PROJEKT A – MODEL LINIOWY

z co najmniej trzema zmiennymi objaśniającymi

(4-7 potencjalnych zmiennych objaśniających + dobór zmiennych)

Nazwisko i imię studenta 1: Krzysztof Ochab

Kierunek i rok studiów studenta 1: Ekonomia I ROK II-go stopnia

Numer grupy studenta 1: III

Nazwisko i imię studenta : MATYSIAK ANNA

Kierunek i rok studiów studenta :EKONOMIA I ROK II-go stopnia

Numer grupy studenta 2: 03

1. Zebrać z Roczników Statystycznych co najmniej 12 obserwacji na zmiennej objaśnianej i 4-7 potencjalnych zmiennych objaśniających (dane w postaci szeregów przekrojowych) (2009-2010)

Dane przekrojowe (wg województw Polski w roku 2009)

– produkcja sprzedana przemysłu i budownictwa województwa (ceny bieżące w mln zł)

X₁ – pracujący w przemyśle i budownictwie województwa (w tys.),

X₂ - inwestycyjne (ceny bieżące) przemysłu i budownictwa województwa (w %),

X₃ - wartość brutto środków trwałych w przemyśle i budownictwie województwa (w % ogółem),

X₄ - wskaźnik cen towarów i usług konsumpcyjnych (rok poprzedni =100)

Źródło: Rocznik statystyczny GUS

1. wprowadzić dane statystyczne do programu EXCEL w następującym układzie:

1. zapisać dane w formacie csv na dysku (podać nazwę pliku Produkcja_przemyslowa_budowlana.csv)

1. Zastosować przy doborze zmiennych statystyczne kryteria wyboru między modelami re-gresji (kryterium Theila maksymalnego skorygowanego współczynnika determinacji, kryteria bazujące na minimalizacji średniokwadratowego błędu predykcji Mallowsa, kryteria informacyj-ne: Akaike (AIC), Schwartza (BIC)). Wybrać na podstawie jednego z kryteriów zmienne obja-śniające do modelu1. Zastosować w programie R procedurę AIC_BIC_adjr2_Cp.r

Wynik z programu R

[1] "Najlepsza kombinacja zmiennych wg AIC to: 1, 2, 3, 4 z wartością miary: 327,436418925427"

[1] "Najlepsza kombinacja zmiennych wg BIC to: 4 z wartością miary: 329,116038516031"

[1] "Najlepsza kombinacja zmiennych wg adjr2 to: 1, 2, 3, 4 z wartością miary: 0,830140108059294"

[1] "Najlepsza kombinacja zmiennych wg Cp to: 4 z wartością miary: 4,1399555196633"

[1] "Dokładne wyniki w pliku wynik_AIC_BIC_adjr2_Cp.csv"

Do modelu liniowego zostaną wybrane zmienne objaśniające x1, x2, x3, x4. Zatem model ma postać:

y=b₀+b^­­₁x­₁+b₂x₂+b₃x₃*b₄x₄+&

1. Wykorzystując w programie R procedurę Reg_wieloraka_model_liniowy_hiperplaszczyzna_2010.r

a) oszacować metodą najmniejszych kwadratów parametry strukturalne modelu z wybranymi zmiennymi. Zapisać postać modelu z oszacowanymi parametrami podając w nawiasach pod ocenami estymatorów parametrów ich błędy. Podać interpretację parametrów strukturalnych oraz błędów estymatorów parametrów strukturalnych,

b) zinterpretować obliczone parametry struktury stochastycznej (standardowy błąd oceny, współ-czynnik determinacji, skorygowany współczynnik determinacji),

c) za pomocą testów t i F sprawdzić istotność współczynników regresji,

d) wyznaczyć i zinterpretować przedziały ufności dla parametrów strukturalnych,

e) wykorzystując test Shapiro-Wilka sprawdzić czy składnik losowy ma rozkład normalny,

f) sprawdzić za pomocą VIF czy w modelu nie występuje problem przybliżonej współliniowości,

