1. Jeżeli szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest zbieżny to a_n = 0

2. Szereg jest zbieżny bezwzględnie $\sum_{n = 1}^{\infty}\left| a_{n} \right|$ <∞, a jest zbieżny warunkowo , jeżeli $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ <∞ , ale $\sum_{n = 1}^{\infty}\left| a_{n} \right|$ =∞

3. Kryterium D’Alamberta: Jeżeli szereg $\sum_{}^{}a_{n}$ jest szeregiem o wyrazach nieujemnych, wówczas :

-Jeżeli g= $\operatorname{}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ <1 to ciąg jest zbieżny

- Jeżeli g= $\operatorname{}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ >1 to ciąg jest rozbierzy

4. Kryterium Cauchego : Jeżeli szereg $\sum_{}^{}a_{n}$ jest szeregiem o wyrazach nieujemnych, wówczas :

-Jeżeli g= $\operatorname{}\sqrt[n]{a_{n}}$ <1 to ciąg jest zbieżny

-Jeżeli g = $\operatorname{}\sqrt[n]{a_{n}}$ >1 to ciąg jest rozbieżny

5. Kryterium całkowe : Niech funkcja f będzie f-cją dodatnią i malejącą w przedziale n₀ < x < +∞ i f(n) =a_n , wówczas szereg $\sum_{n = n_{0}}^{\infty}a_{n}$ jest zbieżny zbieżna jest całka ∫_n0^∞f(x) dx.

6.Kryterium porównawcze : Jeżeli szeregi $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$ , są szeregami o wyrazach nieujemnych oraz istnieje takie n_o, że dla każdego spełniona jest nierówność a_n ≤ b_n, to:

jeżeli szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest rozbieżny, to szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$ jest również rozbieżny,

jeżeli szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$ jest zbieżny, to szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest również zbieżny.

7. Kryterium ilorazowo-porównawcze : Jeżeli szeregi $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$ , są szeregami o wyrazach nieujemnych oraz istnieje granica g=$\operatorname{}\frac{a_{n}}{b_{n}}$

Gdzie g ∈ [0,∞) ∪ {∞} , to:

Jeżeli g<∞ oraz szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$ jest zbieżny, to szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest również zbieżny,

jeżeli g>0 oraz szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$ jest rozbieżny, to szereg$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest również rozbieżny.

8.Kryterium Leibniza : Jeżeli ciąg (a_n) jest malejący i zbieżny do zera, to szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}{{( - 1)}^{n}\text{\ \ }a_{n}}$ jest zbieżny.

9. Twierdzenie Abela : Jeżeli $\sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ jest zbieżny w punkcie x₁ ≠ 0 , to jest zbieżny bezwzględnie w każdym punkcjie x∈(−x₁, x₁)

10.Twierdzenie Caychego Hadamarda : Jeżeli dla szeregu potęgowe $\sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}\ $istnieje granica (skończona lub nieskończona) :

$\operatorname{}\sqrt[n]{a_{n}}$=γ( to powinna być lambda ) lub $\operatorname{}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ = γ

To promień zbieżności tego szeregu wynosi :

R= $\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{\gamma}\ ,\text{gdy}\ 0 < \ \gamma < \ + \infty \\ 0\ \text{gdy}\text{\ \ }\gamma = + \infty \\ + \infty\ ,\text{gdy}\text{\ \ }\gamma = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

11. Twierdzenie o różniczkowaniu szergu potęgowego :

Jeżeli szereg potęgowy $\sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}\ $ma niezrerowy promień zbieżności R, 0< R ≤  +  ∞ , to jego suma S(x) jest f-cją różniczkowalną oraz :

S’(x) =$\sum_{n = 0}^{\infty}{(a_{n}x^{n})'}$

12. Twierdzenei o całkowaniu szeregu potęgowego : Jeżeli szereg potęgowy $\sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}\ $ma niezerowy promień zbieżności R , 0<R ≤ + ∞ , to jego suma S(x) jest f-cją całkowalną oraz

$\bigvee_{x \in \left( - R,R \right)}^{}{\ \int_{0}^{x}{S\left( t \right)dt = \ }}\sum_{n = 0}^{\infty}{\int_{0}^{x}{{(a}_{n}t^{n}dt)}}$

13.Def. szeregu Taylora : Załóżmy ,że f-cja f ma w pkt. x₀ pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy $\sum_{n = 0}^{\infty}{\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}{(x - x_{0})}^{n}}$ nazywamy szeregiem Taylora f-cji f o środku w punkcie x₀.

14. Tw. O rozwijaniu f-cji w szereg Taylora

Jeżeli:

-f ma ciągłe pochodne dowonego rzędu w pewnym otoczeniu U(x₀, δ)=(x₀−δ,x₀+δ)punktu x₀

$\bigvee_{x \in U(x_{0},\delta)}^{}{\operatorname{}{\sum_{n = 0}^{\infty}{\frac{f^{n}(c)}{n!}{(x - x_{0})}^{n}}}}$=0

,gdzie c=x₀ +  θ(x−x₀),  0 < θ < 1 to f(x) =$\sum_{n = 0}^{\infty}{\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}{(x - x_{0})}^{n}}$ ,dla każdego x∈U(x₀, δ).

15. Warunek wystarczający rozwijalności f-cji w szereg Taylora :

-f ma ciągłe pochodne dowolnego rzędu w pewnym otoczeniu U(x₀, δ)=(x₀−δ,x₀+δ)punktu x₀

-Istnieje( tu powinein byc taki znaczek ,odwrocone E)M > 0 $\bigvee_{x \in U(x_{0,\delta)}}^{}{\bigvee_{n = 0,1.2,3\ldots..}^{}{\ \left| f^{n}\left( x \right) \right|}} \leq M\ $

,to$\text{\ \ \ }\operatorname{}{\frac{f^{n}(c)}{n!}{(x - x_{0})}^{n}} = 0$ dla każdego x∈ U(x₀, δ) i c =x₀ +  θ(x−x₀)  0 < θ < 1