Wydział Budowy Maszyn i Informatyki

Kierunek: Automatyka i Robotyka

Rok akademicki: 2014/2015

Studia: stacjonarne

Semestr: 3

Grupa: 1b

LABORATORIUM

Fizyki

Ćwiczenie nr 65

Wyznaczanie pojemności kondensatorów metodą drgań relaksacyjnych

Szymon Gajewski

Piotr Szczygieł

1. Wstęp Teoretyczny

1. Kondensator – urządzenie elektryczne zbudowane z dwóch metalowych okładek, na których

znajduje się ładunek elektryczny o przeciwnych znakach. Między okładkami, posiadającymi

dowolny kształt, panuje różnica potencjałów, czyli napięcie elektryczne. Okładki oddzielone

są dielektrykiem - ciałem, na którym nie gromadzi się ładunek z okładek, a więc i powoduje

zmniejszenie napięcia (a tym samym wzrost ładunku na kondensatorze).

Pojemność elektryczna (kondensatora): C = Q/U

Jest to stosunek ładunku, panującego na okładkach kondensatora, do różnicy potencjałów,

powstałej między okładkami.

1. Proces ładowania kondensatora – na początku kondensator jest nienaładowany, należy

zamknąć obwód, ustawiając przełącznik w pozycji „a”, by prąd mógł przepłynąć i naładować

urządzenie. Zakładając, że w czasie ładowania na

okładkach znajduje się ładunek Q, przez obwód płynie

prąd I, do obwodu podłączony jest opornik o oporze R

oraz kondensator o pojemności C, to zgodnie z II

prawem Kirchhoffa SEM (E, ε) źródła wynosi:

E = IR +Q/C

1. Proces rozładowywania kondensatora – aby rozładować kondensator, należy obwód z

urządzeniem odłączyć od źródła prądu – ustawić przełącznik w położeniu „b”. Przez opornik

popłynie wtedy prąd w odwrotną stronę, niż przy ładowaniu. Prawo Kirchohoffa wygląda

wtedy następująco:

RI +Q/C = 0

1. Drgania relaksacyjne powstają w tzw. układzie prądu stałego RC, czyli w układzie RC zasilanym ze źródła stałej siły elektromotorycznej SEM, w którym równolegle

do kondensatora C połączony jest tzw. element kluczący, czyli pełniący rolę automatycznego klucza elektrycznego, w postaci półprzewodnikowego diaka lub neonówki.

Opór elektryczny diaka jest funkcją przyłożonego napięcia i pozwala kontrolować procesy ładowania i rozładowania kondensatora C. Poniżej tzw. napięcia progowego UP opór diaka jest duży (rzędu M) a maleje gwałtownie o kilka rzędów wielkości po przekroczeniu UP , gdy diak przechodzi w stan przewodzenia. W stanie przewodzenia prądu opór elektryczny diaka pozostaje mały aż do napięcia gaśnięcia UG prawie równego zeru (Rys. 4). W obwodzie RC dokonują się wtedy drgania relaksacyjne napięcia UC pomiędzy napięciem progowym UP a napięciem gaśnięcia UG.

1. Pojemność kondensatora płaskiego

gdzie:

S – powierzchnia jednej okładki kondensatora,

d – odległość między okładkami.

• -jest przenikalnością elektryczną próżni

– jest względną przenikalnością elektryczną ośrodka, z którego wykonano dzielący okładki izolator

1. Połączenie szeregowe kondensatorów

Przy połączeniu szeregowym kondensatorów na każdym kondensatorze jest taki sam ładunek, natomiast napięcie źródła jest równe sumie napięć na poszczególnych kondensatorach.

Dla połączenia szeregowego kondensatorów wypadkowa pojemność jest mniejsza niż najmniejsza ze składowych pojemności:

dla reaktancji pojemnościowej, ze względu na to, że:

mamy:

1. Połączenie równoległe kondensatorów

Przy połączeniu równoległym kondensatorów, na każdym kondensatorze jest takie samo napięcie – napięcie źródła, natomiast ładunek pobrany ze źródła jest równy sumie ładunków na poszczególnych kondensatorach.

Dla połączenia równoległego kondensatorów wypadkowa pojemność jest sumą składowych pojemności:

podobnie dla reaktancji pojemnościowej:

1. Energię zmagazynowaną w kondensatorze oblicza się przez scałkowanie powyższego wzoru, uzyskując:

przy czym Q jest ładunkiem, do którego naładowano kondensator.

1. Opis metody

Równanie (T = K· RC + t0) można użyć do wyznaczenia pojemności kondensatora, pod warunkiem, że najpierw wyznaczy się wartości stałych K i t0. W tym celu, w pierwszej części ćwiczenia, do układu generatora, przedstawionego na Rys. 1, włącza się oporność R o znanej wartości (w tym ćwiczeniu R = 1 MΩ) oraz kondensator dekadowy, pozwalający zmieniać wartość pojemności C. Dokonując pomiaru okresu drgań relaksacyjnych T przy różnych, znanych wartościach pojemności, można doświadczalnie określić zależność funkcyjną T = f(RC). Jak wynika z równania (3) zależność ta jest funkcją liniową, której współczynnik kierunkowy jest równy stałej K, a wyraz wolny stałej czasowej t0. Wartości stałych K i t0 można wyznaczyć, znajdując parametry prostej korelacji dopasowanej do wyznaczonego doświadczalnie wykresu funkcji T = f(RC). Prosta korelacji stanowić będzie jednocześnie prostą kalibracji układu pomiarowego dla wybranej wartości R.

