziś) - renta z góry

Ustal wartość depozytu w przypadku renty płatnej z dołu i z góry.

Zadanie 12

Inwestycja polega na wpłacaniu na depozyt bankowy kilku kwot co trzy miesiące (pierwsza wpłata następuje za trzy miesiące). Kapitalizacja jest kwartalna, oprocentowanie depozytu wynosi 8%. Kolejno są wpłacane następujące kwoty: 100 PLN, 300 PLN, 200PLN, 250 PLN. Wyznacz wartość depozytu po roku, czyli po wpłaceniu ostatniej kwoty.

Zadanie 13

Wyznacz efektywne stopy procentowe dla trzech przypadków stóp nominalnych: 20%, 8% i 2% oraz dla przypadków kapitalizacji: rocznej, półrocznej, kwartalnej, miesięcznej, dziennej (zakładając 365 dni w roku) i ciągłej.

Zadanie 14

Pewna inwestycja za dwa lata da równowartość 10 000 PLN. Należy wycenić, ile ta inwestycja jest warta dzisiaj. Stopa procentowa, będąca wymaganą stopą zwrotu, jest równa 10 %. Przedstaw zatem wartość bieżącą kwoty 10 000 PLN, przy zastosowaniu kapitalizacji prostej, rocznej, miesięcznej, ciągłej.

Zadanie 15

Istotą analizowanej inwestycji jest otrzymywanie regularnie stałej kwoty równej 1000PLN, co miesiąc przez 2 lata. Są rozpatrywane dwie sytuacje: pierwsza płatność za miesiąc (renta z dołu) , pierwsza płatność dziś(renta z góry). Stopa procentowa, która jest wymagana stopą zwrotu inwestora wynosi 12%. Ponieważ płatności są co miesiąc stopa procentowa musi być dostosowana ( skali miesiąca wynosi 1%).

Ustal PV.

Zadanie 16

Należy rozważyć inwestycję, polegającą na otrzymywaniu bezterminowo kwoty 1000 PLN na koniec każdego miesiąca. Wymagana stopa zwrotu inwestora wynosi 12%. Musimy dostosować stopę procentowa w skali miesiąca.

Zadanie 17

W wyniku inwestycji spodziewamy się otrzymać trzy przepływy pieniężne: po roku 2000 PLN, po dwóch latach - 2500PLN, po trzech latach - 2800PLN. Wymagana stopa zwrotu inwestora wynosi 8%. Ustal wartość inwestycji dzisiaj.

Zadanie 18

Inwestycja polega na otrzymywaniu bezterminowo kwoty co miesiąc . Pierwsza kwota otrzymana za miesiąc) wynosi 100 PLN, każda następna rośnie w stosunku do poprzedniej o 0,5%.Wymagana stopa zwrotu inwestora wynosi 12%.Ustal wartość tej inwestycji dziś. Ponieważ płatności występują co miesiąc stopa procentowa musi być dostosowana.

Zadanie 19

W wyniku inwestycji spodziewamy otrzymywać trzy przepływy pieniężne: po roku -

2000 PLN, po dwóch latach - 2500PLN, po trzech latach - 2800 PLN. Nakład początkowy wynosi 6000 PLN. Do wyznaczenia wartości bieżącej netto przyjąć należy trzy różne wymagane stopy zwrotu inwestora: 6%, 8%, i 10%. Ustal NPV.

Zadanie 20

Inwestor planuje systematycznie, co miesiąc wpłacać stałą kwotę na depozyt bankowy, tak aby po roku uzyskać 10 000 PLN. Oprocentowanie depozytu wynosi 12%, a kapitalizacja jest miesięczna. Ustal wartość wpłacanej kwoty z góry i z dołu (wielkość renty).

Zadanie 21

Został zaciągnięty kredyt w wysokości 100 000PLN. Oprocentowanie kredytu wynosi 12%, kapitalizacja jest miesięczna. Kredyt ma być spłacony w ciągu dwóch lat, w równych miesięcznych ratach, z których każda zawiera zwrot kwoty kredytu i odsetki)

Ustal wartość renty (raty kredytu) płatnej z góry i z dołu.

