1. Zapisz równania na sumy kwadratów odchyleń w analizie wariancji klasyfikacją prostą. Z czego wynikają składniki tych równań?

Całkowita suma kwadratów odchyleń

(1)

Międzygrupowa suma kwadratów odchyleń

(2)

Wewnątrzgrupowa suma kwadratów odchyleń

(3)

Pierwszy składnik wzoru 1 otrzymujemy podnosząc do kwadratu każdy z pomiarów, a następnie sumując wszystkie pomiary dla wszystkich grup. Drugi składnik wzoru (zwany wyrazem poprawkowym) obliczamy sumując wszystkie pomiary, podnosząc je do kwadratu, a następnie dzieląc przez liczbę wszystkich pomiarów N.

Pierwszy wyraz wzoru 2 otrzymujemy sumując wszystkie pomiary dla każdej grupy osobno (w naszym projekcie trzy sumy). Każdą z nich podnosimy do kwadratu i dzielimy przez liczbę pomiarów, na podstawie których została ona obliczona. Drugi składnik równania 2 taki sam jak drugi składnik równania 1.

Całkowita suma kwadratów odchyleń jest sumą kwadratów odchyleń międzygrupową i wewnątrzgrupową, dlatego równanie 3 po przekształceniu przyjmuje postać: wewnątrzgrupowa SK= ogólna SK – międzygrupowa SK

1. W analizie wariancji klasyfikacją prostą istnieje związek pomiędzy stopniami swobody. Jaki jest to związek-wyprowadź stosowne równanie.

Liczba stopni swobody dla całkowitej SK wynosi df=N-1

Liczba stopni swobody dla międzygrupowej SK wynosi df=a-1

Liczna stopni swobody dla wewnątrzgrupowej SK wynosi
Jeśli stopnie swobody obliczyliśmy poprawnie to:

całkowita df= międzygrupowa df + wewnątrzgrupowa df,
czyli

1. Podać skład mineralogiczny klinkieru portlandzkiego.

2. Który etap w produkcji klinkieru portlandzkiego można wskazać jako ‘wąskie gardło’ i dlaczego?

3. Dla podanego szeregu liczb 1,2; 2; 2; 2,5 ; 3;1 oblicz:

1. Średnią arytmetyczną

2. Odchylenie standardowe

3. Współczynnik zmienności

1. $\overset{\overline{}}{x} = \ \frac{1,2 + 2 + 2 + 2,5 + 3 + 1}{6} = 1,95$

2. $s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{i = N}x_{i}^{2}}{N - 1}}\sum_{i = 1}^{i = N}{x_{i}^{2} = \sum_{}^{}{(X_{i} - \overset{\overline{}}{X})^{2}}}$

3. $V = \frac{s}{\overset{\overline{}}{x}}$

1. Jaka jest różnica pomiędzy błędem standardowym, a odchyleniem standardowym?

Odchylenie standardowe jest podstawową miarą zmienności obserwowanych wyników. Informuje o tym, na ile wyniki się "zmieniają", tzn. czy rozrzut wyników wokół średniej jest niewielki czy wielki.

Błąd standardowy – Odchylenie standardowe średnich z prób (gdybyśmy wiele razy

pobierali próby tej samej wielkości z tej samej populacji generalnej, liczyli z nich średnie, a

potem odchylenie standardowe tych średnich). Błąd standardowy zwykle nie da się wyliczyć

bezpośrednio – szacuje się go na podstawie odchylenia standardowego obliczonego z

pojedynczej próby, dzieląc to odchylenie przez pierwiastek z wielkości tej próby (odchylenie

standardowe średnich jest o pierwiastek z N mniejsze niż odchylenie standardowe pomiarów)

błąd standardowy = $\frac{s}{\sqrt{N}}$

gdzie s – odchylenie standardowe

1. Co jest wąskim gardłem linii produkcyjnej mieszanki gipsowo-perlitowej i dlaczego?

Wąskim gardłem linii technologicznej produkcji suchej mieszanki gipsowo-perlitowej jest proces mieszania. Jest najważniejszym etapem produkcji, gdyż decyduje ono o stabilności i stałości właściwości technologicznych gotowego produktu po każdym cyklu produkcyjnym. Prawidłowe wymieszanie i homogenizacja wszystkich składników limituje zatem wydajność linii produkcyjnej.

