Miary dynamiki

Dane statystyczne

• Podstawowym „surowcem” w statystyce są dane statystyczne.

• Dane statystyczne dotyczą zawsze pewnych zbiorowości (populacji), których elementami są obiekty materialne lub zjawiska.

• Dane statystyczne mają najczęściej postać szeregów czasowych.

Wyróżniamy:

• Szeregi czasowe (chronologiczne)

• Dane przekrojowe

• Dane przekrojowo-czasowe

Szeregi czasowe (chronologiczne) składają się z liczb odpowiadających wartościom, jakie przybrała dana cecha (zmienna) w kolejnych, jednakowo odległych momentach (latach, kwartałach, miesiącach).

Przykład.

Miesięczne wydatki na żywność wybranej rodziny Kowalskich w 2002 r.

Miesiąc	Wydatki na żywność
Styczeń Luty Marzec Kwiecień Maj Czerwiec Lipiec Sierpień Wrzesień Październik Listopad Grudzień	1200 1100 1220 1250 1230 1260 1315 1410 1350 1360 1345 1500

Dane przekrojowe dotyczą wielkości obiektów w tym samym momencie.

Rodziny	1	2	3	4	5	6	7	8
Wydatki (w zł)	1345	1400	1670	1525	1280	1150	1450	1520

Dane przekrojowo-czasowe

Dotyczą szeregów czasowych zawierających wartości pomiary tej samej zmiennej (cechy) zaobserwowanych przekrojowo w przypadku wielu obiektów

Przykład.

Wydatki na żywność 8 rodzin w kolejnych miesiącach 2002 r.

Miesiąc	Rodziny
	1
Styczeń Luty Marzec Kwiecień Maj	1200 1100 1220 1250 1230

• Podstawą analiz dynamicznych są odpowiednio zestawione empiryczne szeregi czasowe.

• Warunki konieczne, które formalnie powinny być spełnione dla każdego analizowanego statystycznego szeregu czasowego to m.in.:

• Przyjęcie odpowiedniej długości szeregu czasowego, który nie powinien być ani za krótki ani też za długi;

• Zapewnienie porównywalności realizacji zaobserwowanego zjawiska dla wcześniejszych i późniejszych punktów czasu i okresów

• Wskazanie rodzaju wag dla liczbowych realizacji obserwowanego zjawiska.

W szeregach dynamicznych (czasowych) zmienną niezależną jest czas, natomiast zmienną zależną – wartości liczbowe badanego zjawiska, czyli

W zależności od celu badania i właściwości zjawisk masowych zmienna niezależna może być ujmowana poprzez:

• Szeregi czasowe momentów

• Szeregi czasowe okresów

W szeregach czasowych zmienną niezależną jest czas, zmienną zależną jest – wartości liczbowe badanego zjawiska.

Zjawiska zmieniające się wolno są ujmowane w pewnych określonych momentach np. w dniu lub godzinie, np. liczba ludności Suwałk na dzień 31.XII w kolejnych 10 latach.

Szeregi czasowe zawierające informacje o rozmiarach zjawiska w dłuższych lub krótszych okresach (np. rok, półrocze, kwartał) nazywamy szeregami czasowymi okresów.

Szereg czasowy momentów

	t	karty debetowe y
stan na 31.III.1999 r.	1	4080,844
stan na 30.VI.1999 r.	2	5130,765
stan na 30.IX.1999 r.	3	6029,25
stan na 31.XII.1999 r.	4	7280,496
stan na 31.III.2000 r.	5	7800,533
stan na 30.VI.2000 r.	6	8345,396
stan na 30.IX.2000 r.	7	8988,571
stan na 31.XII.2000 r.	8	9905,657
stan na 31.III.2001 r.	9	10287,444
stan na 30.VI.2001 r.	10	10862,113
stan na 30.IX.2001 r.	11	11792,839
stan na 31.XII.2001 r.	12	12740,63
stan na 31.III.2002 r.	13	13466,691
stan na 30.VI.2002 r.	14	14387,34
stan na 30.IX.2002 r.	15	14409,382
stan na 31.XII.2002 r.	16	15080,287
stan na 31.III.2003 r.	17	13032,947
stan na 30.VI.2003 r.	18	13168,07
stan na 30.IX.2003 r.	19	13160,746
stan na 31.XII.2003 r.	20	13315,84

Szereg czasowy okresów

Lata	Produkcja węgla (w tys. ton)
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996	147 736 140 376 131 531 130 479 133 933 137 166 137 987

Dynamikę zjawiska można poddać analizie obserwując szereg statystyczny dotyczący tego zjawiska jak również jego „kształt” przedstawiony na wykresie, np.

Metody badania zmian szeregu dynamicznego

Przyrosty absolutne

y₁, y₂, y_3,,…., y_n – wielkości poziomu zjawiska w określonych momentach (okresach)

1. Za podstawę porównań przyjmijmy y₁, to
y₂-y₁, y₃-y₁, y₄-y₁, ….., y_n-y₁
ciąg przyrostów absolutnych jednopodstawowych

2. y₂-y₁, y₃-y₂, y₄-y₃, …., y_n-y_n-1
ciąg przyrostów absolutnych łańcuchowych.

Przyrosty absolutne informują, o ile wzrósł (znak +) lub zmalał (znak -) poziom badanego zjawiska w okresie (momencie) badanym w porównaniu z okresem bazowym (przyjętym za podstawę).

Przyrosty absolutne są wielkościami mianowanymi wyrażonymi w tych samych jednostkach miary co badane zjawisko.

Wniosek – nie nadają się one do porównań ze zmianami innych zjawisk, które są wyrażone w innych jednostkach miary

Innym zagadnieniem przy obliczaniu wielkości absolutnych jest wybór podstawy porównań – powinna ona być na tyle charakterystyczna, aby pozwalała poznać istotę zachodzących zmian. Nie należy obierać za podstawę okresu zupełnie wyjątkowego, gdyż wszystkie porównania byłyby wówczas zniekształcone.

Badając np. rozwój produkcji roślinnej nie należy przyjmować jako stałej podstawy tego roku, w którym był silny nieurodzaj, ponieważ przyrosty absolutne dawałyby niesłychanie korzystny obraz rozwoju produkcji.

Przyrosty względne

Jest to iloraz przyrostów absolutnych zjawiska do jego poziomu w okresie (momencie) przyjętym za podstawę porównań.

Informują, o ile wyższy lub niższy jest poziom badanego zjawiska w danym okresie w stosunku do okresu bezpośrednio poprzedzającego (przyrosty względne łańcuchowe) lub w porównaniu z okresem przyjętym za podstawę (przyrosty względne jednopodstawowe).

Przyrosty względne mogą być jednopodstawowe lub łańcuchowe.

• Przyrosty względne jednopodstawowe

• Przyrosty względne łańcuchowe

Wskaźniki dynamiki (indeksy)

Wskaźnik dynamiki jest to liczba względna powstała przez podzielenie wielkości danego zjawiska w okresie badanym przez wielkość tego zjawiska w okresie przyjętym za podstawę (okres bazowy).

Wyróżniamy:
Indeksy jednopodstawowe

Indeksy łańcuchowe

Indeks jest wielkością niemianowaną (może być wyrażony w ułamku lub procentach).

Jeżeli przyjmuje wartości z przedziału ( ), to występuje spadek poziomu zjawiska w okresie badanym w stosunku do okresu podstawowego.

Jeżeli ( ) to występuje wzrost poziomu zjawiska w okresie badanym w stosunku do okresu podstawowego.

Przykład 1.

Przyrosty absolutne, względne i indeksy obliczone na podstawie danych dotyczących rozwodów orzeczonych w Polsce w latach 1980-1984 przedstawia tabela:

Lata	Rozwody (w tys.)	Przyrosty absolutne	Przyrosty względne	Indeksy
		Jednopodsta-wowe (1980=100)	Łańcuchowe	Jednopodsta-wowe (1980=100)
1980 1981 1982 1983 1984	34,6 36,3 37,4 39,7 39,7	0,0 1,7 2,8 5,1 5,1	- 1,7 1,1 2,3 0,0	0,0 4,9 8,1 14,7 14,7

Zamiana podstaw w indeksach jednopodstawowych

Dzielimy indeksy o starej podstawie przez indeksy o starej podstawie przyjętych za nową podstawę.