Zadanie 22

Inwestycja polega na wpłacaniu na depozyt bankowy kilku kwot co trzy miesiące (pierwsza wpłata następuje za trzy miesiące). Kapitalizacja jest …………, a oprocentowanie depozytu zmienia się co kwartał i w kolejnych kwartałach wynosi: 8%, 8,2%, 8,4%, 7,8%. Są kolejno wpłacane następujące kwoty: 100PLN, 300 PLN, 200PLN, 250 PLN. Wyznacz wartość przyszłą po roku, czyli po wpłaceniu ostatniej kwoty.

Zadanie 23

W wyniku inwestycji spodziewamy się otrzymać trzy przepływy pieniężne: po roku 2000PLN, po dwóch latach - 2500 PLN, po trzech latach - 2 800PLN. Wymagana stopa zwrotu jest zmienna i w kolejnych latach wynosi: 8%, 8,5%, 9%. Ustal wartość tej inwestycji dzisiaj.

Oznaczenia:

• Wartość przyszła - FV

• Wartość bieżąca - PV

• Liczba lat (ogólnie liczba okresów) - n

• Stopa procentowa - r

Wartość przyszła - kapitalizacja prosta (okresowa)

FV = PV (1 + nr) (1.1)

Wartość przyszła - kapitalizacja roczna

FV = PV (1+r)ⁿ (1.2)

Wartość przyszła - kapitalizacja częstsza niż raz w roku

FV = PV (1+r/m)^nm (1.3)

gdzie:

m - liczba kapitalizacji w ciągu roku, (np. m =2 w wypadku kapitalizacji półrocznej)

Wartość przyszła - kapitalizacja ciągła

FV = PVe^nr (1.4)

gdzie:

e - podstawa logarytmu naturalnego

___________________________________________________________________

Oznaczenia:

PMT - oznacza wielkość renty,

Wartość przyszła renty płatnej z dołu:

(1.5)

Wartość przyszła renty płatnej z góry:

(1.6)

Wartość przyszła regularnych przepływów pieniężnych:

(1.7)

Ct - przepływ pieniężny występujący w okresie t

Efektywna stopa procentowa

Efektywna stopa procentowa - kapitalizacja częstsza niż raz w roku:

(1.8)

Efektywna stopa procentowa - kapitalizacja ciągła

(1.9)

Wartość bieżąca - kapitalizacja prosta (okresowa)

PV = FV/ (1 + nr) (2.1)

Wartość bieżąca - kapitalizacja roczna

PV = FV/ (1+r)ⁿ (2.2)

Wartość przyszła - kapitalizacja częstsza niż raz w roku

PV = FV /(1+r/m)^nm (2.3)

gdzie:

m - liczba kapitalizacji w ciągu roku, np. m =2 w wypadku kapitalizacji półrocznej

Wartość bieżąca - kapitalizacja ciągła

PV = FVe^-nr (2.4)

gdzie:

e - podstawa logarytmu naturalnego

Wartość bieżąca renty płatnej z dołu:

(2.5)

Wartość bieżąca renty płatnej z góry:

(2.6)

Renta wieczysta (Wartość bieżąca renty wieczystej)

(2.7)

Wartość bieżąca regularnych przepływów pieniężnych:

(2.8)

Wartość bieżąca nieskończonej liczby przepływów pieniężnych rosnących w stałym tempie.

(2.9)

g - stopa (tempo) wzrostu płatności.

Wartość bieżącą netto, w skrócie NPV (Net Present Value).

(2.10)

gdzie:

Io - tzn. nakład początkowy, który w tym wzorze jest również utożsamiany z przeplywem pieniężnym w okresie zerowym (dzisiejszym).

RENTA

Wielkość renty płatnej z dołu, gdy jest znana wartość przyszła:

(2.11)

Wielkość renty płatnej z góry, gdy jest znana wartość przyszła:

(2.12)

Wielkość renty płatnej z dołu, gdy jest znana wartość bieżąca:

(2.13)

Wielkość renty płatnej z góry, gdy jest znana wartość bieżąca.

(2.14)

Wartość przyszła regularnych przepływów pieniężnych - zmienna stopa procentowa

(2.15)

r_i- stopa procentowa w okresie i-tym, wyrażona w skali okresu występowania płatności.

Wartość bieżąca regularnych przepływów pieniężnych - zmienna stopa procentowa

(2.16)

---