0. Parametry gruntowe i profil geotechniczny

0.1. Profil geotechniczny

0.2. Parametry gruntowe

Parametry gruntu odczytano z polskiej normy PN-81/B-03020, stosując tzw. metodę B. Otrzymane w ten sposób parametry przedstawiono w tabeli poniżej. Do wypełnienia tabeli wykorzystano poniższe wzory:

$$c^{'} = \frac{c_{u}}{1,2};\ \ \varphi^{'} = \varphi_{u} + 2$$

Nazwa gruntu	Stan gruntu	Grupa genetyczna	g	f'	c'	n	E0
		wg PN-81/B-03020	[kN/m^3]	[]	[kPa]	[-]	[MPa]
Piasek gliniasty	IL=0,21	C	21,5	16,6	13,78	0,32	20,1
Pył	IL=0,33	C	20,0	14,7	10,37	0,32	15,5

1. Wyznaczenie długości L fundamentu

Schemat statyczny analizowanej belki:

Długość całkowita: L = 2 • 5, 7m + 6, 0m + 2 • w = 17, 4m + 2 • w

Odpór podłoża: $q = \frac{2 \bullet \left( 1260kN + 1360kN \right)}{L} = \frac{5240kN}{17,4m + 2 \bullet w}$

1.1. Wariant 1

Długości wsporników: w = 2, 5m

Największy moment przęsłowy: M_prz = 370, 00 kNm

Największy moment podporowy: M_pod = −731, 03 kNm

Moment podporowy jest za duży, należy zmniejszyć długość wsporników.

1.2. Wariant 2

Długości wsporników: w = 2, 2m

Największy moment przęsłowy: M_prz = 763, 00 kNm

Największy moment podporowy: M_pod = −581, 69 kNm

Stosunek momentu przęsłowego do podporowego:

$$\frac{M_{\text{prz}}}{M_{\text{pod}}} = \frac{763,00\ kNm}{581,69\ kNm} = 1,311$$

Otrzymana wartość mieści się w przedziale <1, 2; 1, 5>, zatem długość wsporników przyjęto za odpowiednią.

Otrzymana całkowita długość ławy wyniosła: L = 17, 4m + 2 • 2, 2m = 21, 8m

Wykresy momentów do obu wariantów zostały załączone do projektu.

2. Wyznaczenie szerokości ławy B

2.1. Przyjęte wymiary fundamentu

2.2. Sprawdzenie nośności gruntu pod fundamentem

Ciężar fundamentu:

V_f, k = 25 • (1,3•0,45+0,5•0,4) • 21, 8 = 280, 68 kN

V_f, d = 1, 35 • V_f, k = 378, 91 kN

Ciężar gruntu na odsadzkach, przyjęto grunt istniejący:

V_g, k = 2 • 21, 5 • 0, 4 • 0, 85 • 21, 8 = 358, 56 kN

V_g, d = 1, 35 • V_g, k = 484, 05 kN

Łączna, obliczeniowa siła pionowa:

$$V_{d} = \sum_{i}^{}P_{i,d} + V_{g,d} + V_{f,d} = 6102,96\ kN$$

Współczynniki nośności fundamentu:

$$N_{q} = e^{\pi \bullet tg\left( \varphi \right)} \bullet tg^{2}\left( 45 + \frac{\varphi^{'}}{2} \right) = e^{\pi \bullet tg\left( 16,6 \right)} \bullet tg^{2}\left( 45 + \frac{16,6}{2} \right) = 4,578$$

N_c = (N_q−1) • ctg(φ^′) = 12, 008

N_γ = 2 • (N_q−1) • tg(φ^′) = 2, 132

$$\frac{B}{L} = \frac{1,3}{21,8} = 0,06$$

Wartość naprężeń pionowych w poziomie posadowienia, obok fundamentu:

q^′ = 21, 5kN/m³ • 1, 2m = 25, 8kPa

Ze względu na:

• małą wartość B/L, przyjęto wartość współczynników s_i = 1

• brak sił poziomych, przyjęto współczynniki i_i = 1

• brak mimośrodów, B^′ = B i L^′ = L

Wartość charakterystyczna nośności fundamentu:

R_k = B • L • (N_c•c^′+q^′•N_q+0,5•B•γ•N_γ) = 21, 6m • 1, 4m • (12,008•13,78+25,8•4,578+0,5•1,3•21,5•2,132) = 9634, 27  kN

Wartość obliczeniowa:

$$R_{d} = \frac{R_{k}}{1,4} = 6881,6\ kN$$

Sprawdzenie warunku:

V_d = 6102, 96 kN < R_d = 6881, 6 kN

Warunek nośności został spełniony, wykorzystanie w 90%.

2.3. Sprawdzenie nośności podłoża uwarstwionego

Poszerzenie fundamentu, kiedy szerokość podstawy jest większa niż grubość kolejnej warstwy spoistej, wynosi:

$$b = \frac{0,75m}{4} = 0,18m$$

Wymiary fundamentu na niższej warstwie:

B^″ = B + b = 1, 58m

L^″ = L + b = 21, 98m

Ciężar "nowego" fundamentu:

V_d = 6023, 9 + 20, 0 • 1, 58 • 21, 98 • 0, 75 = 6658, 6 kN

Naprężenia obok fundamentu:

q^′ = 25, 8 + 21, 0 • 0, 8 = 41, 8 kPa

Współczynniki nośności fundamentu, dla drugiej warstwy:

N_q = 3, 820

N_c = 10, 754

N_γ = 1, 479

Wartość charakterystyczna nośności fundamentu:

R_k = 21, 98m • 1, 48m • (10,754•10,37+41,8•3,82+0,5•1,48•20•1,479) = 11502, 5  kN

Wartość obliczeniowa:

$$R_{d} = \frac{R_{k}}{1,4} = 8216,1\ kN$$

Sprawdzenie warunku:

V_d = 6658, 6 kN < R_d = 8216, 1 kN

Warunek nośności został spełniony, wykorzystanie w 81%.

Zarówno warunek nośności fundamentu w poziomie posadowienia, jak i na stropie kolejnej warstwy został spełniony. Pozostałe wymiary fundamentu, prócz długości wyznaczonej w poprzednim punkcie zostały przedstawione na rysunku poniżej.

2.4. Sprawdzenie przekroju na przebicie

Przyjęto beton C25/30.

$$f_{ct,d} = 0,15 \bullet \sqrt[3]{f_{\text{ck}}^{2}} = 0,15 \bullet \sqrt[3]{25^{2}} = 1,282MPa$$

2.4.1. Sprawdzenie na przebicie poprzeczne

Siła przebijająca: P_p1 = 240, 4kPa • 1m • 0, 3m = 72, 12kN

Pole powierzchni na przebicie: A₁ = 0, 30m • 1m = 0, 30m²

Warunek nośności na przebicie:

A₁ • f_ct, d = 0, 30m² • 1, 282MPa = 384, 6 kN > P_p1 = 72, 12 kN

Warunek został spełniony.

2.4.2. Sprawdzenie na przebicie podłużne

Naprężenia uwzględniane do przebicia podłużnego: $q = \frac{5240kN}{1,4m \bullet 21,8m} = 171,7kPa$

Maksymalna siła przebijająca:  P_p2 = 2, 05m • 171, 7kPa • 1, 4m = 492, 8 kN

Pole powierzchni na przebicie: A₂ = 1, 1 • 0, 30 + 0, 5 • 0, 4 − 0, 30² = 0, 44m²

Warunek nośności na przebicie:

A₂ • f_ct, d = 0, 44m² • 1, 282MPa = 564, 1kN > P_p2 = 492, 8 kN

Warunek został spełniony.

2.5. Wstępne przyjęcie zbrojenia

Założenia:

Beton: $f_{\text{cd}} = \frac{25}{1,4}MPa = 17,85MPa$

Stal: $f_{\text{yd}} = \frac{400}{1,1}MPa = 360\ MPa$

Przyjęto otulinę 50mm. Stąd, do wymiarowania można założyć przekrój prostokątny o wymiarach:

b = 0, 5m

h = 0, 75m

d = 0, 70m

Wymiarowanie zatem sprowadzi się do jednego przypadku.

Maksymalny moment zginający: M_Ed = 763, 0 kNm

$$A = \frac{M_{\text{Ed}}}{f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}} = \frac{763kNm}{17,85MPa \bullet 0,5m \bullet 0,7m} = 0,137$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2 \bullet A} = 1 - \sqrt{1 - 2 \bullet 0,137} = 0,148$$

x_eff = d • ξ_eff = 0, 7m • 0, 148 = 0, 104m

Z warunku równowagi sił, zakładając przekrój pojedynczo zbrojony:

$$A_{s1} = \frac{b \bullet f_{\text{cd}} \bullet x_{\text{eff}}}{f_{\text{yd}}} = \frac{0,5m \bullet 17,85MPa \bullet 0,104m}{360M\text{Pa}} = 25,71cm^{2}$$

Zatem maksymalne zbrojenie można przyjąć jako 6 x ⌀25. Taka ilość prętów zbrojeniowych bez problemu zmieści się zarówno w środniku jak i półce projektowanego fundamentu.

