statystyka Dr michał trzęsiok
SEMESTR ZIMOWY 2015/2016
INFORMACJE O PRZEDMIOCIE
Literatura
Zaliczenie
Ilość ECTS

Wykład 1, 05.10.2015
Temat: Charakterystyki liczbowe rozkładów empirycznych.

Statystyka:

1. Zbiór danych liczbowych reprezentujących określone masowe zjawiska bądź procesy

2. Czynności związane z gromadzeniem i opracowywaniem danych z punktu pierwszego

3. Charakterystyki liczbowe dotyczących danych z punktu pierwszego (np. średnia arytmetyczna, odchylenie standardowe itp.)

4. Dyscyplina naukowa traktująca o ilościowych metodach badania zjawisk (procesów) masowych czyli naukę, która dotyczy punktów 1-3.

Za pomocą metod statystycznych można wykryć różnego rodzaju prawidłowości.

Populacja i próba

Populacja – Przedmiotem badań statystycznych jest zbiór jednostek statystycznych podobnych pod względem określonych własności (np. mieszkańcy Śląska, firmy z branży informatycznej itp.) Ów zbiór nazywany populacją (zbiorowością statystyczną).

Próba – ponieważ bezpośrednia badania populacji są zbyt kosztowne i czasochłonne, a często wręcz niemożliwe, w statystyce w tym celu wykorzystuje się próbę, która stanowi podzbiór populacji. Aby rezultaty badania próby mogły być uogólnione na całą populację, próba powinna być reprezentatywna, tj. wybrana w sposób losowy i odpowiednio duża.

Dwa filary statystyki:

1. Statystyka opisowa

2. Statystyka matematyczna

Dobór narzędzia do analizy

Zarówno dobór miar statystycznych jak i sposób prezentacji danych zależą od typu zmiennej (cechy), którą badamy.

Cecha – to pewna własność obiektów należących do pewnej zbiorowości wspólna dla wszystkich i przyjmująca wartości z określonego zbioru (badamy zbiór jednostek statystycznych ze względu na wyróżnioną cechę).

Ze względu na sposób wyrażania wartości cechy można je podzielić na:

• metryczne (ilościowe, mierzalne)

• niemetryczne (jakościowe, niemierzalne, opisowe)

Zmienne ilościowe i jakościowe

Cecha ilościowa – wartościami cech ilościowych są liczby uzyskane w wyniku pomiaru (np. wielkości PKB danego kraju, wielkość zatrudnienia w firmie, liczba dzieci w rodzinie).

Cecha jakościowa – wartościami cech jakościowych (choć dla odróżnienia częściej mówi się o wartościach cechy jakościowej a nie jej wartościach) są kategorie uzyskane w wyniku pomiaru (kategorie, czyli różnego typu symbole, słowa, np. płeć, imię, kolor).

Kontrowersja – podział cech na ilościowe i jakościowe jest nieprecyzyjny i wywołuje spory. Aby tego uniknąć cechy dzielimy ze względu na skalę pomiaru (wyróżniamy 4 skale pomiaru).

Skale pomiaru według Stevensa

Pomiar – porównanie cech ze wzorcem wyposażonym w odpowiednią skalę

• Skala nominalna (skala nazw)

Gdy między wartościami cechy X dla dwóch obieków zachodzi jedna z relacji:

x_A=x_B lub x_A≠x_B

(np. zmienna płeć o wariantach kobieta, mężczyzna)

• Skala porządkowa

Gdy można określić znak różnicy pomiędzy wartościami cechy X, tj. zachodzi jedna z relacji:

x_A>x_B x_A<x_B lub x_A=x_B x_A≠x_B

(np. zmienna to wykształcenie o wariantach: podstawowe, średnie, zawodowe)

• Skala przedziałowa

Gdy można określić wielkość różnicy pomiędzy wartościami cechy X (o ile jednostek), tj. na wartościach cechy dopuszczalne są operacje:

>,<,=,+,-

(np. zmienna temperatura o wartościach na skali Celsjusza lub poziom inteligencji mierzony liczbą punktów z testu IQ)

• Skala ilorazowa

Gdy można określić krotność różnicy pomiędzy wartościami cechy X (ile razy) tj. na wartościach cechy dopuszczalne są operacje:

>,<,=,+,-,/,*,≠

(np. zmienna temperatura o wartościach na skali Kelvina lub wzrost lub wiek)

Skala nominalna i porządkowa to tzw. skale słabe, a skala przedziałowa i ilorazowa to tzw. skale mocne.

Skale pomiaru zmiennych są uporządkowane (od najsłabszych do najmocniejszych) i zawierają się w sobie (nominalna ⊂ porządkowa ⊂ przedziałowa ⊂ ilorazowa).

Zmienna skokowa (dyskretna)

Przyjmujące wartości z pewnego skończonego lub przeliczalnego zbioru; wyróżnia ją brak wartości pośrednich dla bliskich sobie wartości, np. zmienna dzietność kobiet o wartościach ze zbioru: {0,1,2,3,…}, nie jest możliwe uzyskanie dzietności równej np. 3,14.

Zmienna ciągła

Przyjmujące wartości z pewnego nieskończonego, a dokładniej nieprzeliczalnego zbioru, np. wzrost następuje w sposób płynny, każdy mierzył kiedyś 0,7828399 m.

Szeregi statystyczne:

• Szereg wyliczający dla zmiennej skokowej

X_i – wielkość zatrudnienia w firmie budowlanej

5, 7, 10, 10, 15, 21

• Szereg rozdzielczy dla zmiennej skokowej

Niech x_i – cena komputera [tys. zł], n_i – liczba sklepów z ceną komputera równą x_i

xi	ni
1,8	10
2,0	11
2,2	13
2,4	9

• Szereg rozdzielczy dla zmiennej ciągłej [szereg przedziałowy]

Niech x_i- wydobycie ropy naftowej [mln t], n_i – liczba państw

xi	ni
60-89	2
90-119	4
120-179	7
180-369	3

x_i – wartość badanej cechy

n_i – liczebność (krotność)

Szereg rozdzielczy zwany również szeregiem ważonym może być ważony liczebnościami (n_i) lub częstościami względnymi ( $w_{i} = \frac{n_{i}}{N}$ )

Dopasowanie typu wykresu do skali pomiaru zmiennej:

Dla zmiennych skokowych – diagramy	Dla zmiennych ciągłych – histogramy

Złote reguły tworzenia histogramu:

• Wszystkie obserwacje ze zbioru danych muszą być uwzględnione na wykresie

• Sąsiednie przedziały na histogramie muszą się „sklejać” (nie może być „dziur” między przedziałami)

• Przedziały na histogramie nie mogą mieć części wspólnej

Wykład 2, 12.10.2015
Temat: Miary statystyczne

Charakterystyka miar statystycznych:

• Miary położenia charakteryzują przeciętną wartość cechy dla jednostek w próbie

• Miary rozproszenia (zróżnicowania, zmienności) charakteryzują stopień zróżnicowania jednostek w próbie

• Miary asymetrii (skośności) pokazują czy więcej jednostek ma wartość cechy większą, czy mniejszą od średniej

• Miary koncentracji pokazują na ile wartości cechy skupione (skoncentrowane) są blisko średniej

• Miary korelacji (dla co najmniej dwóch zmiennych) pokazują kierunek i siłę związku między zmiennymi

	miary położenia	miary rozproszenia	miary asymetrii	miary korelacji
nominalna	dominanta	entropia	-	statystyka x^2
porządkowa	mediana kwantyle	odchylenie ćwiartkowe	pozycyjny współczynnik asymetrii	współczynnik korelacji Kendalla
przedziałowa	średnia arytmetyczna	odchylenie standardowe	klasyczny współczynnik asymetrii	współczynnik korelacji Pearsona
ilorazowa	średnia geometryczna i harmoniczna	współczynnik zmienności	klasyczny współczynnik asymetrii	stosunek korelacyjny

Inny podział miar statystycznych:

• Miary klasyczne – wymagają znajomości wszystkich wartości cechy (dla szeregów przedziałowych wszystkie przedziały muszą być domknięte). Są obiektywne, ale bardzo wrażliwe na błędy oraz tzw. wartości oddalone.

• Miary pozycyjne – nie wymagają znajomości wszystkich wartości cechy. Ich wartość wynika ze szczególnego położenia w szeregu, co oznacza, że są subiektywne. Nie są jednak wrażliwe na błędy, wartości oddalone itp.

Średnia z liczb x₁, x₂, … ,x_N to wartość teoretyczna, która przypadałaby na jednostkę statystyczną, gdyby łączny zasób cechy był rozłożony równomiernie

Średnia arytmetyczna

• dla szeregu wyliczającego:

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}x_{i}$$

• dla szeregu ważonego dla zmiennej skokowej

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{k}{x_{i}n_{i}} = \sum_{i = 1}^{k}{x_{i}w_{i}}$$

• dla szeregu ważonego dla zmiennej ciągłej (przedziałowego)

$$\overset{\overline{}}{x} \approx \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{k}{\hat{x_{i}}n_{i}} = \sum_{i = 1}^{k}{\hat{x_{i}}w_{i}}$$

gdzie:

n_i – liczebności

w_i – częstości

${\hat{x}}_{i}$ – środek przedziału

k – liczba przedziałów (grup)

Własności średniej:

• średnia jest miarą klasyczną i jest wrażliwa na wartości oddalone (ekstremalne)

$$x_{\min} \leq \overset{\overline{}}{x} \leq x_{\max}$$

$$\sum_{i = 1}^{N}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right) = 0}$$

Dominanta to wartość występująca najczęściej.

D = x_D, dla której n_D = max{n_i}

Dominanta leży w przedziale o największej gęstości i obliczamy ją według wzoru:

$$D \approx x_{D} + \frac{g_{D} - g_{D - 1}}{\left( g_{D} - g_{D - 1} \right) + \left( g_{D} - g_{D + 1} \right)}*_{D}$$

Gęstość przedziału

$$g_{i} = \ \frac{n_{i}}{_{i}}$$

Lub w przypadku szeregu o przedziałach jednakowej długości:

$$D \approx x_{D} + \frac{n_{D} - n_{D - 1}}{\left( n_{D} - n_{D - 1} \right) + \left( n_{D} - n_{D + 1} \right)}*_{D}$$

Własności dominanty:

• dominanta jest miarą pozycyjną i jest wyznaczana dwuetapowo (najpierw pozycja, a potem wartość odpowiadająca tej pozycji)

• dominanta nazywana jest również modą [oznaczenie: Mo]

• w szeregu może istnieć więcej niż jedna dominanta (mówimy wtedy o rozkładach wielomodalnych)

• w przypadku szeregu przedziałowego, w którym największa gęstość jest w przedziale pierwszym lub ostatnim nie można zastosować podanych wzorów; piszemy wtedy tylko jaki jest przedział dominanty.

Gdy dominanta znajduje się w pierwszym lub ostatnim przedziale nie wyznaczamy jej ze wzorów, informujemy tylko, w którym przedziale się znajduje.

Mediana to wartość środkowa lub inaczej – taka wartość w szeregu, która rozdziela ten szereg na dwie części, w ten sposób, że połowa wartości w szeregu jest od niej mniejsza lub równa, a pozostała połowa – większa lub równa.

Mediana

Dla nieparzystej liczby obserwacji N:

Me = x_{0, 5(N + 1)}

Dla parzystej liczby obserwacji N:

$$Me = \frac{x_{0,5N} + x_{0,5N + 1}}{2}$$

Dla szeregów przedziałowych stosujemy wzór na kwantyl rzędu 0,5, gdyż Me =  Q_0, 5

Własności mediany:

• mediana jest miarą pozycyjną i jest wyznaczana dwuetapowo (najpierw pozycja, a potem wartość odpowiadająca tej pozycji)

• mediana jest pozycyjnym odpowiednikiem średniej (miary klasycznej) i często używa się ich zamiennie $\overset{\overline{}}{x} \leftrightarrow Me$

• mediana jest odporna na wartości oddalone

• średnia, dominanta i mediana nazywane są miarami tendencji centralnej

Kwantyl rzędu p, gdzie p ∈ (0, 1) to taka wartość w szeregu, która rozdziela ten szereg na dwie części, w ten sposób, że p*100% wartości w szeregu jest od niej mniejsza lub równa, a pozostała część ((1−p) * 100%) – większa lub równa

Kwantyl rzędu p

Q_p = x_{[N*p} + 1}

Gdzie [N*p] oznacza część całkowitą (cechę) z liczby N * p

Kwantyl Q_p leży w przedziale, w którym znajduje się obserwacja o numerze [N * p]+1  i obliczamy go według wzoru:

$$Q_{p} \approx x_{\text{Qp}} + \frac{p*N - cumn_{Qp - 1}}{n_{\text{Qp}}}$$

Uwagi do kwantyli

Niektóre kwantyle są na tyle ważne i często wykorzystywane, że mają własne nazwy, a czasem i oznaczenia:

• medniana: Me = Q_0, 5

• kwartyle (dzielące na części czwarte); pierwszy kwartyl Q_0,25, drugi kwartyl, czyli Me, oraz trzeci kwartyl Q_0,75

• percentyle (dzielące na części setne); pierwszy percentyl Q_0,01, drugi percentyl Q_0,02, … dziewięćdziesiąty dziewiąty percentyl Q_0,99

• często wykorzystuje się dwa kwantyle do odcinania wartości skrajnych w szeregu (np. przedział (Q_0,1;Q_0,9) zawiera 80% obserwacji w szeregu odcinając skrajnie niskie i skrajnie wysokie).

Miary rozproszenia:

Warincja to przeciętny kwadrat odchylenia od średniej arytmetycznej

Dla szeregu wyliczającego:

$$S^{2}\left( x \right) = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})^{2}}$$

Dla szeregu ważonego dla zmiennej skokowej:

$$S^{2}\left( x \right) = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})^{2}}n_{i}$$

Dla szeregu ważonego dla zmiennej ciągłej (przedziałowego):

$$S^{2}\left( x \right) \approx \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}{(\hat{x_{i}} - \overset{\overline{}}{x})^{2}}n_{i}$$

Własności wariancji:

• wariancja jest miarą klasyczną i jest wrażliwa na wartości oddalone

• wariancji nie interpretujemy (z powodu jednostek „kwadratowych” w jakich jest wyrażana)

• wariancja ma bardzo duże znaczenie w teorii statystyki

• na potrzeby interpretacji pierwiastkujemy wariancję, ale to już inna miara statystyczna.

Odchylenie standardowe to przeciętne odchylenie od średniej

$$S\left( x \right) = \sqrt{S^{2}(x)}$$

Współczynnik zmienności również wyraża przeciętne odchylenie od średniej

$$V_{s}\left( x \right) = \frac{S(x)}{\overset{\overline{}}{x}} = \frac{S(x)}{\overset{\overline{}}{x}}*100\%$$

Uwagi do współczynnika zmienności:

• współczynnik zmienności wyraża to samo co odchylenie standardowe, ale Vs jest miarą względną (bez jednostek; wyrażona w %), zaś s jest miarą absolutną (wyrażoną w jednostkach takich jak dane)

• to czy zróżnicowanie danej cechy jest duże czy małe zależy od tego ile jest równa średnia, np. zróżnicowanie cech pewnego produktu równe +/- 2zł jest bardzo duże w przypadku, gdy produktem jest kostka masła, lub bardzo małe, gdy produktem jest komputer

• zawsze kiedy chcemy porównać zróżnicowanie (rozproszenie) należy posłużyć się (porównać) współczynniki zmienności; nie wolno porównywać odchyleń standardowych.

Odchylenie ćwiartkowe to przeciętne odchylenie od mediany

$$Q = \frac{Q_{0,75} - Q_{0,25}}{2}$$

• odchylenie ćwiartkowe jest pozycyjnym odpowiednikiem odchylenia standardowego (miary klasycznej) i często używa się ich zamiennie; s ←→ Q

• analogicznie do klasycznego współczynnika zmienności można do porównywania zróżnicowania wykorzystywać pozycyjny współczynnik zmienności:

$$V_{Q} = \frac{Q}{\text{Me}}$$

Kierunek asymetrii:

asymetria lewostronna	rozkład symetryczny	asymetria prawostronna

Miary asymetrii: współczynnik asymetrii Pearsona

$$\gamma = \frac{\overset{\overline{}}{x} - D}{S(x)}$$

• γ jest miara hybrydowa, klasyczno–pozycyjna

• γ stosujemy tylko dla rozkładów jednomodalnych

• γ = 0 – rozkład symetryczny

• γ > 0 – rozkład o asymetrii prawostronnej

• γ < 0 – rozkład o asymetrii lewostronnej

• Im γ bliższe wartości 0, tym asymetria słabsza, im dalsze 0, tym silniejsza

Zestandaryzowany moment centralny trzeciego rzędu

$$\text{\ \ \ \ }_{3}\left( x \right) = \frac{M_{3}(x)}{{(S\left( x \right))}^{3}}$$

Gdzie

$$M_{3}\left( x \right) = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}{(x_{i} - {\overset{\overline{}}{x})}^{3}}$$

$$M_{3}\left( x \right) = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}{(x_{i} - {\overset{\overline{}}{x})}^{3}*n_{i}}$$

$$M_{3}\left( x \right) \approx \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}{(\hat{x_{i}} - {\overset{\overline{}}{x})}^{3}*n_{i}}$$

• ₃ jest miara klasyczna

• ₃(x) = 0 – rozkład symetryczny

• ₃(x) > 0 – rozkład o asymetrii prawostronnej

• ₃(x) < 0 – rozkład o asymetrii lewostronnej

• Im ₃(x) bliższe wartości 0, tym asymetria słabsza, im dalsze 0, tym silniejsza

Pozycyjny współczynnik asymetrii (Yule’a–Kendalla)

$$A = \frac{\left( Q_{0,75} - Me \right) - (Me - Q_{0,25})}{Q_{0,75} - Q_{0,25}}$$

• A jest miara pozycyjna

• A 2 h−1, 1i

• A = 0 – rozkład symetryczny

• A > 0 – rozkład o asymetrii prawostronnej

• A < 0 – rozkład o asymetrii lewostronnej

• im A bliższe wartości 0, tym asymetria słabsza, im dalsze 0, tym silniejsza

Wykład 3, 19.10.2015
Temat: Analiza korelacji

Wprowadzenie

• jednostki statystyczne wchodzące w skład badanej zbiorowości są zazwyczaj opisywane za pomocą więcej niż jednej cechy (zmiennej)

• analizowane zmienne bardzo często są ze sobą w pewien sposób powiązane

• celem analizy korelacji jest stwierdzenie, czy między badanymi zmiennymi zachodzą jakieś związki a jeśli tak, to jakie są kierunek i siła tej zależności

• przykład związku, który możemy badać wykorzystując analizę korelacji: zależność popytu od ceny danego produktu

• do statystycznego badania tego typu związków posługujemy się miarami korelacji

Analiza korelacji dla dwóch zmiennych ilościowych:

• zakładamy, że mamy dwie zmienne (X i Y) mierzone na mocnych skalach

• Istnieją logiczne (merytoryczne) przesłanki badania związków między tymi zmiennymi

• Należy się zastanowić nad tym, czy zależność z natury jest jednokierunkowa (np. tylko Y(X)), czy dwukierunkowa (zarówno Y(X) jak i X(Y))

• Najsilniejsza znana forma zależności, to zależność funkcyjna (w matematyce: każdemu argumentowi odpowiada dokładnie jedna wartość), ale takie zależności rzadko występują w naukach ekonomicznych (społecznych); dlatego badamy inny rodzaj zależności – zależności korelacyjne. Zależności korelacyjne w istocie dotyczą zależności:$\ \overset{\overline{}}{Y}(X)$ oraz ci:$\ \overset{\overline{}}{X}(Y)$

Analizę korelacji warto rozpocząć od zilustrowania współzmienności wykresu rozrzutu.

Pomiar liniowego związku korelacyjnego

jeśli obwiednia danych jest w przybliżeniu elipsa, to związek jest w przybliżeniu liniowy i do jego zbadania możemy posłużyć się współczynnikiem korelacji liniowej Pearsona (ozn. r_xy lub r (x, y))

$$r_{\text{xy}} = \frac{cos(x,y)}{S\left( x \right)*S(y)}$$

gdzie kowariancję definiujemy jako:

$$\text{cov}\left( x,y \right) = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)*(y_{i} - \overset{\overline{}}{y})}$$

Własności współczynnika korelacji liniowej Pearsona:

• r_xy jest miara klasyczna (wrażliwa na wartości oddalone)

• jest miarą symetryczna, tj. r_xy = r_xy (bez względu na to, czy zależność ma charakter jedno– czy dwukierunkowy)

• r_xyϵ⟨−1,1⟩

Kierunek liniowej zależności korelacyjnej

• r_xy = 0 – brak liniowego związku korelacyjnego miedzy badanymi zmiennymi

• r_xy > 0 – korelacja dodatnia [wraz ze wzrostem wartości zmiennej X wartości Y średnio rzecz biorąc rosną]

• r_xy < 0– korelacja ujemna [wraz ze wzrostem wartości zmiennej X wartości Y średnio rzecz biorąc maleją]

Siła liniowej zależności korelacyjnej

• im r_xy bliższe wartości 0, tym asymetria słabsza, im dalsze 0, tym silniejsza

• stosowane czasem przedziały do określania siły związku:

|r_xy| < 0, 3 – słaby związek liniowy;

0, 3 ≤ |r_xy| < 0, 7 – związek liniowy o umiarkowanej sile;

|r_xy| ≥ 0, 7 – silny związek liniowy;

 |r_xy| = 1 - funkcyjny związek liniowy;

Uwaga

Powyższe przedziały określania siły związku korelacyjnego są umowne i kontrowersyjne

Lepszy do oceny siły zależności korelacyjnej jest współczynnik determinacji:

R² = (r_xy)²

Który w przypadku zależności Y(X) informuje jaki procent zmian zmiennej Y można wyjaśnić zmianami w wartościach zmiennej X (precyzyjniejsze niż powyższe umowne przedziały)

Uwaga dotycząca wniosków z analizy korelacji

Analiza korelacji daje informacje o współwystępowaniu zmiennych a nie o zależnościach przyczynowo – skutkowych między nimi.

Uwagi dotyczące miar korelacji

Inne miary zależności korelacyjnej

• dla zmiennych Y i X mierzonych na skalach ilorazowych zależność korelacyjną można badać wykorzystując bardziej uniwersalną miarę – stosunek korelacyjny (można go stosować zarówno w przypadku zależności liniowych jak i krzywoliniowych)

• Możliwe jest badanie zależności wyróżnionej zmiennej Y od wielu zmiennych X₁, X₂, X₃,…; Współczynnik do tego używany nazywamy współczynnikiem korelacji wielorakiej

• Jak było wskazane w tabelce dla zmiennych ze słabych skal stosujemy miarę X², lub współczynnik korelacji rang: Kendalla lub Spearmana

Wykład 4, 26.10.2015
Temat: Analiza regresji

Wprowadzenie:

• Nadal rozważamy przypadek, w którym analizowane są dwie zmienne, w pewien sposób powiązane

• Dla przypomnienia: celem analizy korelacji jest stwierdzenie, czy między badanymi zmiennymi zachodzą jakieś związki a jeśli tak, to jakie są kierunek i siła tych zależności

• Celem analizy regresji jest predykcja, czyli prognozowanie jak zmienią się wartości zmiennej badanej pod wpływem zmian wartości zmiennej objaśniającej

• Do prognozowania konieczna jest znajomość mechanizmu powiązań między zmiennymi i ten mechanizm zapisany w postaci matematycznego równania nazywany funkcją regresji

Regresja liniowa – idea

• Mając dany zbiór obserwacji dla dwóch zmiennych {(x₁,y₁),  (x₂,y₂), …,  (x_N,y_N)} poszukujemy najlepszej dopasowanej funkcji matematycznej f z pewnej rodziny rozpatrywanych funkcji, która jak najlepiej opisuje (reprezentuje) zależność

Y = f(x)

• Zmienną Y nazywamy zmienną objaśnianą (lub zmienną zależną) a zmienną X – zmienną objaśniającą.

• W rzeczywistości Y oddziałuje nie tylko X, ale również inne zmienne, któ®ych nie obserwowaliśmy. Funkcja f informuje zatem jak kształtowałaby się wartość Y, gdyby oddziaływały na nią tylko wartości X

• Funkcja f jest zatem tylko przybliżeniem prawdziwej zależności. Aby zaznaczyć, czy mówimy o wartościach empirycznych zmiennej Y (wynikających z rzeczywistej) obserwacji zjawiska i oznaczanych przez y), czy o wartościach teoretycznych (wynikających z modelu), używać będziemy oznaczenia

$$\hat{y} = f(x)$$

• Na y oddziałuje także czynnik losowy (oznaczany przez u), więc model regresji zapisujemy w postaci:

y = f(x) + u

[powyższa równość stanowi model badanej zależności – model regresji]

• O u mówimy także, że to tzw. reszty modelu

$$u = y - f\left( x \right) = y - \hat{y}$$

Chcielibyśmy, aby reszty modelu były jak najmniejsze

• W dalszej części zakładać będziemy liniową postać modelu, tzn. funkcja f jest funkcją liniową:

f(x) = ax + b

• Poszukujemy więc takiej linii prostej y=ax+b, która jak najlepiej opisuje zależność między zmiennymi Y i X (o jak najmniejszych resztach). Wyznaczenie funkcji liniowej f sprowadza się do wyznaczenie współczynnika kierunkowego a i wyrazu wolnego b

• Niektóre reszty są ujemne, niektóre dodatnie – my wykorzystamy metodę, która w poszukiwaniu najlepszej funkcji liniowej f minimalizuje sumę kwadratów reszt

$$\sum_{i = 1}^{N}{u_{i}^{2} =}\sum_{i = 1}^{N}{(y_{i} - \hat{y_{i}})^{2} \rightarrow min}$$

• Powyższa metoda wyznaczania funkcji regresji nazywana jest metodą najmniejszych kwadratów (MNK)

Wyznaczanie parametrów funkcji regresji

• przez g funkcję wyrażającą sumę kwadratów reszt modelu regresji liniowej

$$g\left( a,b \right) = \sum_{i = 1}^{N}{{(y}_{i} - \hat{y_{i}})^{2} = \sum_{i = 1}^{N}{{(y}_{i} - (\text{ax}_{i} + b{))}^{2}}}$$

• poszukujemy minimum funkcji dwóch zmiennych (w tej funkcji niewiadome [zmienne] to a oraz b)

• warunek konieczny na ekstremum – obliczamy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego tej funkcji i przyrównujemy do zera; rozwiązujemy układ równań normalnych

• udowodniono, że w metodzie MNK punkt spełniający warunek konieczny, spełnia również warunek wystarczający i w tym punkcie jest minimum

• można wykazać, że

$$a = \frac{cos(x,y)}{S^{2}(x)}$$

$$b = \overset{\overline{}}{y} - a\overset{\overline{}}{x}$$

a – mówi o ile zmniejszy się lub zwiększy się wartość y, jeżeli x wzrośnie o jednostkę

• dopasowanie funkcji regresji do danych mierzymy wykorzystując:

współczynnik zbieżności:

$$\varphi^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{N}{(y_{i} - \hat{y_{i}})^{2}}}{\sum_{i = 1}^{N}{(y_{i} - \overset{\overline{}}{y})^{2}}}$$

Mówi w ilu % zmiany w y nie są objaśnione zmianami wartości x.

współczynnik determinacji:

R² = 1 − φ²

R²ϵ⟨0,1⟩ i φ²ϵ⟨0,1⟩

Mówi w ilu % zmiany w y da się objaśnić zmianami wartości x.

Prognozowanie na podstawie funkcji regresji

• wartość prognozowania zmiennej Y dla argumentu x_T:

$$\hat{y} = f\left( x_{T} \right) = \text{ax}_{T} + b$$

• chcemy oszacować błąd (resztę) modelu dla tej prognozy

• odchylenie standardowe reszt

$$s_{U} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N}{(y_{i} - \hat{y_{i}})^{2}}}{N - k}}$$

gdzie k – liczba parametrów modelu regresji (dla funkcji liniowej k=2)

• odchylenie standardowe reszt mówi nam o ile średnio rzecz biorąc wartości teoretyczne (wynikające z modelu) odchylają się od wartości rzeczywistych in plus i in minus

Wykład 5, 09.11.2015
Temat:

1 część wykładu

Agregatowe wskaźniki dynamiki dla wielkości statystycznych

Indeksy agregatowe (zespołowe) stosujemy w odniesieniu do zjawisk złożonych, tj. zjawisk będących agregatami (zespołami) zjawisk niejednorodnych i bezpośrednio niesumowalnych

Wyróżniamy agregatowe indeksy (dla wielkości absolutnych):

• wartości

• cen

• ilości

Agregatowy indeks wartości:

$$I_{w} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}w_{\text{it}}}{\sum_{i = 1}^{n}w_{i0}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{p_{\text{it}}*q_{\text{it}}}}{\sum_{i = 1}^{n}{p_{i0}*q_{i0}}}$$

gdzie:

w_it, w_i0 – wartości produktu w okresie badanym i bazowym

p_it, p_i0 – ceny produktu w okresie badanym i bazowym

q_it, q_i0 – ilości produktów w okresie badanym i bazowym

Interpretacja: I_w mówi nam o ile procent wzrosła lub spadła wartość badanego agregatu produktów.

Zmiany procentowe obliczamy analogicznie, jak w przypadku indeksów indywidualnych.

Agregatowe indeksy cen:

Zmiana wartości sprzedaży agregatu produktów może wynikać ze zmiany cen tych produktów. Aby to zbadać obliczamy agregatowe indeksy cen, w których przyjmuje się, iż ilości produktów są na stałym poziomie.