1. Podaj skutki zbyt długiego mieszania suchej mieszanki gipsowo - perlitowej.

- pogorszenie jednorodności mieszanki

- kruszenie się ziaren perlitu co może doprowadzić do rozwarstwienia się poszczególnych składników

1. Jakie badania należy wykonać w celu skontrolowania surowców, mieszanki surowcowej, półfabrykatów i wyrobów oraz podaj na jakich etapach produkcji ta kontrola występuje?

   1. Mączka gabrowa – badana jest wilgotność materiału w wagosuszarce, skład fazowy przy pomocy XRD. Kontrola występuje tuż po dostarczeniu surowców.

   2. Ił - badana jest wilgotność materiału w wagosuszarce, skład fazowy przy pomocy XRD oraz plastyczność w aparacie Pfefferkorna. Badania te wykonuje się po hałdowaniu surowca.

   3. Masa w dołowniku - badana jest wilgotność materiału w wagosuszarce, plastyczność w aparacie Pfefferkorna oraz skład granulometryczny przy pomocy trójkąta Winklera. Badanie wykonuje się po procesie dołowania masy, który ma na celu jej homogenizację.

   4. Uformowane wyroby - badana jest wilgotność materiału w wagosuszarce. Badanie przeprowadza się po formowaniu wyrobów w prasach stemplowych.

   5. Wysuszone wyroby - badana jest wilgotność materiału w wagosuszarce oraz skurcz suszenia. Badania przeprowadzane są po rozładunku wózków suszarnianych wyjeżdżających z suszarni komorowej.

   6. Wypalone wyroby – badany jest skurcz wypalania po wypalaniu półfabrykatów.

   7. Gotowe wyroby – badany jest charakterystyczny metaliczny dźwięk dachówki oraz badania normowe, a w nich: regularność kształtu, prostoliniowość, wymiary, powierzchnia licowa dachówki, przesiąkliwość, nasiąkliwość gotowania, mrozoodporność, wytrzymałość na zginanie, obecność szkodliwej zawartości marglu. Te badania wykonuje się po przetransportowaniu dachówek rozładowanych z wózków piecowych.

2. Podaj urządzenie które limituje wydajność całej linii produkcyjnej i wyjaśnij dlaczego?

Wydajność całej linii produkcyjnej limituje gniotownik walcowy o szczelinie 0,4 mm. Jest to urządzenie, którego wydajność w całej linii produkcyjnej jest najniższa. Masa plastyczna powoli przechodzi między walcami dzięki czemu zostają rozdrobnione większe kawałki materiału, a w szczególności margiel którego obecność negatywnie wpływa na właściwości gotowego wyrobu. Na dachówce z marglem po pewnym czasie pojawiają się odpryski co w konsekwencji prowadzi do obniżenia żywotności pokryć dachowych wykonanych z dachówki zawierającej margiel

1. Jak na postawie parametru F można określić, czy przyjęta hipoteza zerowa jest prawdziwa, czy fałszywa i należy ją odrzucić?

Parametr F w analizie wariancji otrzymujemy dzieląc wariancję międzygrupową przez wariancję wewnątrzgrupową. Jeżeli grupy różnią się między sobą, to wartość F znajdzie się w obszarze krytycznym dla przyjętego poziomu istotności. Jeżeli wartość F jest mniejsza lub równa 1, to dane, z których parametr ten został obliczony, nie pozwalają na stwierdzenie zróżnicowania między grupami. Przy pomocy parametru F możemy przyjąć bądź odrzucić hipotezę zerową.

