Produkcja budowlano-montażowa oraz przeciętne zatrudnienie w Polsce w latach 1987-1996 przedstawia się następująco:

Lata	Produkcja (x) [mld zł]	Zatrudnienie (y) [tys. osób]	Rangi	d = Rx - Ry	d^2
			Rx	Ry
1987	50	646	1	2	-1
1988	53	645	2	1	1
1989	61	716	3	7	-4
1990	66	692	4	3	1
1991	71	693	5	4	1
1992	78	714	6	6	0
1993	79	738	7	9	-2
1994	86	704	8	5	3
1995	92	732	9	8	1
1996	99	756	10	10	0

Σ = 34

Odp. Pomiędzy produkcją budowlano-montażową a zatrudnieniem istnieje silna dodatnia zależność korelacyjna. Wraz ze wzrostem produkcji wzrasta zatrudnienie.

Przykład 2

Spożycie mięsa na jedną osobę oraz dochód w przeliczeniu na osobę w gospodarstwie domowym w próbie dziewięciu gospodarstw pracowniczych w Poznaniu w 1994r. przedstawia tabela:

Dochód (x) [mln zł/os]	Spożycie mięsa (y) [kg/os]	Uporządkowanie (rosnące)	Rangi	d	d^2
		x	y	Rx	Ry
9	20	9	20	1	1
11	24	11	24	2	2
12	25	12	25	3	3
15	27	15	27	4	5
17	29	17	29	5	7,5
18	29	18	29	6	7,5
28	32	18	26	7	4
22	28	22	28	8	6
18	26	28	32	9	9

Σ = 22,5

Czy prawdziwe jest przypuszczenie, że pomiędzy wyróżnionymi zmiennymi występuje związek korelacyjny?

Odp. Między badanymi cechami zachodzi silna dodatnia zależność korelacyjna. Wraz ze wzrostem dochodów wzrasta spożycie mięsa.

Przykład 3

W pewnym przedsiębiorstwie przeprowadzono badanie wśród 200 pracowników mające na celu uzyskanie odpowiedzi na pytanie, czy płeć wywiera wpływ na palenie papierosów? Otrzymane wyniki przedstawia tabela:

płeć palenie pap.	M	K	Razem
TAK	70	30	100
NIE	50	50	100
Razem	120	80	200

Odp. Pomiędzy cechami zachodzi słaby związek korelacyjny.

Przykład 4

W pewnym zakładzie pracy postanowiono sprawdzić czy absencja w pracy zależy od płci pracowników. Zebrano dane:

płeć absencja [dni]	M	K	Razem
0 – 5	300	500	800
5 – 20	80	70	150
20 i więcej	20	30	50
Razem	400	600	1000

Liczebności empiryczne n	Liczebności teoretyczne
300	320	-20	400	1,25
80	60	20	400	6,67
20	20	0	0	0,00
500	480	20	400	0,85
70	90	-20	400	4,44
30	30	0	0	0,00
	Σ^2 = 13,19

Odp. Pomiędzy cechami istnieje mały stopień skojarzenia.

Przykład 1

• P_{ab (jednopod.)} – w roku 1999 w stosunku do roku 1990 liczba uczniów LO w Polsce przyrosła o 104 tys.

• P_{ab (łańc.)} – w roku 1999 w porównaniu z rokiem 1998 liczba uczniów LO w Polsce przyrosła o 19 tys.

• przyrosty absolutne są wielkościami dodatnimi – w każdym następnym roku liczba uczniów przyrastała

• i_{n/o (jednopod.)} – w roku 1999 w stosunku do roku 1990 liczba uczniów LO w Polsce wzrosła o 29%.

• indeksy są dodatnie – od roku 1990 można zaobserwować nieprzerwany wzrost liczby uczniów LO

• i_{n/n-1 (łańc.)} – w roku 1999 w porównaniu z rokiem 1998 liczba uczniów LO w Polsce wzrosła o 4,3%.

• z roku na rok tempo zmian było dodatnie – w granicach od 0,5% do 5,5%

• ponieważ wszystkie tempa mają jednakowy znak, można obliczyć średnioroczne tempo zmian (średnioroczne tempo zmian liczymy tylko, gdy dane zjawisko wykazuje jednokierunkowe zmiany + lub - ):

I sposób:

II sposób:

III sposób:

korzystając z funkcji odwrotnej:

• średnioroczne tempo zmian informuje, że liczba uczniów LO w Polsce w latach 1990-1999 wzrastała przeciętnie z roku na rok o 2,86%.

Uczniowie LO w Polsce w latach 1990-1999:

ozn. ind. indywid. jednpodst. ozn. ind. indywid. łańcuchowych

Lata	Uczniowie [tys.]	Przyrost absolutny	Przyrost względny	Indeksy
		jednopod.	łańc.	jednopod.	łańc.
1990	359	0	⋅	0	⋅
1991	363	4	4	0,011	0,011
1992	371	12	8	0,033	0,022
1993	373	14	2	0,040	0,005
1994	375	16	2	0,045	0,005
1995	383	24	8	0,067	0,021
1996	400	41	17	0,114	0,044
1997	422	63	22	0,175	0,055
1998	444	85	22	0,237	0,052
1999	463	104	19	0,290	0,043

Σ = 18,1097

• Zmiana podstaw indeksów

• zamiana indeksów indywidualnych jednopodstawowych na indeksy jednopodstawowe o innej podstawie porównania:

zamiany tej dokonujemy dzieląc każdy indeks jednopodstawowy przez indeks jednopodstawowy z tego okresu, który ma stanowić nową podstawę porównania i mnożąc przez 100

Lata	Indeks: 1990 = 100	Działania	Indeks: 1995 = 100
1990	100,0	(100,0⋅117,9)÷100	84,8
1991	103,4	(103,4⋅117,9)÷100	87,7
1992	107,4	(107,4⋅117,9)÷100	91,1
1993	111,2	(111,2⋅117,9)÷100	94,3
1994	112,9	(112,9⋅117,9)÷100	95,8
1995	117,9	(117,9⋅117,9)÷100	100,0
1996	122,1	(122,1⋅117,9)÷100	103,6
1997	127,1	(127,1⋅117,9)÷100	107,8
1998	131,5	(131,5⋅117,9)÷100	111,5
1999	135,7	(135,7⋅117,9)÷100	115,1

• zamiana indeksów indywidualnych jednopodstawowych na indeksy łańcuchowe:

zamiany tej dokonujemy dzieląc każdy indeks jednopodstawowy przez bezpośrednio poprzedzający go i mnożąc przez 100

Lata	Indeks: 1990 = 100	Działania	Indeks: rok poprzedni = 100
1990	100,0	⋅	⋅
1991	103,4	(103,4÷100,0)⋅100	103,4
1992	107,4	(107,4÷103,4)⋅100	103,9
1993	111,2	(111,2÷107,4)⋅100	103,5
1994	112,9	(112,9÷111,2)⋅100	101,5
1995	117,9	(117,9÷112,9)⋅100	104,4
1996	122,1	(122,1÷117,9)⋅100	103,6
1997	127,1	(127,1÷122,1)⋅100	104,1
1998	131,5	(131,5÷127,1)⋅100	103,5
1999	135,7	(135,7÷131,5)⋅100	103,2

• zamiana indeksów indywidualnych łańcuchowych na indeksy jednopodstawowe:

zamiany tej dokonujemy:

• dla okresów wcześniejszych od przyjętego za podstawę porównania – dzieląc dany indeks jednopodstawowy przez odpowiadający mu indeks łańcuchowy i mnożąc przez 100

• dla okresów późniejszych od przyjętego za podstawę porównania – mnożąc dany indeks jednopodstawowy przez indeks łańcuchowy z okresu następnego i dzieląc przez 100