• Agregatowy indeks cen o formule Laspeyresa:

W którym ilości produktów ustalane są na poziomie bazowym (q₀)

$$I_{p/q0} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{p_{\text{it}}*q_{i0}}}{\sum_{i = 1}^{n}{p_{i0}*q_{i0}}}$$

• Agregatowy indeks cen o formule Paaschego:

W którym ilości produktów ustalane są na poziomie badanym (q_t)

$$I_{p/qt} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{p_{\text{it}}*q_{\text{it}}}}{\sum_{i = 1}^{n}{p_{i0}*q_{it}}}$$

Agregatowe indeksy ilości:

Zmiana wartości sprzedaży agregatu produktów może również wynikać ze zmiany ilości sprzedaży tych produktów. Obliczamy wtedy agregatowe indeksy ilości, w których przyjmuje się, iż ceny produktów są na stałym poziomie

• Agregatowy indeks ilości o formule Laspeyresa:

W którym ceny produktów ustalane są na poziomie bazowym (p₀)

$$I_{q/p0} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{p_{i0}*q_{\text{it}}}}{\sum_{i = 1}^{n}{p_{i0}*q_{i0}}}$$

• Agregatowy indeks ilości o formule Paaschego:

W którym ceny produktów ustalane są na poziomie badanym (p_t)

$$I_{q/pt} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{p_{\text{it}}*q_{\text{it}}}}{\sum_{i = 1}^{n}{p_{it}*q_{i0}}}$$

Agregatowe indeksy Fishera

Agregatowe indeksy Fishera to średnie geometryczne z indeksów (cen lub ilości) według formuł Laspeyresa i Paaschego

Agregatowy indeks cen Fishera

WZÓR

Agregatowy indeks ilości Fishera

WZÓR

Zależności dla indeksów agregatowych

Między agregatowymi indeksami cen, ilości i wartości zachodzą następujące związki:

I_w = I_p/q0 * I_q/p0 WZÓR

Relacje te wykorzystujemy do obliczania indeksów cen lub ilości metodą pośrednią, np.

WZÓR

Wykład 6, 16.11.2015
Temat: Elementy rachunku prawdopodobieństwa

Przedmiot badań statystycznych – przypomnienie

Populacja – Przedmiotem badań statystycznych jest zbiór jednostek statystycznych podobnych pod względem określonych własności (np. mieszkańcy Śląska, firmy z branży informatycznej, itp.). Ów zbiór nazywany populacją (zbiorowością statystyczną).

Próba – Ponieważ bezpośrednie badania populacji są zbyt kosztowne i czasochłonne, a często wręcz niemożliwe, w statystyce w tym celu wykorzystuje się próbę, która stanowi podzbiór populacji.

Statystyka opisowa, a statystyka matematyczna

W ramach statystyki można wyróżnić dwa duże filary:

• Statystyka opisowa

Badamy próbę i stawiamy wnioski (syntetycznie

• Statystyka matematyczna

...

Schemat wnioskowania statystycznego

Definicje podstawowych pojęć:

Doświadczenie losowe – eksperyment, którego wyniku nie można przewidzieć

Zdarzenie losowe – wynik (rezultat) doświadczenia losowego

Zdarzenie elementarne – niepodzielny rezultat doświadczenia losowego

Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω – zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych

Definicje prawdopodobieństwa:

Zdarzenie pewne – Ω

Zdarzenie niemożliwe – ∅

Zdarzenie wykluczające się (rozłączne) – jeśli A_i ∩ A_j = ⌀,  i ≠ j

Klasyczna (szkolna) definicja prawdopodobieństwa

$$P\left( A \right) = \frac{k}{n}$$

k – liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A

n – liczba wszystkich zdarzeń elementarnych, jednakowo prawdopodobnych

Definicja klasyczna …

Częstościowa (statystyczna) definicja prawdopodobieństwa

$$P(A) \approx \frac{m}{n}$$

m – liczba wyników doświadczeń sprzyjających zdarzeniu A

n – liczba wszystkich przeprowadzonych doświadczeń

Geometryczna definicja prawdopodobieństwa

WZÓR

p(A) – pole powierzchni obszaru reprezentującego zdarzenie A

p(Ω) - …

Najlepsza definicja prawdopodobieństwa

F nazywamy ciałem zdarzeń, jeśli:

• Ω

Wykład 7, 25.11.2015
Temat:

Wykład 8, 02.12.2015
Temat: