PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE

AUTOMATYKA I ROBOTYKA

1. Zbadaj monotoniczność ciągu:

1.
,

2.
,

3.
,

4.
.

3. Oblicz:

2. 
   ,

3. 
   ,

4. 
   ,

5. 
   ,

6. 
   ,

7. 
   

8. 
   ,

9. 
   ,

10. 
    ,

11. 
    

12. 
    .

4. Oblicz pochodną funkcji:




1. 
   ,

2. 
   ,

3. 
   ,

4. 
   ,

5. 
   ,

6. 
   ,

7. 
   ,

8. 
   ,

9. 
   ,

10. 
    ,

11. 
    ,

12. 
    ,

13. 
    .

14. 
    .

5. Oblicz ekstrema i zbadaj monotoniczność funkcji:

1. 
   .

2. 
   .

3. 
   ,

4. 
   ,

5. 
   ,

6. 
   ,

7. 
   ,

8. 
   .

6. Znajdź punkty przegięcia wykresu funkcji:

1.
,

2.
,

3.
,

4.
.

8. Oblicz:

1. 
   ,

2. 
   ,

3. 
   ,

4. 
   ,

5. 
   ,

6. 
   ,

7. 
   ,

8. 
   ,

9. 
   ,

10. 
    ,

11. 
    .

9. Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji:

1. 
   ,

2. 
   ,

3. 
   .

10. Oblicz całki:

1. 
   ,

2. 
   ,

3. 
   ,

4. 
   ,

5. 
   ,

6. 
   ,

7. 
   ,

8. 
   ,

9. 
   ,

10. 
    ,

11. 
    ,

12. 
    ,

13. 
    ,

14. 
    ,

15. 
    ,

16. 
    ,

17. 
    ,

18. 
    

19. 
    ,

20. 
    ,

21. 
    ,

22. 
    

23. 
    ,

24. 
    

25. 
    ,

26. 
    ,

27. 
    

28. 
    .

11. Oblicz pole obszaru ograniczonego liniami:

1. 
   ;

2. 
   ;

3. 
   ;

4. 
   ;

5. 
   ;

6. 
   .

12. Oblicz długość łuku krzywej

1. 
   dla
   ;

2. 
   

3. 
   .

13. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi ox:

1. krzywej:

1. 
   

2. 
   .

1. figury płaskiej ograniczonej liniami:

1. 
   ;

2. 
   ;

3. 
   .

14. Oblicz pole powierzchni bryły powstałej przez obrót dookoła osi ox krzywej:

1. 
   ;

2. 
   dla
   ;

3. 
   dla
   ;

4. 
   .

15. Oblicz sumę szeregu:

1.
; 3.
;

2.
; 4.
.

16. Zbadaj zbieżność:

1. 
   ;

2. 
   ;

3. 
   ;

4. 
   ;

5. 
   ;

6. 
   ;

7. 
   ;

8. 
   ;

9. 
   ;

10. 
    ;

11. 
    .

XIV. Oblicz promień zbieżności szeregu i zbadaj zbieżność końcach  przedziału zbieżności:

1. 
   ;

2. 
   ;

3. 
   ;

4. 
   ;

5. 
   .

XV. Rozwiń w szereg potęgowy funkcje:

1. 
   ,

2. 
   ,

3. 
   ,

4. 
   ,

5. 
   ,

6. 
   ,

7. 
   ,

8. 
   ,

9. 
   ,

10. 
    ,

11. 
    ,

12. 
    .

XVI. Oblicz pochodne cząstkowe I i II rzędu funkcji:

2. 
   

3. 
   

4. 
   ,

5. 
   

6. 
   

7. 
   

8. 
   ,

9. 
   .

1. Dla danej funkcji
   obliczyć zadane pochodne cząstkowe:

1. 
   
   ;

2. 
   ,
   ;

3. 
   ,
   .

17. Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:

1.
,

2.
.

18. Oblicz pochodną I i II rzędu funkcji uwikłanej jednej zmiennej:

2. 
   ,

3. 
   .

XIX. Oblicz ekstrema funkcji dwóch zmiennych:

1. 
   

2. 
   ;

3. 
   .

XX. Zmień kolejność całkowania:

1. 
   ,

2. 
   ,

3. 
   ,

4. 
   .

XXI. Oblicz całki:

1. 
   ,
   ,

2. 
   ,
   ,

3. 
   ,
   ,

4. 
   ,
   

5. 
   ,
   ,

6. 
   ,
   ,

7. 
   ,
   ,

8. 
   ,
   ,

9. 
   ],

10. ,

11. ,
    ,

12. 
    ,
    .

XXII. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

1. 
   ;

2. ;

3. 
   ;

4. 
   .

XXIII. Obliczanie pola powierzchni bryły:

1. Oblicz pole powierzchni całkowitej bryły ograniczonej powierzchniami:
   ;

2. Obliczyć pole tej części sfery
   , która leży wewnątrz walca .

XXIV. Zastosowania fizyczne: (obszary i bryły są jednorodne o gęstości
)

1. Oblicz współrzędne środka ciężkości obszaru ograniczonego liniami:
   .

2. Oblicz moment bezwładności prostokąta o bokach a,b względem punktu przecięcia przekątnych.

3. Oblicz moment bezwładności koła o promieniu r względem jego średnicy.

4. Oblicz moment bezwładności figury ograniczonej krzywymi
   względem prostej
   .

5. Oblicz moment bezwładności względem osi Oz bryły ograniczonej powierzchniami:

a)
;

b)
.

XXV. Oblicz całki:

1. 
   L: górna część okręgu
   

między punktami
,
;

2. 
   L: część okręgu
   w

I ćwiartce układu współrzędnych;

3. 
   L: obwód trójkąta o wierzchołkach

;

4. 
   L:
   dla
   ;

5. 
   L:
   dla
   ;

6. 
   L:
   dla
   ;

7. 
   L: odcinek OA, gdy O(0,0), A(1,1);

8. 
   L: a) odcinek OA

b) łamana OBA,

gdy O(0,0), A(4,2), B(2,0);

9. 
   L: a) odcinek AB

b) łamana AOB,

gdy O(0,0), A(1,-1), B(1,1).

XXVI. Zastosowania fizyczne:

1. Oblicz masę krzywej materialnej
   jeżeli gęstość liniowa jest równa kwadratowi odciętej.

2. Dane są punkty A(-6,0), B(0,6). Oblicz pracę siły
   po:

1. paraboli
   ,

2. łamanej AOB,

3. odcinku AB.

1. Dane są punkty A(1,1,1), B(2,3,4). Oblicz pracę siły
   po odcinku

AB.

XXVII. Napisz i sprawdź wzór Greena:

1. 
   L: trójkąt o bokach
   .

2. 
   L: trójkąt o wierzchołkach A(1,1), B(2,1), C(2,2).

1

4

10

---