3. Wybór modelu podłoża i wyznaczenie jego parametrów

3.1. Wybór modelu

Grubość wszystkich warstw pod powierzchnią fundamentu: H = 2, 75m − 1, 2m = 1, 55m

Szerokość fundamentu: B = 1, 3m

$$\frac{H}{B} = \frac{1,55}{1,4} = 1,1 < 1,5 \rightarrow \mathbf{\text{Metoda\ Winklera}}$$

3.2. Wyznaczenie parametrów podłoża

3.2.1. Osiadania porównawcze

Wartości modułów sztywności podłoża:

$$E_{s1} = \frac{E_{0}}{\left( 1 - \upsilon^{2} \right)} = \frac{20,1MPa}{(1 - {0,32}^{2})} = 22,39MPa$$

$$E_{s2} = \frac{15,5MPa}{(1 - {0,32}^{2})} = 17,27MPa$$

Naprężenia pod ławą fundamentową: $q = \frac{6102,96kN}{1,4m \bullet 21,8m} = 199,97\ kPa$

Wymiary fundamentu: B = 1, 4m; L = 21, 8m

Wyznaczenie osiadań porównawczych:

ω_sr, 1, dla z₁/B = 0, 57, L/B = 15, 6: przyjęto z interpolacji między 0,5 a 0,75 : ω_sr, 1 = 0, 51

ω_sr, 2 dla  H/B = 1, 1, L/B = 15, 6: przyjęto z interpolacji między 0,77 a 1,01 : ω_sr, 2 = 0, 82

Stąd:

$$w_{o2} = q \bullet B \bullet \left\lbrack \frac{\omega_{sr,1}}{E_{s1}} + \frac{\omega_{sr,2} - \omega_{sr,1}}{E_{s2}} \right\rbrack = 199,97kPa \bullet 1,4m \bullet \left\lbrack \frac{0,51}{22,39MPa} + \frac{0,82 - 0,51}{17,27MPa} \right\rbrack = 0,0114m$$

3.2.2. Parametry podłoża Winklera

$$w = \frac{q}{C} \rightarrow \mathbf{C} = \frac{q}{w} = \frac{199,97kPa}{0,0114m} = \mathbf{17,54\ MN/m}$$

4. Rozwiązanie belki nieskończonej na podłożu sprężystym

4.1. Obliczenia współczynników pomocniczych

Zagadnienie sprowadza się do rozwiązania równania różniczkowego 4 rzędu, postaci:

$$\frac{d^{4}y(\xi)}{d\xi^{4}} + 4y\left( \xi \right) = \frac{4q_{0}(\xi)}{B \bullet C}$$

W przypadku gdy szukamy rozwiązania od siły skupionej, należy powyższe równanie przyjąć jako równanie jednorodne (lewa strona równania równa 0). Ogólna postać rozwiązania równania różniczkowego jednorodnego:

y(ξ) = e^−ξ(C₁•cosξ+C₂•cosξ) + e^ξ(C₃ • cosξ + C₄ • sinξ)

W celu wyznaczenia stałych należy uwzględnić warunki brzegowe:

1. Osiadania w nieskończoności wynoszą 0 →C₃ = C₄ = 0

2. Pod siłą skupioną kąt obrotu wynosi 0 →C₁ = C₂

3. Tnąca w "0" po prawej stronie wynosi $- 0,5P \rightarrow \ \ C_{1} = C_{2} = \frac{P}{2 \bullet B \bullet C \bullet L_{w}}$

Prowadzi to do następujących wzorów, poprawnych dla ξ ≥ 0:

• Ugięcie: $y\left( \xi \right) = \frac{P}{2 \bullet B \bullet C \bullet L_{w}} \bullet e^{- \xi} \bullet \left( cos\xi + sin\xi \right)$;

• Odpór podłoża: r(ξ) = B • C • y(ξ);

• Moment zginający: $M\left( \xi \right) = - \frac{P \bullet L_{w}}{4} \bullet e^{- \xi} \bullet \left( sin\xi - cos\xi \right)$;

• Siła tnąca: $Q\left( \xi \right) = - \frac{P}{2} \bullet e^{- \xi} \bullet cos\xi$

Na podstawie powyższego wyprowadzenia przygotowano rozwiązanie belki nieskończonej, przedstawionej na schemacie poniżej. Z uwagi na symetrię układu wyznaczono tylko siły wewnętrzne i ugięcie dla połowy belki (ξ > 0). Otrzymane wykresy po drugiej strony belki będą odbiciem lustrzanym (ugięcie, momenty, odpór) lub symetryczne względem środka układu (tnące).

Sztywność fundamentu policzono jak dla przekroju betonowego, z pominięciem zbrojenia.