g) wykorzystując test Goldfelda-Quandta sprawdzić czy nie występuje niejednorodność wariancji składników losowych

h) za pomocą testów Durbina-Watsona oraz Breuscha-Godfreya zbadać czy w modelu nie wy-stępuje autokorelacja pierwszego stopnia

i) sprawdzić czy w zbiorze danych występują obserwacje nietypowe

j) sprawdzić, które obserwacje są wpływowe, a które nie są wpływowe

ODPOWIEDZI Z WYKORZYSTANIEM obliczeń w programie R

a) oszacować metodą najmniejszych kwadratów parametry strukturalne modelu z wybranymi zmiennymi

[1] Wyniki estymacji MNK

Call:

lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4, data = d, x = TRUE, y = TRUE)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-22312 -12617 -1544 7036 41085

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) -1,052e+06 2,120e+06 -0,496 0,630

x1 4,109e+02 4,646e+01 8,843 2,49e-06 ***

x2 6,709e+02 1,498e+03 0,448 0,663

x3 -2,928e+03 2,123e+03 -1,379 0,195

x4 1,061e+04 2,065e+04 0,514 0,617

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0,001 ‘**’ 0,01 ‘*’ 0,05 ‘.’ 0,1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 21070 on 11 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.908, Adjusted R-squared: 0.8746

F-statistic: 27.16 on 4 and 11 DF, p-value: 1,195e-05

1. zapisać postać modelu z oszacowanymi parametrami podając w nawiasach pod ocenami estymatorów parametrów ich błędy

y(t) = -1052000 + 410,90x­₁ + 670,90x­­₂ - 1928,00x₃ + 10610,00x₄

1. podać interpretację parametrów strukturalnych oraz błędów estymatorów parametrów strukturalnych

b(t)₁ = 410,90 - wzrost (spadek) liczby pracujących w przemyśle i budownictwie województwa (wartości zmiennej objaśniającej x₁) o 1 tys., spowoduje wzrost (spadek) produkcji sprzedanej przemysłu i budownictwa województwa (zmienna objaśniana y) średnio o 410,90 mln zł (ceteris paribus);

b(t)₂ = 670,90 - wzrost (spadek) wartości nakładów inwestycyjnych (ceny bieżące) przemysłu i budownictwa województwa (wartości zmiennej objaśniającej x₂) o 1 tys., spowoduje wzrost (spadek) produkcji sprzedanej przemysłu i budownictwa województwa (zmienna objaśniana y) średnio o 670,90mln zł (ceteris paribus);

b(t)₃ = 1928,00 - spadek (wzrost) wartości brutto środków trwałych w przemyśle i budownictwie województwa (wartości zmiennej objaśniającej x₃) o 1 % ogółem, spowoduje spadek (wzrost) produkcji sprzedanej przemysłu i budownictwa województwa (zmienna objaśniana y) średnio o 1928,00mln zł (ceteris paribus);

b(t)₄ = 10610,00 - wzrost (spadek) wartości wskaźnika cen towarów i usług konsumpcyjnych w przemyśle i budownictwie województwa (wartości zmiennej objaśniającej x₄) o 1 % ogółem, spowoduje spadek (wzrost) produkcji sprzedanej przemysłu i budownictwa województwa (zmienna objaśniana y) średnio o 10610,00 zł (ceteris paribus);

b(t)₀ = -1052000 (wyraz wolny) – brak w tym przypadku interpretacji ekonomicznej.