Zastępując kondensator dekadowy w układzie pomiarowym (Rys.1) kondensatorem o nieznanej pojemności Cx i dokonując pomiaru okresu drgań Tx, wartość iloczynu RCx odczytać można wprost z prostej kalibracyjnej lub pojemność Cx obliczyć można ze wzoru:

${\ c}_{x = \frac{T_{1 - t_{0}}}{K \bullet R}}$

Generator do pomiaru pojemności kondensatora

1. Obliczenia

	C [uF]	RC [s]	t10	T [s]
1.	1	1	22,50	2,250
2.	2	2	44,84	4,484
3.	3	3	58,40	5,840
4.	4	4	87,79	8,779
5.	5	5	112,25	11,225
6.	6	6	121,75	12,175
7.	7	7	154,05	15,405
8.	8	8	180,10	18,010
9.	9	9	200,96	20,096
10.	10	10	225,28	22,528
R=1 [MΩ]	∆Tx=0,2	∆R/R=0,02
K=2,263±0,053		t0=-0,370±0,332
		t10 [s]	Tx [s]
11.	C1	23,50	2,350
12.	C2	105,41	10,541
13.	Cs	18,97	1,897
14.	Cr	128,62	12,862

C1 ± ∆C1	C2 ± ∆C2	Cs ± ∆Cs	∆Cs/Cs	Czs	δ	Cr±∆Cr	∆Cr/Cr	Czr	δ
[µF]	[µF]	[µF]	[%]	[µF]	[%]	[µF]	[%]	[µF]	[%]
1,20±0,24	4,82±0,10	1,00±0,28	28	0,96	0,05	5,85±0,09	9	6,02	0,03

$$c_{1 = \frac{T_{1 - t_{0}}}{K \bullet R} = \frac{2,350 - ( - 0,370)}{2,263 \bullet 1 \bullet 10^{6}} = 1,20\mu F}$$

$$c_{2 = \frac{T_{2 - t_{0}}}{K \bullet R} = \frac{10,541 - ( - 0,370)}{2,263 \bullet 1 \bullet 10^{6}} = 4,82\mu F}$$

$$c_{s = \frac{T_{s - t_{0}}}{K \bullet R} = \frac{1,897 - ( - 0,370)}{2,263 \bullet 1 \bullet 10^{6}} = 1,00\mu F}$$

$$c_{R = \frac{T_{R - t_{0}}}{K \bullet R} = \frac{2,350 - ( - 0,370)}{2,263 \bullet 1 \bullet 10^{6}} = 5,85\mu F}$$

$${C_{1} = \left( \frac{T_{x + t_{0}}}{T_{1 - t_{0}}} + \frac{K}{K} + \frac{R}{R} \right) = \frac{0,2 + 0,332}{2,350 - ( - 0,370)} + \frac{0,053}{2,263} + 0,02 = 0,24\mu F\backslash n}{C_{2} = \left( \frac{T_{x + t_{0}}}{T_{2 - t_{0}}} + \frac{K}{K} + \frac{R}{R} \right) = \frac{0,2 + 0,332}{10,541 - ( - 0,370)} + \frac{0,053}{2,263} + 0,02 = 0,10\mu F}$$

$$C_{s} = \left( \frac{T_{x + t_{0}}}{T_{s - t_{0}}} + \frac{K}{K} + \frac{R}{R} \right) = \frac{0,2 + 0,332}{1,897 - ( - 0,370)} + \frac{0,053}{2,263} + 0,02 = 0,28\mu F$$

$$C_{R} = \left( \frac{T_{x + t_{0}}}{T_{R - t_{0}}} + \frac{K}{K} + \frac{R}{R} \right) = \frac{0,2 + 0,332}{12,862 - ( - 0,370)} + \frac{0,053}{2,263} + 0,02 = 0,09\mu F$$

$$\text{Cz}_{s} = \frac{C_{1} \bullet C_{2}}{C_{1} + C_{2}} = \frac{23,50 + 105,41}{23,50 \bullet 105,41} = 0,96\mu F$$

Cz_r = C₁ + C₂ = 6, 02μF

$$\delta = \frac{\left| C_{s} - C_{\text{zs}} \right|}{C_{\text{zs}}} = \frac{\left| 1,00 - 0,96 \right|}{0,96} = 0,05$$

$$\delta = \frac{\left| C_{r} - C_{\text{zr}} \right|}{C_{\text{zr}}} = \frac{\left| 5,85 - 6,02 \right|}{6,02} = 0,03$$

$$\frac{C_{s}}{C_{s}} = \frac{0,28}{1} \bullet 100\% = 28\%$$

$$\frac{C_{r}}{C_{r}} = \frac{0,09}{1} \bullet 100\% = 9\%$$

1. Wnioski:

Z przeprowadzonego ćwiczenia możemy wywnioskować, że pojemność kondensatora oraz opór kondensatora zwiększa okres drgań relaksacyjnych, co pozwala na pomiar nieznanej pojemności kondensatora. Z pomiarów można zaobserwować że kondensatory połączone szeregowo mają mniejszą pojemność niż kondensatory połączone równolegle.