I_y = 1, 763 • 10⁻²m⁴

E = 31GPa

EI_y = 54, 653 MNm²

$$L_{w} = \sqrt[4]{\frac{\text{EI}}{B \bullet C}} = 3,072m$$

Wartości funkcji w odległości ξ od osi symetrii wyznaczamy wg wzorów:

• Dla y(ξ),  M(ξ) i r(ξ), na przedziale od 0 do 3m:

f(ξ) = f_(ξ+8,7)^P1 + f_(ξ+3)^P2 + f_(3−ξ)^P2 + f_(8,7−ξ)^P1

• Dla y(ξ),  M(ξ) i r(ξ), na przedziale od 3 do 8,7m:

f(ξ) = f_(ξ+11,7)^P1 + f_(ξ+6)^P2 + f_(ξ)^P2 + f_(5,7−ξ)^P1

• Dla y(ξ),  M(ξ) i r(ξ), na przedziale od 8,7 do nieskończoności:

f(ξ) = f_(ξ+17,4)^P1 + f_(ξ+11,7)^P2 + f_(ξ+5,7)^P2 + f_(ξ)^P1

Analogicznie dla sił tnących, pamiętając, że przy zmianie przedziału należy zmienić znak poprzedniej siły oraz uwzględnić występowanie skoków sił wewnętrznych.

Otrzymano następujące wykresy dla belki nieskończonej:

4.2. Wykresy ugięcia i sił wewnętrznych dla belki nieskończonej

5. Rozwiązanie belki skończonej na podłożu sprężystym metodą Bleicha

5.1. Wyznaczenie wartości sił fikcyjnych

Podobnie jak w poprzednim punkcie, rozważono tylko połowę belki. Przyjęto ponadto, że wpływ sił fikcyjnych po lewej stronie belki, na wartości sił na prawo od osi symetrii jest pomijalny.

Wartości sił T₁,  T₂ można wyznaczyć, przyjmując odpowiednie warunki brzegowe:

1. Suma momentów na końcu belki wynosi 0

2. Suma sił tnących na końcu belki wynosi 0

Moment zginający na początku belki od sił fikcyjnych:

$$M_{T1}\left( \frac{\pi}{4} \right) = - \frac{T_{1} \bullet L_{w}}{4} \bullet e^{- \frac{\pi}{4}} \bullet \left( \sin\frac{\pi}{4} - cos\frac{\pi}{4} \right) = 0$$

$$M_{T2}\left( \frac{\pi}{2} \right) = - \frac{T_{2} \bullet L_{w}}{4} \bullet e^{- \frac{\pi}{2}} \bullet \left( \sin\frac{\pi}{2} - cos\frac{\pi}{2} \right) = - T_{2} \bullet 0,1596m$$

Moment na końcu belki, od oddziaływania sił rzeczywistych:

M_P = −150, 180kNm

Z warunku sumy momentów na końcu belki:

$$T_{2} = - \frac{150,180kNm}{0,1596m} = - 939,797\ kN$$

Siły tnące na początku belki od sił fikcyjnych:

$$Q_{T1}\left( \frac{\pi}{4} \right) = - \frac{T_{1}}{2} \bullet e^{- \frac{\pi}{4}} \bullet cos\frac{\pi}{4} = - 0,1612 \bullet T_{1}$$

$$Q_{T2}\left( \frac{\pi}{2} \right) = - \frac{T_{2}}{2} \bullet e^{- \frac{\pi}{2}} \bullet cos\frac{\pi}{2} = 0$$

Siła tnąca na końcu belki, od oddziaływania sił rzeczywistych:

Q_P = 41, 093kN

Z warunku sumy sił na końcu belki:

$$T_{1} = \frac{41,093kN}{0,1612} = 254,758\ kN$$

Po wyznaczeniu wpływu sił fikcyjnych analogicznie jak w poprzednim punkcie, otrzymano skorygowane wykresy ugięcia i sił wewnętrznych.

5.2. Wykresy ugięcia i sił wewnętrznych belki skończonej

6. Uwzględnienie deformacji górniczych

6.1. Krzywizna R

Obliczeniowa wartość promienia krzywizny:

R = 6, 1km

k_p = 1, 3 − wsp.przeciazenia,

k_wp = 1, 0 − wsp.war.pracy,

k_k = 0, 57 − wsp.kierunkowy

$$R_{0} = \frac{R}{k_{p} \bullet k_{\text{wp}} \bullet k_{k}} = \frac{6,1km}{1,3 \bullet 1,0 \bullet 0,57} = 8,23km$$

Wyznaczenie "górniczych" parametrów gruntu:

Moduł sprężystości podłoża:

Moduły poszczególnych warstw:

E_s1 = 22, 39MPa

E_s2 = 17, 27MPa

$$E_{0}' = \frac{2m \bullet 22,39MPa + 0,75m \bullet 17,27MPa}{2m + 0,75m} = 22,09MPa$$

$$E_{0}^{*} = \frac{E_{0}'}{1 - {0,3}^{2}} = 24,27MPa$$

E₀ = E₀^* • 0, 7 = 16, 99 MPa

$$C_{0} = \frac{2 \bullet \omega \bullet E_{0}}{B} = \frac{2 \bullet 0,35 \bullet 16,99MPa}{1,4m} = 8,49\ MN/m$$

Oddziaływania przy założeniu nieskończonej sztywności:

$$\Delta\overset{\overline{}}{\sigma}\left( x \right) = \frac{C_{0} B}{2 R_{0}} \left( \frac{L^{2}}{12} - x^{2} \right)$$

$$\frac{C_{0} B}{2 R_{0}} = \frac{8,49MN/m \bullet 1,4m}{2 \bullet 8,23km} = 0,722\ kN/m$$

$$\Delta\overset{\overline{}}{Q}\left( x \right) = - \frac{C_{0} B L^{3}}{48 R_{0}} \left( z^{3} - {3z}^{2} + 2z \right)$$

$$- \frac{C_{0} B L^{3}}{48 R_{0}} = - \frac{\frac{8,49MN}{m} \bullet 1,4m \bullet {21,8}^{3}m^{3}}{48 8230m} = - 311,72kN$$

$$\Delta\overset{\overline{}}{M}\left( x \right) = - \frac{C_{0} B L^{4}}{96 R_{0}} \left( {0,25z}^{4} - z^{3} + z^{2} \right)$$

$$- \frac{C_{0} B L^{4}}{96 R_{0}} = - \frac{\frac{8,49MN}{m} \bullet 1,4m \bullet {21,8}^{4}m^{4}}{96 8230m} = - 3397,74kNm$$

z = 1 − 2x/L

$$\overset{\overline{}}{M_{\max}} = \overset{\overline{}}{M}\left( x = 0 \right) = \overset{\overline{}}{M}\left( z = 1 \right) = - 3397,74kNm \bullet 0,25 = - 849,44\ kNm$$

Wzory dla belki o sztywności EI < ∞:

EI_y = 855, 6 MNm²

$$d = \frac{11}{15 \bullet EI} \bullet R_{0} \bullet M_{\max} = \frac{11}{15 \bullet 855,6MNm^{2}} \bullet 8230m \bullet 849,44kNm = 5,99$$

Naprężenia średnie pod fundamentem:

$$q_{sr} = \frac{\sum_{}^{}\frac{P_{i}}{1,35} + Q_{\text{fund}} + Q_{\text{gruntu}}}{B \bullet L} = \frac{\frac{2 \bullet \left( 1260 + 1360 \right)\text{kN}}{1,35} + 376,05kN + 464,01kN}{1,4m \bullet 21,8m} = 154,70\ kPa$$

Wartość graniczna promienia:

$$R_{\text{gr}} = \frac{C_{0} \bullet L^{2}}{12 \bullet q_{sr}} = \frac{\frac{8,49MN}{m} \bullet {21,8}^{2}m^{2}}{12 \bullet 154,7\ kPa} = 2173m < R_{0}\ \rightarrow Warunek\ spelniony.$$

Siły wewnętrzne wyznacza się wg wzorów:

$$\text{Δσ}\left( x \right) = \Delta\overset{\overline{}}{\sigma}\left( x \right) \frac{1}{1 + d}$$

$$\text{ΔQ}\left( x \right) = \Delta\overset{\overline{}}{Q}\left( x \right) \frac{1}{1 + d}$$

$$\text{ΔM}\left( x \right) = \Delta\overset{\overline{}}{M}\left( x \right) \frac{1}{1 + d}$$

6.2. Odkształcenie ε

Obliczeniowa wartość odkształcenia poziomego:

$$\varepsilon_{0} = \varepsilon \bullet k_{p} \bullet k_{\text{wp}} \bullet k_{k} = 4,1\frac{\text{mm}}{m} \bullet 1,1 \bullet 1,0 \bullet 0,7 = 3,16\frac{\text{mm}}{m}$$

Wykres naprężeń stycznych pod ławą:

q_sr = 154, 70 kPa

K = 0, 64

θ = K • (q_sr•tgϕ+C) • γ_F = 0, 64 • (154,7kPa•tg14,6+16,5kPa) • 1, 0 = 36, 3kPa

Zasięg strefy w stanie przedgranicznym:

$$x_{\theta} = \frac{0,3}{\varepsilon} \bullet L = \frac{0,3}{4,1} \bullet 21,8m = 1,60m$$

Wykres naprężeń stycznych pod ławą fundamentową:

Siłę osiową Z wyznaczamy ze wzoru:

Z = ∫_x^L/2θdx = B • θ • (0, 5L − x)

Maksymalna wartość, dla x=0 wynosi:

Z_max = 1, 4m • 36, 3kPa • 0, 5 • 21, 8m = 553, 9 kN

Wyznaczenie siły osiowej na krawędziach bocznych fundamentu, Z_b:

$$\frac{h}{B} = \frac{0,35m}{1,4m} = 0,25 < 0,33 \rightarrow \ \ Z_{b}\left( x \right) = 0,75 \bullet \frac{h}{B} \bullet Z\left( x \right) = 0,19\ Z(x)$$

Maksymalna wartość siły Z_b wynosi:

Z_b, max = Z_max • 0, 19 = 553, 9kN • 0, 19 = 105, 2kN

Wykresy sił rozciągających:

7. Wymiarowanie ławy żelbetowej

7.1. Dane materiałowe

Beton C 25/30

f_cd = 17, 8MPa

f_ctm = 2, 6MPa

f_ctd = 1, 29MPa

Stal RB400W

f_yk = 400MPa →   f_yd = 347, 8MPa

Otulina:

c_nom = 50mm

Przyjęte średnice prętów:

ϕ_strzemion = 8mm

ϕ_{zbrojenia glownego} = 25mm

ϕ_{zbrojenia poprzecznego} = 10mm

7.2. Wymiarowanie przekroju poprzecznego ławy

Maksymalny moment zginający na wsporniku ławy:

M_max = 0, 45m • 267, 1kPa • 1m • 0, 5 • 0, 45m = 27, 0kNm

Wymiarowanie przekroju prostokątnego, o wysokości 0,35m i dł. 1m:

a = c_nom + ϕ_zbr.gl. + 0, 5ϕ_zbr.poprz. + ϕ_strz. = 50mm + 25mm + 5mm + 8mm = 88mm

d = h − a = 350 − 88 = 262mm = 0, 262m

Wyznaczenie wysokości strefy ściskanej i potrzebnego zbrojenia:

$$A = \frac{M_{\max}}{f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}} = \frac{27,0\ kNm}{17,8MPa \bullet 1,0m \bullet \left( 0,262m \right)^{2}\text{\ \ }} = 0,022$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2 \bullet A} = 1 - \sqrt{1 - 2 \bullet 0,022} = 0,022$$

x_eff = d • ξ_eff = 0, 262 • 0, 022m = 0, 006m

$$A_{S1} = \frac{f_{\text{cd}} \bullet b \bullet x_{\text{eff}}}{f_{\text{yd}}} = \frac{17,8MPa \bullet 1,0m \bullet 0,006m}{347,8MPa} = \mathbf{3,07}\mathbf{c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{/m}$$

Przyjęto ϕ10 co 150mm. (5,24 cm²/m)

7.3. Wymiarowanie podłużne ławy na zginanie

Przyjęte numery przekrojów:

Przekroje przęsłowe: A,C

Przekroje podporowe: B,D

7.3.1. Przekrój A-A

• Przypadek pierwszy, siły wewnętrzne w sytuacji $"R - "$

M_Ed = −240, 6kNm,    rozciaganie gora

a = c_nom + ϕ_strz. + 0, 5ϕ_zbr.gl. = 50mm + 8mm + 0, 5 • 25mm = 71mm

d = h − a = 750mm − 71mm = 679mm

$$A_{S1} = \frac{M_{\text{Ed}}}{0,9 \bullet d \bullet f_{\text{yd}}} = \frac{240,6kNm}{0,9 \bullet 0,679m \bullet 347,8MPa} = 11,29cm^{2}$$

• Przypadek drugi, siły wewnętrzne od $"R + i\ \varepsilon + "$

M_Ed = 483, 6kNm

N_Ed = 553, 9kN

Zdecydowano umieścić zbrojenie na siły Z_b przy krawędzi półki. Wymagane zbrojenie przy jednej z półek wynosi:

$$A_{s,Zb} = \frac{105,2kN}{347,8MPa} = 3,02cm^{2}\ \rightarrow Do\ kazdej\ z\ krawedzi\ dolozono\ 3\phi 16$$

Zbrojenie potrzebne ze względu na siłę rozciągającą:

$$A_{s1}^{'} = \frac{N_{\text{Ed}}}{f_{\text{yd}}} = \frac{553,9kN}{347,8MPa} = 15,93cm^{2}$$

Zbrojenie potrzebne ze względu na moment zginający:

$$A_{s1}^{''} = \frac{M_{\text{Ed}}}{0,9 \bullet d \bullet f_{\text{yd}}} = \frac{483,6kNm}{0,9 \bullet 0,679m \bullet 347,8MPa} = 22,73cm^{2}$$

Łączne wymagane zbrojenie dolne w przekroju A-A:

A_s1 = A_s1^′ + A_s2^″ = 38, 66cm²   →     8 ϕ25

7.3.2. Przekrój B-B

• Przypadek pierwszy, siły wewnętrzne w sytuacji $"R - "$

M_Ed = 741, 2kNm ,    rozciaganie dolem

a = c_nom + ϕ_strz. + 0, 5ϕ_zbr.gl. = 50mm + 8mm + 0, 5 • 25mm = 71mm

d = h − a = 750mm − 71mm = 679mm

$$A_{S1} = \frac{M_{\text{Ed}}}{0,9 \bullet d \bullet f_{\text{yd}}} = \frac{741,2kNm}{0,9 \bullet 0,679m \bullet 347,8MPa} = 34,87cm^{2}$$

• Przypadek drugi, siły wewnętrzne od $"R + i\ \varepsilon + "$

M_Ed = 533, 7kNm

N_Ed = 401, 5kN

$$A_{s,Zb} = \frac{76,3kN}{347,8MPa} = 2,19cm^{2}\ \rightarrow Do\ kazdej\ z\ krawedzi\ dolozono\ 2\phi 16$$

Zbrojenie potrzebne ze względu na siłę rozciągającą:

$$A_{s1}^{'} = \frac{N_{\text{Ed}}}{f_{\text{yd}}} = \frac{533,7kN}{347,8MPa} = 15,35cm^{2}$$

Zbrojenie potrzebne ze względu na moment zginający:

$$A_{s1}^{''} = \frac{M_{\text{Ed}}}{0,9 \bullet d \bullet f_{\text{yd}}} = \frac{401,5kNm}{0,9 \bullet 0,679m \bullet 347,8MPa} = 18,89cm^{2}$$

Łączne wymagane zbrojenie dolne w przekroju A-A:

A_s1 = A_s1^′ + A_s2^″ = 34, 24cm²   →     8 ϕ25

7.3.3. Przekrój C-C

• Przypadek pierwszy, siły wewnętrzne w sytuacji $"R - "$

M_Ed = −267, 1kNm ,    rozciaganie gora

a = c_nom + ϕ_strz. + 0, 5ϕ_zbr.gl. = 50mm + 8mm + 0, 5 • 25mm = 71mm

d = h − a = 750mm − 71mm = 679mm

$$A_{S1} = \frac{M_{\text{Ed}}}{0,9 \bullet d \bullet f_{\text{yd}}} = \frac{267,1kNm}{0,9 \bullet 0,679m \bullet 347,8MPa} = 12,57cm^{2}$$

• Przypadek drugi, siły wewnętrzne od $"R + i\ \varepsilon + "$

M_Ed = 392, 7kNm

N_Ed = 249, 0kN

Zdecydowano umieścić zbrojenie na siły Z_b przy krawędzi półki. Wymagane zbrojenie przy jednej z półek wynosi:

$$A_{s,Zb} = \frac{47,3kN}{347,8MPa} = 1,36cm^{2}\ \rightarrow Do\ kazdej\ z\ krawedzi\ dolozono\ 1\phi 16$$

Zbrojenie potrzebne ze względu na siłę rozciągającą:

$$A_{s1}^{'} = \frac{N_{\text{Ed}}}{f_{\text{yd}}} = \frac{249,0kN}{347,8MPa} = 7,16cm^{2}$$

Zbrojenie potrzebne ze względu na moment zginający:

$$A_{s1}^{''} = \frac{M_{\text{Ed}}}{0,9 \bullet d \bullet f_{\text{yd}}} = \frac{392,7kNm}{0,9 \bullet 0,679m \bullet 347,8MPa} = 18,48cm^{2}$$

Łączne wymagane zbrojenie dolne w przekroju A-A:

A_s1 = A_s1^′ + A_s2^″ = 25, 64cm²   →     6 ϕ25

7.3.4. Przekrój D-D

• Przypadek pierwszy, siły wewnętrzne w sytuacji $"R - "$

M_Ed = 636, 9kNm ,    rozciaganie dolem

a = c_nom + ϕ_strz. + 0, 5ϕ_zbr.gl. = 50mm + 8mm + 0, 5 • 25mm = 71mm

d = h − a = 750mm − 71mm = 679mm

$$A_{S1} = \frac{M_{\text{Ed}}}{0,9 \bullet d \bullet f_{\text{yd}}} = \frac{636,9kNm}{0,9 \bullet 0,679m \bullet 347,8MPa} = 29,97cm^{2}$$

• Przypadek drugi, siły wewnętrzne od $"R + i\ \varepsilon + "$

M_Ed = 604, 9kNm

N_Ed = 111, 8kN

Zdecydowano umieścić zbrojenie na siły Z_b przy krawędzi półki. Wymagane zbrojenie przy jednej z półek wynosi:

$$A_{s,Zb} = \frac{21,2kN}{347,8MPa} = 0,61cm^{2}\ \rightarrow Do\ kazdej\ z\ krawedzi\ dolozono\ 1\phi 16$$

Zbrojenie potrzebne ze względu na siłę rozciągającą:

$$A_{s1}^{'} = \frac{N_{\text{Ed}}}{f_{\text{yd}}} = \frac{111,8kN}{347,8MPa} = 3,21cm^{2}$$

Zbrojenie potrzebne ze względu na moment zginający:

$$A_{s1}^{''} = \frac{M_{\text{Ed}}}{0,9 \bullet d \bullet f_{\text{yd}}} = \frac{604,9kNm}{0,9 \bullet 0,679m \bullet 347,8MPa} = 28,46cm^{2}$$

Łączne wymagane zbrojenie dolne w przekroju A-A:

A_s1 = A_s1^′ + A_s2^″ = 31, 67cm²   →     8 ϕ25

7.4. Wymiarowanie ławy na ścinanie

Nośność obliczeniowa przekroju na ścianie, bez dodatkowego zbrojenia:

$$V_{Rd,c} = 0,13 \bullet k \bullet \left( 100 \bullet \rho_{l} \bullet f_{\text{ck}} \right)^{\frac{1}{3}} \bullet b_{w} \bullet d \geq \upsilon_{\min} \bullet b \bullet d$$

$$k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} = 1 + \sqrt{\frac{200}{679}} = 1,54$$

$$\rho_{l} = \frac{A_{s1}}{bd_{os}} = \frac{39,27\text{cm}^{2}}{50cm \bullet 67,9cm} = 0,012$$

υ_min = 0, 035 • k^1, 5 • f_ck^0, 5 = 0, 035 • 1, 54^1, 5 • 25^0, 5MPa = 0, 334MPa

υ_min • b • d = 0, 334MPa • 0, 5m • 0, 679m = 113, 4kN

V_Rd, c = 0, 13 • 1, 54 • (100•0,012•25MPa)^1/3 • 0, 5m • 0, 679m = 211, 2kN

V_Rd, c = 211, 2kN < V_Ed, max = 696, 3kN

Należy zaprojektować dodatkowe zbrojenie na ścinanie.

Przyjęto strzemiona czterocięte z prętów ϕ8.

A_sw = 4 • 0, 5cm² = 2cm²

Długość odcinka, na którym należy zaprojektować dodatkowe zbrojenie na ścinanie: 1,9m.

Maksymalna długość odcinka:

l_s, max  = 1, 8 • d = 1, 8 • 0, 679 = 1, 22m

Podzielono zatem odcinek wymagający zbrojenia na dwie części.

Odcinek 1, o długości 1,0m:

$$S_{1} = \frac{A_{\text{sw}}}{V_{\text{Ed}}} \bullet z \bullet f_{\text{yd}} \bullet ctg\theta$$

z = 0, 9 • d = 0, 9 • 0, 679m = 0, 611m

ctgθ = 2

$$S_{1} = \frac{2cm^{2}}{696,3kN} \bullet 0,611m \bullet 347,8MPa \bullet 2 = 122mm$$

Przyjęto strzemiona czterocięte, o średnicy ϕ8, w rozstawie co 120mm.

Odcinek 2, od długości 0,9m:

$$S_{2} = \frac{2cm^{2}}{449,8kN} \bullet 0,611m \bullet 347,8MPa \bullet 2 = 189mm$$

Przyjęto strzemiona czterocięte, o średnicy ϕ8, w rozstawie co 180mm.

W pozostałej części ławy zastosowano strzemiona konstrukcyjne, w rozstawie 400mm. Całe obliczone zbrojenie na ścinanie zostało umieszczone na szerokości środnika ławy. Dodatkowo, ze względów konstrukcyjnych, umieszczono strzemiona w półce przekroju teowego.

7.5. Sprawdzenie przebicia

7.5.1. Przebicie podłużne

Maksymalna siła przebijająca:

P_p1^′ = 2, 05m • 220kPa • 1, 4m = 631, 4 kN

P_p1^″ = 1, 25m • 265kPa • 1, 4m = 463, 8 kN

P_p1^‴ = 1, 90m • 240kPa • 1, 4m = 638, 4 kN

Pole powierzchni na przebicie: A₂ = 1, 1 • 0, 30 + 0, 5 • 0, 4 − 0, 30² = 0, 44m²

Warunek nośności na przebicie:

A₂ • f_ct, d = 0, 44m² • 1, 482MPa = 652, 1kN > P_p1, max = 638, 4 kN

7.5.2. Przebicie poprzeczne

Siła przebijająca: P_p2 = 267, 2kPa • 1m • 0, 15m = 40, 08kN

Pole powierzchni na przebicie: A₁ = 0, 30m • 1m = 0, 30m²

Warunek nośności na przebicie:

A₁ • f_ct, d = 0, 30m² • 1, 282MPa = 384, 6 kN > P_p2 = 40, 08 kN

Nośność na przebicie została zapewniona.