POLITECHNIKA RZESZOWSKA

Im. Ignacego Łukasiewicza

WYDZIAŁ BUDOWY MASZYN I LOTNICTWA

KATEDRA AWIONIKI I STEROWANIA

PODSTAWY AUTOMATYKI

Laboratorium

Temat:

Charakterystyka statyczna

Wykonali:

Urszula Błahuszewska
Karol Bujnowski

Arkadiusz Bednarz

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z pojęciem charakterystyki statycznej jako elementu opisu matematycznego obiektów i układów automatycznej regulacji, z eksperymentalnymi sposobami wyznaczania charakterystyk statycznych siłownika pneumatycznego przy pomocy metody najmniejszych kwadratów.

1. Schemat stanowiska pomiarowego

1. Reduktor precyzyjny

2. Przełącznik zał./wył.

3. Manometr wskazujący

4. Siłownik pneumatyczny

5. Woltomierz

6. Potencjometr

7. Manometr rejestrujący

1. Podstawy teoretyczne

3.1 Charakterystyka statyczna -to zależność jaka zachodzi między sygnałem wejściowym a wyjściowym w stanach ustalonych. Za stan ustalony uważa się taki stan podczas którego nie ulegają zmianie sygnały wejściowe oraz wyjściowe jak również nie zmieniają się zakłócenia. Podstawowymi wielkościami charakteryzującymi działanie elementów automatyki w stanach ustalonych są:

- klasa dokładności,

- histereza,

- próg czułości.

3.2 Metoda najmniejszych kwadratów

Standardowa metoda przybliżania rozwiązań układów nadokreślonych, tzn. zestawu równań, w którym jest ich więcej niż zmiennych. Nazwa „najmniejsze kwadraty” oznacza, że końcowe rozwiązanie tą metodą minimalizuje sumę kwadratów błędów przy rozwiązywaniu każdego z równań.

W statystyce wykorzystuje się ją do estymacji i wyznaczania linii trendu na podstawie zbioru danych w postaci par liczb. Najczęściej jest stosowana przy regresji liniowej, ale może też być stosowana do statystycznego wyznaczania parametrów nieliniowych linii trendu.

Przyjmowane kryterium optymalnego przebiegu funkcji aproksymującej względem eksperymentalnych punktów ma postać:

y_k- wybrana przez nas postać funkcji aproksymującej

m-liczba punktów wykorzystanych w obliczeniach

Metoda najmniejszych kwadratów polega na tym, aby powyższą zależność rozpatrywać jako funkcję argumentów a₀, a₁ ,..., a_n, i odszukać jej minimum.

Najbardziej oczywistą postacią aproksymującej funkcji przy stosowaniu tej metody jest wielomian w postaci:

Przy czym a₀,a_1,........a_n – stałe współczynniki

Dla funkcji y=a₁x+a₀

Współczynniki obliczamy w następujący sposób

a następnie sprawdzamy prawidłowość dobrania współczynników.

a₁×$\sum_{k = 1}^{m}x$_k+a₀=$\sum_{k = 1}^{m}y$_k

1. Część praktyczna

4.1 Tabele wraz z pomiarami

Kierunek
Lp.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

4.2 Tabele z obliczeniami wraz z równaniami charakterystyki po aproksymacji liniowej

Kierunek rosnący : zależność wysokości od ciśnienia
Lp.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
∑
średnia

Kierunek rosnący: zależność napięcia od ciśnienia
Lp.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
∑
średnia
Kierunek malejący: zależność wysokości od ciśnienia
Lp.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
∑
średnia

Kierunek malejący: zależność napięcia od ciśnienia
Lp.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
∑
średnia

4.3 Równania aproksymującej prostej wraz z przykładowym obliczeniem

Dla kierunku rosnącego : zależność wysokości od ciśnienia a0=$\text{\ \ }\frac{0,6 \times 24,38 - 0,5 \times 43,70}{0,36 - 0,5} = 51,586$ a1=$\text{\ \ }\frac{0,6 \times 43,70 - 24,38}{0,36 - 0,5} = - 13,14$

Sprawdzenie prawidłowości dobrania współczynników za pomocą równania

a₁×$\sum_{k = 1}^{m}x$_k+a₀=$\sum_{k = 1}^{m}y$_k

-13,14×0,6+51,586=43,702≈43,7 współczynnik dobrane są prawidłowo

Równanie aproksymujące prostej:

• zależność wysokości od ciśnienia przy kierunku rosnącym y = −13, 14x + 51, 586

• zależność wysokości od ciśnienia przy kierunku malejącymy = −13, 614x + 51, 63

• zależność napięcia od ciśnienia przy kierunku rosnącym y = 3, 45x + 2, 36

• zależność napięcia od ciśnienia przy kierunku malejącym y = 3, 33x + 2, 54

1. Wykresy

   1. h(p) dla p rosnącego

   2. h(p) dla p malejącego

   3. U(p) dla p rosnącego

   4. U(p) dla p malejącego

2. Wnioski

W celu wyznaczenia aproksymacji funkcji zastosowałam metodę najmniejszych kwadratów. Punkty pomiarowe układają się praktycznie w linię prostą a zatem użyłam metody najmniejszych kwadratów dla funkcji liniowej.

Analizując wykres zależności wysokości tłoczka od ciśnienia widoczne jest, iż punkty pomiarowe są bardzo blisko prostej, a zatem wystąpił mały błąd aproksymacji.

W przypadku zależności napięcia od ciśnienia błąd jest już nieco większy(punkty są wyraźnie oddalone od prostej). Może to wynikać z dużej rozbieżności wartości napięcia a także z braku płynnego podejścia bez przeregulowań podczas zmiany ciśnienia. Podczas pomiaru napięcia na woltomierzu widoczne jest, iż przy ciśnieniu w zakresie 1,0÷1,2 [kp/cm² ] napięcie ustala się w zakresie 5,987mV dlatego przy tych punktach pomiarowych występuje większy błąd. Jednak w obu przypadkach prosta aproksymująca ma nieco inne równanie zarówno przy odczycie rosnącym jak i malejącym.

Szczególnie dużym błędem obarczona jest funkcja zależności napięcia od ciśnienia w zakresie malejącym, zapewne spowodowane to jest niedokładnością pomiaru.