Lata	Indeksy
	Jednopodstawowe (1980=100)
1980 1981 1982 1983 1984	100,0 104,9 108,1 114,7 114,7

Zamiana indeksów jednopodstawowych na łańcuchowe

Zamiany dokonujemy dzieląc indeks jednopodstawowy przez bezpośrednio go poprzedzający.

Lata	Indeksy
	Jednopodstawowe (1980=100)
1980 1981 1982 1983 1984	100,0 104,9 108,1 114,7 114,7

Zamiana indeksów łańcuchowych na jednopodstawowe

1. Indeks jednopodstawowy w okresie przyjętym za podstawę wynosi 1 (100%)

2. W okresach późniejszych niż przyjęty za podstawowy otrzymujemy mnożąc w sposób narastający kolejne indeksy łańcuchowe

3. Indeksy jednopodstawowe przed okresem podstawowym są odwrotnością narastających iloczynów kolejnych indeksów łańcuchowych, licząc od okresu przyjętego za podstawę.

Lata	Indeksy
	Łańcuchowe
1980 1981 1982 1983 1984	- 104,9 103,0 106,1 100,0

Średnie tempo zmian zjawisk w czasie

Do oceny zmian zjawiska w całym okresie objętym obserwacją używa się średniej geometrycznej

gdzie indeksy łańcuchowe

lub

Przykład 2.

Lata	Rozwody (w tys.)	Indeksy łańcuchowe
1980 1981 1982 1983 1984	34,6 36,3 37,4 39,7 39,7	- 104,9 103,0 106,1 100,0

Przykład 3.

Poniższa tabela przedstawia zmiany na giełdzie w kursach aktywów pewnego przedsiębiorstwa w stosunku do czwartego notowania

nr notowania	2	3	4	5
zmiana kursu w stosunku do 4 notowania	-3 %	6 %	0 %	-5 %

Ile wynosił kurs akcji w notowaniu 5 jeżeli w notowaniu 2 wynosił 60 zł ?

Przykład 4.

Poniższa tabela informuje o wielkości produkcji przedsiębiorstwa P w latach 2000 – 2004

rok	2000	2001	2002	2003	2004
wielkość produkcji (w tys. ton)	5261	6100	6505	6750	7100

a) Wyznaczyć średnie roczne tempo zmian wielkości produkcji w latach 2000 – 2004.

b) Zakładając niezmienny poziom obliczonego średniego tempa zmian wielkości produkcji przedsiębiorstwa P w następnych latach oszacować przewidywaną wielkość produkcji tego przedsiębiorstwa w 2006 roku.

Przykład 5.

Poniższy ciąg indeksów informuje o zmianach wielkości produkcji przedsiębiorstwa P w latach 1994 – 1998

rok	1995	1996	1997	1998
in/n-1	110	112		108

Ile wynosi brakujący indeks jeżeli wiadomo, że w latach 1994 – 1998 średnie roczne tempo wzrostu wielkości produkcji wynosiło 12% ?

Indeksy indywidualne i zespołowe (agregatowe)

Indeksy indywidualne znajdują zastosowanie w przypadku badania dynamiki zjawisk jednorodnych.

Indeksem indywidualnym nazywamy wówczas stosunek poziomów tego samego zjawiska z dwóch różnych okresów (momentów).