1. W teście Tukeya stosuje się NIR - najmniejszą istotną różnice. Do czego stosuje się tą wielkość? NIR – najmniejsza istotna różnica jest to wielkość wykorzystywana w teście Tukeya do szacowania czy między grupami istnieje statystyczne istotna różnica dla zadanego poziomu istotności. Innymi słowy, jeżeli NIR ma wartość większą niż różnica między dwiema średnimi wówczas między tymi grupami z których pochodzą srednie nie istnieje statystycznie istotna różnica. W przypadku gdy różnica między średnimi jest większa od NIR wówczas między grupami istnieje statystycznie istotna różnica.

2. Proces mieszania stanowi ‘’wąskie gardło’’ przy produkcji betonu towarowego. Mieszalnik, ze względu na swoją objętość limituje wydajność całego procesu. Należy wziąć również pod uwagę fakt, iż napełnianie mieszalnika nie następuje w sposób ciągły. Po napełnieniu mieszalnika następuje mieszanie przez 2 minuty, następnie transportowanie do pompo gruszki (betonowozu). Dopiero po tych czynnościach następuje kolejne napełnienie mieszalnika surowcami.

3. Cement CEM I 42,5R

- szeroka kompatybilność współpracy z domieszkami chemicznymi do betonów i zapraw

- wysokie ciepło hydratacji

- wysoka dynamika narastania wytrzymałości wczesnych

-betonowanie w warunkach obniżonych temperatur

- beton zwykły do klasy C50/60

- prefabrykacja wielkogabarytowa

- wyroby wibroprasowane (kostka brukowa, krawężniki, itp.)

- betony wysokowartościowe (BWW).

1. Średnia arytmetyczna jest taką liczbą, przy której suma kwadratów odchyleń od niej jest najmniejsza. Biorąc pod uwagę tę właściwość, można w analogiczny sposób poszukać linii prostej takiej, aby suma kwadratów odchyleń pomiarów Y od tej prostej była najmniejsza. Taką właśnie zasadę przyjmuje się obliczając prostą regresji. Analiza regresji służy do przewidywania wartości jednej zmiennej na podstawie innych.Z każdego punktu opisującego parę pomiarów wyznacza się odcinek prostopadły do osi X, łączący prostą regresji z tym punktem. Ten odcinek to odchylenie pomiaru Y od prostej regresji, natomiast kwadrat, którego bokiem jest ten odcinek, to kwadrat odchylenia tego pomiaru. Jeśli suma powierzchni wszystkich kwadratów jest najmniejsza z możliwych, to linia przez nas wybrana jest prostą regresji określoną przez współczynniki a i b w równaniu.

1. Test istotności współczynników regresji i korelacji. Zadaniem tego testu jest sprawdzenie hipotezy zerowej, że współczynniki regresji i korelacji są równe zero. Zakłada się, że zbiór N par pomiarów jest niezależną próbą losową z populacji generalnej, a zmienna Y ma rozkład normalny. W tym celu należy obliczyć wyjaśnioną sumę kwadratów:

$$\Sigma y_{p}^{2} = \frac{{(\text{Σxy})}^{2}}{\text{Σx}^{2}}$$

lub Σy_p² = r²Σy²

Aby sumy kwadratów móc analizować metodami znanymi z analizy wariancji należy im przypisać liczby stopni swobody. Liczba stopni swobody dla całkowitej sumy kwadratów ∑y² wynosi df=N-1, ponieważ średnia, na podstawie której liczono odchylenia dla Y, oparta jest na N parach pomiarów. Liczba stopni swobody dla wyjaśnionej sumy kwadratów ∑y_p² wynosi df=1, a dla niewyjaśnionej ∑d²df=N-2. Z kolei niewyjaśniona suma kwadratów:

Σd² = (1 − r²)Σy²

Po podzieleniu sumy kwadratów przez odpowiadające im stopnie swobody otrzymujemy oszacowanie wariancji.