S(b₀₎ - szacując parametr b₀, gdybyśmy mogli wiele razy pobrać próbę z tej samej populacji generalnej, mylimy się średnio in plus i in minus o 2120000 (b₀ = -1052000+/-2120000)

S(b₁) - szacując parametr b_1, gdybyśmy mogli wiele razy pobrać próbę z tej samej populacji generalnej, mylimy się średnio in plus i in minus o 46,46(b₁=410,90 +/-46,46)

S(b₂)- szacując parametr b_2, gdybyśmy mogli wiele razy pobrać próbę z tej samej populacji generalnej, mylimy się średnio in plus i in minus o 1498,00 (b₂=670,90+/-1498,00)

S(b₃)- szacując parametr b_3, gdybyśmy mogli wiele razy pobrać próbę z tej samej populacji generalnej, mylimy się średnio in plus i in minus o 2123,00 (b₃= - 10610,00+/-2123,00)

S(b₄)- szacując parametr b_4, gdybyśmy mogli wiele razy pobrać próbę z tej samej populacji generalnej, mylimy się średnio in plus i in minus o 20650,00 (b₄= - 1928,00+/-20650,00 )

1. zinterpretować obliczone parametry struktury stochastycznej (standardowy błąd oceny, współczynnik determinacji, skorygowany współczynnik determinacji),

standardowy błąd oceny (Residual standard error: 21070) – wartości empiryczne zmiennej objaśnianej (produkcji sprzedanej przemysłu i budownictwa województwa) odchylają się od wartości teoretycznych przeciętnie o 21070 mln zł.

współczynnik determinacji (Multiple R-Squared: 0.908) – 90,8% zmienności zmiennej objaśnianej (produkcji sprzedanej przemysłu i budownictwa województwa) zostało wyjaśnionych przez zbudowany model.

skorygowany współczynnik determinacji (Adjusted R-squared: 0.8746) – 87,46% wariancji zmiennej objaśnianej (produkcji sprzedanej przemysłu i budownictwa województwa) zostało wyjaśnionych przez zbudowany model.

1. za pomocą testów t i F sprawdzić istotność współczynników regresji

Test t

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) -1,052e+06 2,120e+06 -0,496 0,630

x1 4,109e+02 4,646e+01 8,843 2,49e-06 ***

x2 6,709e+02 1,498e+03 0,448 0,663

x3 -2,928e+03 2,123e+03 -1,379 0,195

x4 1,061e+04 2,065e+04 0,514 0,617

Z uwagi na to, że dla b₀ α = 0,05 < 0,630 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Oznacza to, że parametr b₀ nieistotnie różni się od zera.

Z uwagi na to, że dla b₁ α = 0,05 >2,49e-06 hipotezę zerową odrzucamy. Oznacza to, że parametr b₁ istotnie różni się od zera. Zmienna objaśniająca x₁ ma istotny wpływ na zmienną objaśnianą y.

Z uwagi na to, że dla b₂ α = 0,05 <0,663 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Oznacza to, że parametr b₂ istotnie różni się od zera. Zmienna objaśniająca x₂ nie ma istotnego wpływu na zmienną objaśnianą y.

Z uwagi na to, że dla b₃ α = 0,05 < 0,195 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Oznacza to, że parametr b₂ istotnie różni się od zera. Zmienna objaśniająca x₃ nie ma istotnego wpływu na zmienną objaśnianą y.

Z uwagi na to, że dla b₄ α = 0,05 < 0,617 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Oznacza to, że parametr b₄ istotnie różni się od zera. Zmienna objaśniająca x4₂ nie ma istotnego wpływu na zmienną objaśnianą y.

1. wyznaczyć i zinterpretować przedziały ufności dla parametrów strukturalnych

[1] Przedziały ufności dla parametrów

2,5 % 97,5 %

(Intercept) -5718668,1167 3614630,2251

x1 308,6086 513,1237

x2 -2625,7809 3967,5849

x3 -7601,3049 1744,6054

x4 -34835,6118 56060,7687

Z prawdopodobieństwem 0,975 przedział [-5718668,1167 ; 3614630,225151] pokryje nieznaną wartość parametru b₀ z modelu y=b₀+b^­­₁x­₁+b₂x₂+b₃x₃*b₄x₄+&

Z prawdopodobieństwem 0,95 przedział 308,6086; 513,1237] pokryje nieznaną wartość parametru b₁ z modelu y=b₀+b^­­₁x­₁+b₂x₂+b₃x₃*b₄x₄+&