W statystyce społeczno-ekonomicznej rozpatruje się zwykle trzy rodzaje indywidualnych wskaźników dynamiki:

• Indeksy cen

• Indeksy ilości

• Indeksy wartości

• Indeks indywidualny cen

i_p – indeks cen

p₁ – cena jednostki w okresie badanym

p₀ – cena jednostki w okresie bazowym (podstawowym)

• Indeks indywidualny ilości

i_q – indeks ilości

q₁ – ilość wyrobu w okresie badanym

q₀ – ilość wyrobu w okresie bazowym (podstawowym)

• Indeks indywidualny wartości

i_w – indeks wartości

w₁ – wartość wyrobu w okresie badanym

w₀ – wartość wyrobu w okresie bazowym (podstawowym)

Indywidualne indeksy cen, ilości i wartości informują o zmianie (wzroście lub spadku) tych wielkości w okresie badanym w porównaniu z okresem przyjętym za podstawę porównań. Między indywidualnymi indeksami cen, ilości i wartości obliczonymi dla tego samego okresu zachodzi związek

Indeksy agregatowe

W praktyce badań statystycznych niejednokrotnie zachodzi potrzeba obliczenia indeksów dotyczących nie indywidualnych jednostek, ale całego zespołu (agregatu, zbioru) jednostek.

Do badania dynamiki całego zespołu zjawisk – zwykle niejednorodnych i bezpośrednio niesumowalnych – stosowane są indeksy agregatowe.

Konstrukcja indeksów opiera się na wykorzystaniu określonych współczynników przeliczeniowych, odgrywających rolę wag. Rolę wag najczęściej spełniają ceny i ilości.

Wyróżniamy indeksy agregatowe:

wartości

ilości

cen

Indeksy agregatowe wartości

I_w – agregatowy indeks wartości

- suma wartości badanego zespołu w okresie badanym

- suma wartości badanego zespołu w okresie bazowym

Agregatowy indeks wartości wyraża zmiany, jakie nastąpiły w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym zarówno w ilościach określonego zespołu artykułów, jak i w ich cenach.

Do uzyskania agregatowego indeksu ilości unieruchamiane są ceny, do indeksu cen unieruchamiane (ustalane na stałym poziomie) są ilości (wielkości) produktu.

Najczęściej wykorzystywane są formuły standaryzacji Laspeyresa i Paaschego.

Agregatowe indeksy ilości

Indeks ilości Laspeyresa

Indeks ilości Paaschego

Agregatowe indeksy cen

Indeks cen Laspeyresa

Indeks cen Paaschego

Agregatowe indeksy cen i ilości obliczone według reguł Laspeyresa i Paaschego dla tego samego zespołu artykułów różnią się zwykle między sobą.

Powstaje zatem pytanie, która z tych formuł jest poprawniejsza?

Przyjmuje się, że należy obliczać, w miarę możliwości, oba indeksy – informują one bowiem o zakresie (granicach) zmian w dynamice badanego agregatu.

Formuła Fishera

Równość indeksowa dla wielkości agregatowych

Jeżeli indeksy agregatowe różnią się o więcej niż o 1%, to należy wyznaczyć indeks średni – indeks Fishera

Pomiędzy agregatowymi indeksami wartości, cen i ilości zachodzą następujące związki – jest to tzw. RÓWNŚĆ INDEKSOWA DLA INDEKSÓW AGREGATOWYCH

Przykład 6.

Przedsiębiorstwo branży dziewiarskiej produkuje w trzech zakładach odpowiednio:

- w zakładzie A dzianinę (w metrach),

- w zakładzie B dresy (w sztukach),

- w zakładzie C włóczkę bawełnianą (w kilogramach).

Wielkość produkcji i jednostkowe ceny wyrobów w latach 2004 i 2005 podane są w tabeli

zakład	wielkość produkcji	ceny jednostkowe
	2004 (q0)	2005 (q1)
A	50	50
B	10	20
C	20	15

a) Jak zmieniła się wartość produkcji w całym przedsiębiorstwie?

b) Jak zmieniła się wielkość produkcji w przedsiębiorstwie?

c) Jak zmieniła się cena jednostkowa dla wszystkich wyrobów łącznie?