Lata	Indeks: rok poprzedni = 100	Działania	Indeks: 1994 = 100
1990	⋅	(78,4÷130,0)⋅100	60,4
1991	130,0	(77,7÷99,0)⋅100	78,4
1992	99,0	(88,2÷113,5)⋅100	77,7
1993	113,5	(100,0÷113,4)⋅100	88,2
1994	113,4	100,0	100,0
1995	109,7	(100,0⋅109,7) ÷100	109,7
1996	104,6	(109,7⋅104,6) ÷100	114,7
1997	103,9	(114,7⋅103,9) ÷100	119,2
1998	114,3	(119,2⋅114,3) ÷100	136,2
1999	112,5	(136,2⋅112,5) ÷100	153,2

Przykład 1

Wartość obrotów towarowych w przedsiębiorstwie Z w 1990r. była następująca: towaru A – 120 mln zł, towaru B – 80 mln zł, towaru C – 100 mln zł. Poza tym wiadomo, że cena towaru A w 1990r. w porównaniu z 1985r. wzrosła o 10%, towaru B – zmalała o 5%, a towaru C – wzrosła o 20%. Łączna wartość obrotów w 1985r. wynosiła 240 mln zł. Scharakteryzuj dynamikę obrotów przedsiębiorstwa Z obliczając właściwe indeksy agregatowe.

Artykuł	Wartość obrotów 1990r. [mln zł] - pnqn	Zmiany cen w 1990r. (w stos. do 1985r.)	ip
A	120	wzrosła o 10%	1,10	109,09
B	80	zmalała o 5%	0,95	84,21
C	100	wzrosła o 20%	1,20	83,33
Σ	300			276,63

Σ p₀ q₀ = 240

Indeks wartości:

Odp. Łączna wartość obrotów towarowych w roku 1990 była o 25% wyższa od wartości obrotów w 1985r. Wzrost ten jest spowodowany zmianami ilości i cen.

Indeks cen:

Obliczamy indywidualne indeksy cen:

Korzystamy z formuły zastępczej:

Odp. Agregatowy indeks cen Paasche’go informuje, że ceny badanych artykułów wzrosły w roku 1990 w porównaniu z rokiem 1985 o 8,45%, przy założeniu, że ilość artykułów w 1985r. była taka sama, jak w roku 1990.

Indeks ilości:

Korzystamy ze związków między indeksami:

Odp. Agregatowy indeks ilości Laspeyres’a informuje, że ilość badanych artykułów wzrosła w 1990r. w porównaniu z rokiem 1985 o 15,26%, przy założeniu, że ceny artykułów w 1990r. były takie same, jak w roku 1985.

Przykład 2

Wartość sprzedaży niektórych towarów niekonsumpcyjnych w handlu detalicznym w Polsce w 1989r. wynosiła 21555 mln zł, natomiast wartość sprzedaży tych artykułów w 1986r. oraz indywidualne indeksy cen tych towarów w omawianym okresie przedstawia poniższa tabela:

Artykuły	Wartość sprzedaży 1986r. [mln zł] – p0q0	ip
maszyny i urządzenia rolnicze	2274	1,021	2321,75
nawozy sztuczne	2806	0,996	2794,78
pasze	2396	1,216	2913,54
Σ	7476		8030,07

Scharakteryzuj dynamikę zmian wartości, ilości i cen badanych artykułów w latach 1986 i 1989.

Σ p_nq_n = 21555

Indeks wartości:

Odp. Łączna wartość sprzedaży tych artykułów w roku 1989 była o 188,32% wyższa od wartości obrotów w 1986r. Wzrost ten jest spowodowany zmianami ilości i cen badanych artykułów.

Indeks cen:

Korzystamy z formuły zastępczej:

Odp. Agregatowy indeks cen Laspeyres’a informuje, że ceny badanych artykułów wzrosły w roku 1989 w porównaniu z rokiem 1986 o 7,42%, przy założeniu, że ilość artykułów w 1989r. była taka sama, jak w roku 1985.

Indeks ilości:

Korzystamy ze związków między indeksami:

Odp. Agregatowy indeks ilości Paasche’go informuje, że ilość badanych artykułów wzrosła w 1989r. w porównaniu z rokiem 1986 o 168,4%, przy założeniu, że ceny artykułów w 1986r. były takie same, jak w roku 1989.

Przykład 3

Obroty materiałami budowlanymi w pewnym sklepie w 1989r. kształtowały się następująco:

Materiał	Obroty 1989r. [mln zł] – p0q0	ip
A	0,4	0,95	0,42
B	0,8	1,20	0,67
C	0,2	1,00	0,20
Σ	1,4		1,29

Wiadomo ponadto, że ceny materiału A w 1989r. w porównaniu z 1987r. zmalały o 5%, materiału B wzrosły o 20%, a materiału C pozostały bez zmian. Łączne obroty w 1987r. wynosiły 1 mld zł. Jaki wpływ na dynamikę wartości sprzedaży tych materiałów miały ceny, a jaki zmiany ilości zakupów?

Σ q₀p₀ = 1

Indeks wartości:

Odp. Łączna wartość obrotów w roku 1989 w porównaniu z 1987r. wzrosła o 40%. Wzrost ten był spowodowany zmianami ilości i cen.

Indeks cen:

Korzystamy z formuły zastępczej:

Odp. Agregatowy indeks cen Paasche’go informuje, że ceny materiałów budowlanych w 1989r. w porównaniu z 1987r. wzrosły o 8,5%, przy założeniu, że ilość materiałów w 1987r. była taka sama, jak w 1989r..

Indeks ilości:

Korzystamy ze związków między indeksami:

Odp. Agregatowy indeks ilości Laspeyres’a informuje, że ilość materiałów budowlanych w 1989r. w porównaniu z rokiem 1987 o 29%, przy założeniu, że ceny materiałów w 1989r. były takie same, jak w roku 1987.

Przykład 1

Produkcja papieru w Polsce w latach 1981-1990 przedstawiała się następująco:

Lata	Produkcja [tys. ton]	Średnia ruchoma 3-letnia	Średnia ruchoma 5-letnia	Średnia ruchoma 4-letnia
1981	909	-	-	-
1982	965	966,7	-	-
1983	1026	1011,0	1002,6	1005,8
1984	1042	1046,3	1040,8	1042,9
1985	1071	1071,0	1079,4	1076,3
1986	1100	1109,7	1118,2	1115,0
1987	1158	1159,3	1146,6	1151,4
1988	1220	1187,3	1178,8	1181,5
1989	1184	1210,7	-	-
1990	1228	-	-	-

1. Przedstawić szereg graficznie.

2. Wyodrębnić tendencję rozwojową metodą mechaniczną.

! Gdy wygładzamy szereg zmienia się rozstęp:

R_e = 1228 – 909 = 319 (rozstęp empiryczny)

R_3l­ = 1210,7 – 966,7 = 244

R_5l = 1178 – 1002,6 = 175,4

ANALIZA SEZONOWOŚCI

1. Wyodrębnienie tendencji rozwojowej metodą mechaniczną lub analityczną.

2. Obliczenie surowych wskaźników sezonowości:

gdzie: y_t – wartość w okresie badanym y_t’ – wartość teoretyczna trendu

1. Obliczenie średniej surowych wskaźników sezonowości dla jednoimiennych miesięcy lub kwartałów.

2. Obliczenie współczynnika korygującego:

gdzie: n – liczba okresów (gdy są to kwartały: n = 4; gdy są to miesiące: n = 12)

1. Obliczenie oczyszczonego wskaźnika sezonowości:

Przykład 1

Wielkość produkcji w mld zł w przedsiębiorstwie X w latach 1991-1995 wg kwartałów przedstawia poniższy szereg:

Lata i kwart.	Wartość produkcji - yt	t	yt ⋅ t	t^2	yt’ = 25,6 + 0,2⋅ t	(yt – yt’)^2
1991 1	15	-19	-285	361	21,8	46,24	68,8
2	20	-17	-340	289	22,2	4,84	90,1
3	19	-15	-285	225	22,6	12,96	84,1
4	23	-13	-299	169	23,0	0,00	100,0
1992 1	23	-11	-253	121	23,4	0,16	98,3
2	36	-9	-324	81	23,8	148,84	151,3
3	35	-7	-245	49	24,2	116,64	144,6
4	28	-5	-140	25	24,6	11,56	113,8
1993 1	18	-3	-54	9	25,0	49,00	72,0
2	29	-1	-29	1	25,4	12,96	114,2
3	28	1	28	1	25,8	4,84	108,5
4	27	3	81	9	26,2	0,64	103,1
1994 1	17	5	85	25	26,6	92,16	63,9
2	28	7	196	49	27,0	1,00	103,7
3	26	9	234	81	27,4	1,96	94,9
4	22	11	242	121	27,8	33,64	79,1
1995 1	20	13	260	169	28,2	67,24	70,9
2	29	15	435	225	28,6	0,16	101,4
3	34	17	578	289	29,0	25,00	117,2
4	35	19	665	361	29,4	31,36	119,1
Σ	512	0	550	2660		661,2

1. Wyodrębniamy tendencję rozwojową metodą analityczną (uproszczoną): y_t’ = a + b ⋅ t

wartość produkcji w każdym z kwartałów wartość produkcji wzrastała co pół roku

wynosiła przeciętnie 25,6 mld zł przeciętnie o 0,2 mld zł

y_t’ = 25,6 + 0,2⋅ t

Obliczamy odchylenie standardowe składnika resztowego dla funkcji trendu:

szacując wartość produkcji na podstawie równania trendu można się przeciętnie pomylić o 6,06 mld zł

1. Wyznaczamy surowe wskaźniki sezonowości:

i porządkujemy je w następującej tabeli:

Lata	I	II	III	IV
1991	68,8	90,1	84,1	100,0
1992	98,3	151,3	144,6	113,8
1993	72,0	114,2	108,5	103,1
1994	63,9	103,7	94,9	79,1
1995	70,9	101,4	117,2	119,1
	74,78	112,14	109,86	103,2
S0	74,85	112,25	110,0	103,1

Σ= 399,8 ≠ 400

– średnia z surowych wskaźników sezonowości dla jednoimiennych kwartałów

S₀ – oczyszczone wskaźniki sezonowości dla jednoimiennych kwartałów

1. Obliczamy średnią surowych wskaźników sezonowości dla jednoimiennych kwartałów (patrz: tabela).

2. Wyznaczamy współczynnik korygujący:

   • jeżeli suma z dla czterech kwartałów jest różna od 4 (lub od 400), to trzeba obliczyć współczynnik korygujący k i następnie oczyszczone wskaźniki sezonowości S₀

   • jeżeli suma ta jest równa 4 (lub 400), to nie trzeba obliczać k – bo jest wówczas równe S₀

3. Obliczamy oczyszczone wskaźniki sezonowości:

(patrz: tabela)

Interpretacja:

_I S₀ = 74,85% co oznacza, że na skutek działania wahań sezonowych w każdym pierwszym kwartale wartość produkcji była niższa średnio o 25,15%. Z tych samych powodów wartość produkcji w każdym II-im kwartale kształtowała się na poziomie wyższym o 12,25% (_II S₀ = 112,25%), w każdym III-im kwartale – o 10% (_III S₀ = 110%), natomiast w każdym IV-tym – o 3,1% (_IV S₀ = 103,1%).

Do pełnego rozwiązania należałoby jeszcze obliczyć dla funkcji trendu: ϕ², d, V_r.

Przykład 2

Plan zakładów mięsnych przewiduje, że w III-im kwartale 1994r. produkcja konserw mięsnych wyniesie 165 ton. Jakie są perspektywy realizacji tego planu, jeśli wiadomo, że w latach 1989-1993 przeciętna produkcja kwartalna w tych zakładach wynosiła 130 ton, a kwartalny przyrost produkcji wynosił średnio 4 tony. Ponadto wiadomo, że kwartalne surowe wskaźniki sezonowości były następujące:

_I S_S = 1,2 _II S_S =0,8 _III S_S =0,9 _IV S_S =1,0

Nie ma również podstaw, by przewidywać zmiany w dotychczasowym trendzie i sezonowości.

