Edukacja matematyczna. 24.03.2012.

7.Implikacja – to zdanie logiczne, złożone oznaczające, że ze zdania „p” wynika zdanie „q”, co zapisujemy:

p q, a czytamy: jeżeli „p” to „q”.

8.równoważność – koniunkcja zdań jeżeli p q i jeżeli q p nazywana jest równoważnością, co zapisujemy

p q i czytamy: „p” wtedy i tylko wtedy gdy „q”

TABELA IMPLIKACJI I RÓWNOWAŻNOŚĆI:

p	q	p q	q p	p q
1	1	1	1	1
0	0	1	1	1
1	0	0	1	0
0	1	1	0	0

Jeżeli jeż jest ssakiem P, to jeż fruwa F. (całość fałszywa).

Jeżeli samolot jest ptakiem F, to samolot fruwa P. (całość prawdziwa).

Jeżeli 2x5 =10 P to 3x3 + 10 F. ( całość fałszywa)

Jeżeli 2 jest dzielnikiem 5 F to 2 jest dzielnikiem 10 P. ( całość prawdziwa)

Równoważność:

Ziemia jest planetą P gdy słońce jest gwiazdą P. ( całość prawdziwa)

Koło jest kwadratowe F gdy kwadrat jest kołem F. ( całośc prawdziwa)

1.POJĘCIA ZBIORU – jest związane z umiejętnością klasyfikacji u dzieci, czyli grupowaniem przedmiotów ze względu na wspólne cechy (kolor, kształt, wielkość, itp.) oraz odkryciem przez nie, że możemy abstrahować od cech szczegółowych i odwoływać się do kryteriów ogólnych.

2.ZBORY RÓWNE I PODZBIORY – dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy gdy mają te same elementy, co zapisujemy A=B.

Zbiór B jest podzbiorem zbioru A , jeżeli każdy element zbioru B jest elementem zbioru A, co zapisujemy: B ∈ A

3.ZBIORY SKOŃCZONE I NIESKOŃCZONE:

ZBIÓR SKOŃCZONY – ma określoną ilość elementów, np. zbiór uczniów w klasie.

ZBIÓR NIESKOŃCZONY – to taki, w którym nie jesteśmy w stanie określić liczby elementów, np. zbiór prostych przestrzeni, zbiór liczb naturalnych.

ZBIÓR PUSTY – to taki, w którym nie ma żadnego elementu: Ø

4.ZBIORY RÓWNOLICZNE – to dwa zbiory o takiej samej ilości elementów (niekoniecznie musi być taki sam kształt), oznaczamy A ≡ B

5.DZIAŁANIA NA ZBIORACH:

- SUMA: A ∪ B =  {x:x ∈A ∨x∈ B} 

A B

Diagramy Venna

Suma zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub należą do zbioru B.

- ILOCZYN: A ∩ B =  {x:x∈   A  ∧x ∈B}

Dla każdego x, x należy do A

A B

Iloczynem zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B.

- RÓŻNICA: A − B = {x  ∈A ∧ x∉B} 

B ∖ ={x  ∈A ∧ x∉B} 

A B

Różnicą zbioru A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do A i nie należą do B.

- DOPEŁNIENIE ZBIORU A`

Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów, które nie należą do A

ILOCZYN KARTEZJAŃSKI:

Ciąg jest zbiorem niepustym, który powstaje z elementów zbioru A jeżeli każdy kolejny liczbie naturalnej przyporządkujemy po jednym elemencie zbioru A, oznaczamy (a₁, a₂, a₃, … ). Z ciągiem związane jest pojęcie pary uporządkowanej i nieuporządkowanej. Para uporządkowana to ciąg dwuwyrazowy, np.: (a, b), gdzie a to poprzednik, a b to następnik.

Zbiór dwuelementowy nazywamy parą nieuporządkowaną, możemy z niej jednak stworzyć parę uporządkowaną.

ILOCZYN KARTEZJAŃSKI oznaczamy symbolicznie: A x B.

Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (x, y) takich, że x należy do A, y należy do B.

A x B = x,  y : x  ∈ A  ∩ y  ∈ B

A =  {1,2,  3}

B =  {4,   5}

A x B =  {(1, 4)  (1, 5)(2, 4)(2,5)(3, 4)(3, 5)}

WŁASNOŚCI ILOCZYNU KARTEZJAŃSKIEGO – iloczyn kartezjański zbioru pustego:

⌀ x A =  ⌀,  A x ⌀= ⌀

ILOCZYN KARTEZJAŃSKI NIE JEST PRZEMIENNY:

A x B  ≠ B x A

Jeżeli zbiór A ma „n” elementów to zbiór A, iloczyn kartezjański z B będzie miał n * m

ZADANIE: U twórz iloczyn kartezjański:

A =  {1, 2}  B =  {3,   4}
B =  {3,   4} A =  {1,  2}

A x B =  {(1, 3)  (1, 4)(2, 3)(2,4)}

B x A =  {(3, 1)  (3, 2)(4, 1)(4, 2)}

PARY PRZYPORZĄDKOWANE MOŻNA PRZEDSTAWIĆ W FORMIE ZBIORÓW: