Zadanie 1. Dany jest trójkąt o bokach długości a, b, c. Wyraź przy pomocy długości boków długość środkowej poprowadzonej do boku długości a.
Zadanie 2. Na średnicy AB danego koła obrano takie punkty C, D, że punkt C leży między punktami A i D i |AC|=|BD|=$\frac{1}{3}$|AB|. Na okręgu tego koła obrano punkt P odległy od punktu C o 12, zaś od punktu D o 8. Oblicz pole tego koła.
Zadanie 3. Udowodnij wzór na pole trójkąta: P = 2 R2sinαsinβsinγ, gdzie α, β, γ to kąty wewnętrzne tego trójkąta, a R to promień okręgu opisanego.
Zadanie 4. Udowodnij wzór na pole dowolnego czworokąta wypukłego: $P = \frac{\text{pq}}{2}\sin\alpha$, gdzie p, q to długości przekątnych tego czworokąta, zaś α to kąt między tymi przekątnymi. Czy wzór jest prawdziwy dla czworokątów wklęsłych?
Zadanie 5. Udowodnij, że obwód dowolnego czworokąta wypukłego jest (a) większy od sumy długości przekątnych, (b) większy od podwojonej długości każdej z przekątnych, (c) mniejszy od podwojonej sumy długości przekątnych.
Zadanie 6. W trójkąt równoboczny o boku a wpisujemy prostokąty (dwa wierzchołki prostokąta znajdują się na jednym boku trójkąta, na pozostałych bokach trójkąta znajduje się po jednym wierzchołku prostokąta). Wyznacz pole prostokąta o największym polu.
Zadanie 7. Oblicz sumę kwadratów sinusów w dowolnym trójkącie prostokątnym.
Zadanie 8. Wysokości równoległoboku mają długości 3 i 6, a jego obwód 36. Oblicz miary kątów tego równoległoboku.
Zadanie 9. Na okręgu opisano trapez o polu P. Ramiona trapezu tworzą z dłuższą podstawą kąty α i 3α. Wyznacz promień tego okręgu.
Zadanie 10. Trójkąt równoramienny ABC przecięto prostą przechodzącą przez wierzchołek A i ramię BC. Kąt nachylenia ramienia do podstawy, której długość wynosi a, ma miarę α, a kąt nachylenia prostej do podstawy ma miarę β. Wyznacz stosunek pól trójkątów na jakie podzieliła prosta trójkąt ABC.
Zadanie 11. Dany jest trójkąt ABC. Przy wierzchołku C znajduje się kąt o największej mierze, który został podzielony przez wysokość h wypuszczoną z tego wierzchołka na kąty α (kąt zawarty miedzy wysokością h a bokiem długości a) i β (kąt zawarty między wysokością h a bokiem długości b). Wyraź h przy pomocy a, b, α, β. Rozpatrując pola odpowiednich trójkątów udowodnij wzór sin(α + β) = sinα • cosβ + cosα • sinβ.
Zadanie 12. Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E. Wiadomo, że trójkąty ABE i CDE mają równe pola, długość boku AB jest równa 4, a przekątna AC jest zawarta w dwusiecznej kąta A. Oblicz długość boku BC. (odwrotne twierdzenie Talesa)
Zadanie 13. W trójkąt ABC wpisano prostokąt DEFG tak, że bok DE prostokąta zawiera się w boku AB trójkąta. Pole trójkąta ABC jest równe 384, a jego wysokość CC’ ma długość trzy razy mniejszą niż długość boku AB. (a) Oblicz długości: CC’, AB. (b) Oblicz długości boków prostokąta wiedząc, że |EF|: |DE|=5:9. (c) Kosinus kąta ostrego między przekątnymi prostokąta.
Zadanie 14. Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola rombu wynosi $\frac{\pi\sqrt{3}}{8}$. Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.
Zadanie 15. Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu $R = 5\sqrt{2}$, wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma długość 10, zaś iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się 3/8.
Zadanie 16. Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB i krótszej CD. Punkt styczności S dzieli ramię BC tak, że $\frac{|CS|}{|SB|} = \frac{2}{5}$. Wyznacz długość ramienia tego trapezu. Oblicz sinus ∢CBD.
Zadanie 17. Wykaż, że jeśli w trójkącie o bokach a, b, c zachodzi równość $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} = \frac{3}{a + b + c}$, to jeden z kątów tego trójkąta ma miarę 60o.
Zadanie 18. Przekątne czworokąta wypukłego przecinają się pod kątem 30o, a suma ich długości jest równa m. Jakie powinny być długości tych przekątnych, aby pole czworokąta było największe?
Zadanie 19. Udowodnij wzory połówkowe: $\text{tg\ }\frac{\alpha}{2} = \frac{r}{p - a}$, $\text{tg\ }\frac{\beta}{2} = \frac{r}{p - b}$, $\text{tg\ }\frac{\gamma}{2} = \frac{r}{p - c}$, przy oznaczeniach standardowych w trójkącie (r – promień okręgu wpisanego, p – połowa obwodu trójkąta).
Zadanie 20. Kołem dopisanym do danego trójkąta nazywamy koło styczne do jednego boku i do przedłużeń dwóch pozostałych boków tego trójkąta. Środek O koła dopisanego do boku BC=a leży w punkcie przecięcia dwusiecznych (dlaczego?) kąta wewnętrznego przy A i kątów zewnętrznych przy B i przy C. Dla dowolnego trójkąta istnieją trzy koła dopisane. Promienie r1, r2, r3 kół dopisanych stycznych do boków a, b, c trójkąta są odpowiednio równe $r_{1} = \frac{S}{p - a}$, $r_{2} = \frac{S}{p - b}$, $r_{3} = \frac{S}{p - c}$. Udowodnij ostatnie równości.
Zadanie 21. Stosunek długości podstaw trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równy 1:5, a ramię trapezu ma długość 6. Oblicz pole trapezu oraz pola każdego z trójkątów, na jakie przekątne podzieliły trapez.