UWAGA! Parametry trendu oszacowano przy założeniu, że Σ t = 0, gdzie t = ...,-3,-1,1,3,... .

Lata i kwart.	t
1989 1	-19
2	-17
3	-15
4	-13
1990 1	-11
2	-9
3	-7
4	-5
1991 1	-3
2	-1
3	1
4	3
1992 1	5
2	7
3	9
4	11
1993 1	13
2	15
3	17
4	19
Σ	0

Równanie trendu:

y_t’ = 130 + 2⋅ t

a = 130 – obrazuje przeciętny poziom

b = 2 – obrazuje zmiany z okresu na okres (4:2 – bo technika oznaczania czasu jest co dwie jednostki)

1. Surowe wskaźniki sezonowości:

_I S_S = 1,2

_II S_S =0,8

_III S_S =0,9

_IV S_S =1,0

Σ = 3,9 ≠ 4

1. Obliczamy współczynnik korygujący:

2. Oczyszczone wskaźniki sezonowości:

_I S₀ = 1,2 ⋅ 1,026 = 1,2312

_II S₀ = 0,8 ⋅ 1,026 = 0,8208

_III S₀ = 0,9 ⋅ 1,026 = 0,9234

_IV S₀ = 1,0 ⋅ 1,026 = 1,026

1. Interesuje nas III kwartał 1994r., więc musimy przewidzieć co się stanie:

Lata i kwart.	t
1994 1	21
2	23
3	25

y’_{III / 94} = 130 + 2 ⋅ 25 = 180

Interpretacja: Przypuszczalna wielkość produkcji w III-im kwartale będzie wynosić 180 ton (prognoza bez uwzględnienia sezonowości).

Produkcja wykazuje wahania sezonowe, zatem po ich uwzględnieniu:

y’_{III / 94} = 180 ⋅ 0,9234 = 166,21 ton > 165 ton

Odp. Przypuszczalna produkcja (165 ton) jest możliwa do zrealizowania.

Przykład 3

Dynamikę połowu ryb w gospodarstwie rybnym w poszczególnych kwartałach lat 1989-1991 opisuje liniowa funkcja:

y_t’ = 14,5 + 0,2⋅ t , przy czym: t = ..., -3, -1, 1, 3, ... ;

a odchylenie standardowe składnika resztowego S_(y) = 2,8.

Dysponując informacjami dotyczącymi połowów ryb w badanym okresie, zawartymi w poniższej tabeli:

1. Przeprowadzić analizę wahań sezonowych połowów ryb każdym z kwartałów.

2. Określić przypuszczalny poziom połowów w III-im kwartale 1992r.

3. Czy założenie o liniowości funkcji trendu jest uzasadnione? (α = 0,05) NIE DOTYCZY

Lata i kwartały	Połowy ryb - yt [tona]	t	yt’	SS
1989 1	10	-11	12,3	81,3	b
2	12	-9	12,7	94,5	b
3	18	-7	13,1	137,4	a } 2
4	13	-5	13,5	96,3	b
1990 1	12	-3	13,9	86,3	b
2	15	-1	14,3	104,9	a
3	19	1	14,7	129,3	a
4	12	3	15,1	79,5	b
1991 1	13	5	15,5	83,9	b 5
2	14	7	15,9	88,1	b
3	21	9	16,3	128,8	a } 6
4	15	11	16,7	89,8	b } 7
1992 1		13
2		15
3		17

ad. a)

y_t’ = 14,5 + 0,2⋅ t S_(y) = 2,8

Lata	I	II	III	IV
1989	81,3	94,5	137,4	96,3
1990	86,3	104,9	129,3	79,5
1991	83,9	88,1	128,8	89,8
	83,83	95,83	131,83	88,53
S0 = k	83,83	95,83	131,83	88,53

Σ= 400,02 ≠ 400

ad. b)

y’_{III / 92} = (14,5 + 0,2⋅ 17) ⋅ 1,3183 = 23,598 ton