Z prawdopodobieństwem 0,95 przedział -2625,7809; 3967,5849] pokryje nieznaną wartość parametru b₂ z modelu y= y=b₀+b^­­₁x­₁+b₂x₂+b₃x₃*b₄x₄+&

Z prawdopodobieństwem 0,95 przedział [-7601,3049; 1744,6054] pokryje nieznaną wartość parametru b₃z modelu y y=b₀+b^­­₁x­₁+b₂x₂+b₃x₃*b₄x₄+&

Z prawdopodobieństwem 0,95 przedział -34835,6118; 56060,7687] pokryje nieznaną wartość parametru b₄ z modelu y=b₀+b^­­₁x­₁+b₂x₂+b₃x₃*b₄x₄+&

Węższe (szersze) przedziały ufności można uzyskać poprzez zmniejszenie (zwiększenie) poziomu ufności.

1. wykorzystując test Shapiro-Wilka sprawdzić czy składnik losowy ma rozkład normalny

[[1] Wyniki testu Shapiro-Wilka

Shapiro-Wilk normality test

data: reg$residuals

W = 0,9179, p-value = 0,1560

Z uwagi na to, że  = 0,05 <= p-value = 0,1560 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności rozkładu składnika losowego.

1. sprawdzić za pomocą VIF czy w modelu nie występuje problem przybliżonej współliniowości

[[1] VIF - czynnik inflacji wariancji

x1 x2 x3 x4

1,672941 4,813136 7,449432 2,060150

Wartości VIF > 1 informują ile razy wariancja estymatora parametru jest większa od wariancji prawdziwej (tzn. nie zakłóconej współliniowością statystyczną). Wartości VIF > 20 wskazują na problemy związane ze współliniowością. Problem związany ze współliniowością nie występuje w tym modelu.

1. wykorzystując test Goldfelda-Quandta sprawdzić czy nie występuje niejednorodność wariancji składników losowych

[1] Wyniki testu Goldfelda-Quandta

Goldfeld-Quandt test

data: reg

GQ = 0,0676, df1 = 3, df2 = 3, p-value = 0,9734

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że składnik losowy jest homoskedastyczny (alfa = 0,05 < równe p-value = 0,9734.

1. za pomocą testów Durbina-Watsona oraz Breuscha-Godfreya zbadać czy w modelu nie występuje autokorelacja pierwszego stopnia

[1] Wyniki testów Durbina-Watsona oraz Breuscha-Godfreya na autokorelację pierwszego stopnia

lag Autocorrelation D-W Statistic p-value

1 -0,007821122 1,996089 0,453

Alternative hypothesis: rho < 0

Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1

data: reg

LM test = 0,0017, df = 1, p-value = 0,9673

Oba testy potwierdzają brak w modelu autokorelacji reszt pierwszego stopnia, z uwagi na to, że Alfa = 0,05 < 0,9673.

1. sprawdzić czy w zbiorze danych występują obserwacje nietypowe (rys. z lewej strony)

Obserwacje nietypowe (outliers) charakteryzują się dużą resztą. Tego typu obserwacje wpływają na pogorszenie dopasowania modelu do danych. Dla szacowanego modelu y=b₀+b^­­₁x­₁+b₂x₂+b₃x₃*b₄x₄+& jest jedna reszta nietypowa (woj. mazowieckie ). W przypadku wystąpienia reszt nietypowych model należy oszacować i zweryfikować powtórnie z pominięciem obserwacji nietypowych.

1. sprawdzić, które obserwacje są wpływowe, a które nie są wpływowe (rys. z prawej strony)

Obserwacje wpływowe (influential observations) silnie oddziałują na oszacowane parametry strukturalne. Włączenie do zbioru danych tych obserwacji powoduje, że znacznie zmieniają się oszacowane parametry modelu. Dla szacowanego modelu

y=b₀+b^­­₁x­₁+b₂x₂+b₃x₃*b₄x₄+& obserwacje dotyczące woj. pomorskiego, są wpływowe. Należy więc oszacować i zweryfikować powtórnie model z pominięciem tego województwa.