Zakład	Wielkość produkcji	Ceny jednostkowe	w0=p0q0	w1=p1q1
	2004 (q0)	2005 (q1)	2004 (p0)	2005 (p1)
A	50	50	30	45
B	10	20	60	80
C	20	15	20	40
Suma	2500	4450

Wartość produkcji w całym przedsiębiorstwie wzrosła o 78% w roku 2005 w porównaniu z r. 2004.

Zakład	Wielkość produkcji	Ceny jednostkowe	w0=p0q0	q1p0
	2004 (q0)	2005 (q1)	2004 (p0)	2005 (p1)
A	50	50	30	45
B	10	20	60	80
C	20	15	20	40
Suma	2500	3000

Wielkość produkcji w roku 2005 w porównaniu z r. 2004 wzrosła o 20% pod warunkiem stałych cen z roku 2004.

Zakład	Wielkość produkcji	Ceny jednostkowe	w1=p1q1	q0p1
	2004 (q0)	2005 (q1)	2004 (p0)	2005 (p1)
A	50	50	30	45
B	10	20	60	80
C	20	15	20	40
Suma	4450	3850

Wielkość produkcji w roku 2005 w porównaniu z r. 2004 wzrosła o 16% pod warunkiem stałych cen z roku 2005.

Wielkość produkcji w roku 2005 w porównaniu z 2004 wzrosła średnio o 18%

Ceny w roku 2005 w porównaniu z 2004 wzrosły o 54% pod warunkiem stałych wielkości produkcji z roku 2004.

Ceny w roku 2005 w porównaniu z 2004 wzrosły o 48% pod warunkiem stałych wielkości produkcji z roku 2005.

Ceny w 2005r w porównaniu z 2004 wzrosły średnio o 51%

Odpowiedź

Na wzrost wartości produkcji w r. 2005 w porównaniu z 2004 o 78% miały wpływ:

• wzrost ilości produkcji w granicach od 16% do 20% (średnio 18%)

• oraz wzrost cen w granicach od 48% do 54% (średnio 51%)

Przykład 7.

W 2000r. sprzedano w mieście B jabłek za 24 tys. zł, gruszek za 12 tys. zł. Wartość sprzedaży w 2001r. jabłek i gruszek stanowiła odpowiednio 150% i 130% wartości sprzedaży tych artykułów w 2000r. Ceny jabłek w 2001r. zmalały o 10% w stosunku do 2000r., ceny gruszek wzrosły o 6%. Określić dynamikę wartości oraz masy fizycznej sprzedaży owoców w mieście B przy założeniu stałych cen z roku 2001.

Owoce	w0=p0q0 (2000r)	w1=p1q1 (2001r)	ip=p1/po
Jabłka	24	24x1,5=36	0,9
Gruszki	12	12x1,3=14,6	1,06
Suma	36	50,6

Wartość sprzedanych owoców w roku 2001 w porównaniu z rokiem 2000 wzrosła o 41%.

Owoce	w0=p0q0 (2000r)	w1=p1q1 (2001r)	ip=p1/po	ipw0
Jabłka	24	24x1,5=36	0,9	21,6
Gruszki	12	12x1,3=14,6	1,06	12,72
Suma		50,6		34,32

Wielkość sprzedaży owoców w roku 2001 w porównaniu z r. 2000 wzrosła o 47% pod warunkiem stałych cen z roku 2001.

Przykład 8

Rynek krótkoterminowych papierów dłużnych w okresie t=0 oraz w analogicznym okresie w roku następnym (t=1)dla trzech największych agentów emisji charakteryzuje liczba wyemitowanych transz (w szt.) oraz cena (w mln zł /1 transzę):

AGENCI
	q0
I	37
II	14
III	45

O ile procent wzrosło zadłużenie z tytułu emisji papierów dłużnych dla trzech agentów łącznie w badanym okresie w porównaniu z analogicznym okresem sprzed roku i ile wynosił najwyższy wzrost liczby wyemitowanych transz oraz najwyższy wzrost cen:

1. 102,50%; 104,44%; 97,21%

2. 10,25%; 105,4%; 102,81%

3. 1,025%; 1,05%; 1,02%

4. 2,5%; 5,4%; 2,81%