LABOLATORIUM FIZYKI I	Ćwiczenie nr: 32
	Data:11.05.2016
WIP	ID-A0-41
Nazwisko i imię: Dobrzyński Piotr
Wyznaczanie modułu piezoelektrycznego metodą statyczną.
Prowadzący: Jerzy Jasiński

1.Wstęp:

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem piezoelektrycznym prostym oraz odwrotnym a także poznanie własności piezoelektryków. Zjawisko piezoelektryczne proste polega na powstawaniu ładunku elektrycznego na przeciwnych ścianach materiału pod wpływem naprężenia. Ładunek elektryczny jest proporcjonalny do przyłożonego obciążenia.

Zjawisko piezoelektryczne odwrotne polega na odkształceniu materiału pod wpływem napięcia przyłożonego do jego przeciwnych ścian. Odkształcenie jest proporcjonalne do przyłożonego napięcia.

2.Układ pomiarowy:

Ćwiczenie składa się z trzech części z których każda wymaga użycia innego układu pomiarowego.

2.1.Wyznaczenie stałej balistycznej galwanometru:

W celu wyznaczenia stałej balistycznej badaliśmy wychylenia galwanometru podczas rozładowywania kondensatora o znanej pojemności naładowanego uprzednio różnymi napięciami.

W doświadczeniu użyliśmy kondensatora o pojemności 5000 pF. Jako zasilacz użyliśmy zasilacz DF1730SB3A.

Jako woltomierza użyliśmy woltomierza analogowego LM-3:

• zakres 10 V ; 30 V

• klasa 2

• liczba podziałek 50 ; 60

2.2. Pomiar modułu piezoelektrycznego d w zjawisku piezoelektrycznym prostym

W celu pomiaru modułu d obciążaliśmy piezoelektryk różnymi obciążeniami badając wielkość powstałego ładunku przy pomocy galwanometru.

Do obciążenia piezoelektryka użyliśmy 6 krążków o masie m = (500 ± 1) g każdy.

Długość ramienia wynosi 110 cm ( l₁) a odległość obciążnika wstępnego od podpory 10 cm (l₂).

2.3.Pomiar modułu piezoelektrycznego d w zjawisku piezoelektrycznym odwrotnym

W celu pomiaru modułu d użyliśmy interferometru Michelsona w którym zwierciadło ruchome zostało połączone z bimorfem. Zmiany napięcia zasilania piezoelektryka powodują wychylenie bimorfu ze zwierciadłem oraz przesunięcie prążków interferencyjnych na ekranie.

Użyty laser emitował światło o długości fali równej 660 nm.Jako zasilacz piezoelektryka użyliśmy zasilacz DF1730SB3A. Działa on na zakresie 30 V i dokładnością pomiaru napięcia: C₁ = 1% ; C₂ = 0,2 %

3. Wykonanie ćwiczenia:

3.1. Wyznaczenie stałej balistycznej galwanometru:

• Połączenie układu zgonie ze schematem pomiarowym

• Ustawienie zakresu pomiarowego mierników

• Wyzerowanie galwanometru

• Po potwierdzeniu przez prowadzącego poprawności połączeń załączenie zasilania układu.

• Ustawienie na zasilaczu napięcia na 1 V

• Po naładowaniu kondensatora przełączamy go w układ rozładowywania i odczytujemy maksymalne wychylenie wskaźnika galwanometru

• Kolejne pomiary wykonujemy zwiększając napięcie zasilania co 1 V aż do wyczerpania zakresu pomiarowego galwanometru.

Badanie powtarzamy podłączając odwrotnie zaciski galwanometru w celu zbadania wychylenia wskaźnika w obu kierunkach (badanie dla ujemnych napięć zasilających).

3.2. Pomiar modułu piezoelektrycznego d w zjawisku piezoelektrycznym prostym:

• Połączenie układu zgonie ze schematem pomiarowym

• Wyzerowanie galwanometru

• Po potwierdzeniu przez prowadzącego poprawności połączeń, przystąpienie do pomiarów

• Ustawienie na obciążniku głównym 1 krążka o masie 500 g

• Poprzez opuszczenie rączki zwalniamy ustawione obciążenie które oddziałuje na piezoelektryk. Z galwanometru odczytujemy maksymalne wychylenie wskaźnika.

• Podnosząc rączkę dokonujemy kolejnego pomiaru podczas zdejmowania obciążenia z piezoelektryka. Z galwanometru odczytujemy maksymalne wychylenie wskaźnika.

Badanie należy powtórzyć zwiększając wartość obciążenia którym oddziałujemy na piezoelektryk aż do użycia wszystkich krążków.

3.3.Pomiar modułu piezoelektrycznego d w zjawisku piezoelektrycznym odwrotnym:

• Połączenie układu zgonie ze schematem pomiarowym

• Po potwierdzeniu przez prowadzącego poprawności połączeń załączenie zasilania układu.

• Ustawienie ekranu w taki sposób żeby prążek interferencyjny pokrywał się z kreską na ekranie.

• Zwiększenie wartości napięcia zasilania do czasu gdy kolejny prążek interferencyjny pokryje się z kreską na ekranie.

• Zanotowanie wartości napięcia oraz numeru prążka.

• Pomiary należy powtarzać aż do momentu w którym dało się względnie dokładnie odczytać zmianę o jeden prążek.

Badanie należy powtórzyć dla ujemnych wartości napięcia zasilania ( odwrotne podłączenie zasilacza).

4.Wyniki i ich opracowanie:

4.1.Pomiar stałej balistycznej galwanometru:

W trakcie pomiarów otrzymaliśmy wartości wychyleń galwanometru dla różnych napięć. Do wyznaczenia stałej balistycznej potrzebujemy wartości ładunku przepływającego przez galwanometr dla danego napięcia. Obliczamy go ze wzoru na pojemność kondensatora:

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }C = \frac{q}{U}q = C \cdot U$$

Pojemność kondensatora wynosi 5000 pF. Przyjmuję ze wartość ta nie jest obarczone niepewnością.

Dla pomiarów w na zakresie do 10 V i podziałce 50 działek:

$$\text{ΔU} = \frac{\text{Klasa} \cdot \text{Zakres}}{100} = \frac{2 \cdot 10V}{100} = 0,2V$$

$$\text{ΔU}_{e} = \frac{\text{Zakres}}{2 \cdot \text{Liczbadzia}l\text{ek}} = \frac{10V}{2 \cdot 50} = 0,1V$$

$$u(U) = \sqrt{\frac{\text{ΔU}^{2}}{3} + \frac{\text{ΔU}_{e}^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{{0,2}^{2}}{3} + \frac{{0,1}^{2}}{3}} \approx 0,1291V$$

Niepewność pomiaru ładunku liczę ze wzoru:

$$u(q) = \sqrt{{(\frac{\partial q}{\partial U})}^{2} \cdot u^{2}(U)} = C \cdot u(U)$$

Dla zakresu 10 V

u(q)=5 ⋅ 10⁻⁹ ⋅ 0, 1291 ≈ 6, 46 ⋅ 10⁻¹⁰C

Wyniki pomiarów:

Niepewność pomiaru galwanometru:

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }u(G) = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum(G_{i} - G)}$$

UZAS [V]	q [C]	Wychylenie G	u (q)	u (G)
-15,5	-7,75E-08	-6,86	6,46E-10	0,47592
-14	-7,00E-08	-6,24	6,46E-10	0,47592
-12	-6,00E-08	-5,28	6,46E-10	0,47592
-10	-5,00E-08	-4,36	6,46E-10	0,47592
-8	-4,00E-08	-3,36	6,46E-10	0,47592
-6	-3,00E-08	-2,38	6,46E-10	0,47592
-4	-2,00E-08	-1,74	6,46E-10	0,47592
-2	-1,00E-08	-0,76	6,46E-10	0,47592
0	0,00E+00	0	6,46E-10	0,47592
2	1,00E-08	0,74	6,46E-10	0,47592
4	2,00E-08	1,78	6,46E-10	0,47592
6	3,00E-08	2,54	6,46E-10	0,47592
8	4,00E-08	3,38	6,46E-10	0,47592
10	5,00E-08	4,36	6,46E-10	0,47592
12	6,00E-08	5,24	6,46E-10	0,47592
14	7,00E-08	6,3	6,46E-10	0,47592
15,5	7,75E-08	6,82	6,46E-10	0,47592

Wartość stałej balistycznej obliczona przez program Origin:

b = 1, 1399 ⋅ 10⁻⁸C/dz

Niepewność typu A:

u_A(b)=7, 19352 ⋅ 10⁻¹¹C/dz

Obliczenie niepewności typu B:

Stałą balistyczna jest współczynnikiem kierunkowym zależności q = f( G ), tak więc można ją wyrazić wzorem:

$$b = \frac{q}{G}$$

Niepewność typu B obliczam ze wzoru:

$$u_{B}(b) = \sqrt{{(\frac{\partial b}{\partial q})}^{2} \cdot u^{2}(q) + {(\frac{\partial b}{\partial G})}^{2} \cdot u^{2}(G)} = \sqrt{{(\frac{1}{G})}^{2} \cdot u^{2}(q) + {(\frac{q}{G^{2}})}^{2} \cdot u^{2}(G)}$$

Niepewność obliczona dla ostatniego pomiaru:

$$u_{B}\left( b \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{6,82} \right)^{2} \cdot \left( 6,46 \cdot 10^{- 10} \right)^{2} + \left( \frac{7,8 \cdot 10^{- 11}}{{6,82}^{2}} \right)^{2} \cdot {0,47598}^{2}}$$

u_B(b) = 9, 4725 ⋅ 10⁻¹¹C/dz

Obliczam niepewność całkowitą:

$$u\left( b \right) = \sqrt{u_{A}^{2}\left( b \right) + u_{B}^{2}\left( b \right)}$$

$$u\left( b \right) = \sqrt{\left( 7,19353 \cdot 10^{- 11} \right)^{2} + {(9,4725 \cdot 10^{- 11})}^{2}}$$

u(b) = 1, 19 ⋅ 10⁻¹⁰C/dz

Obliczam niepewność rozszerzoną:

U(b) = 2 ⋅ u(b) = 2, 4C/dz

Końcowy wynik pomiaru stałej balistycznej galwanometru:

 b=(113,9±2,7)⋅10⁻¹⁰C/dz

4.2.Pomiar modułu piezoelektrycznego w zjawisku piezoelektrycznym prostym:

Wartość modułu piezoelektrycznego d₃₃ możemy obliczyć powołując się na zależność:

Δq = d₃₃ ⋅ ΔF

Wartość ładunku otrzymujemy dzięki wskazaniu galwanometru oraz stałej balistycznej obliczonej w poprzednim ćwiczeniu:

q = b ⋅ G

Wartość siły otrzymujemy z równania równowagi statycznej ramienia przyrządu pomiarowego:

$$\sum M = 0 \Rightarrow F \cdot l_{2} + F_{\text{obc}} \cdot l_{1} = 0 \Rightarrow F = \frac{F_{\text{obc}} \cdot l_{1}}{l_{2}} \Rightarrow F = \frac{m \cdot g \cdot l_{1}}{l_{2}}$$

F_obc jest równa iloczynowi przyspieszenia ziemskiego i obciążenia zawieszonego na ramieniu.

Wyniki pomiarów i wyliczone wartości siły i ładunku wytworzonego przez piezoelektryk:

Dla lewego odchylenia

Fobc	Obciążenie [kg]	F [N]	Wychylenie G	q [nC]
4,9	0,5	53,90	0,68	7,75E-09
9,8	1	107,80	1,48	1,69E-08
14,7	1,5	161,70	2,34	2,67E-08
19,6	2	215,60	2,88	3,28E-08
24,5	2,5	269,50	3,74	4,26E-08
29,4	3	323,40	4,46	5,08E-08

Dla prawego odchylenia

Fobc	Obciążenie [kg]	F [N]	Wychylenie G	q [nC]
4,9	0,5	53,90	0,86	9,80E-09
9,8	1	107,80	1,64	1,87E-08
14,7	1,5	161,70	2,52	2,87E-08
19,6	2	215,60	2,86	3,26E-08
24,5	2,5	269,50	3,88	4,42E-08
29,4	3		4,64	5,29E-08

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy wartości modułu piezoelektrycznego

d₃₃ = ⋅10⁻¹⁰C/N

z wykresu można jednocześnie określić niepewność typu A, która wynosi

u_A(b) = •10⁻¹¹ C/dz

Moduł piezoelektryczny jest współczynnikiem kierunkowym zależności ładunku od funkcji siły, a więc;

$${\ d}_{33} = \frac{q}{F}$$

Niepewność B

$$u_{B}(d_{33}) = \sqrt{{(\frac{\partial d_{33}}{\partial q})}^{2} \cdot u^{2}(q) + {(\frac{\partial d_{33}}{\partial F})}^{2} \cdot u^{2}(F)} = \sqrt{{(\frac{1}{F})}^{2} \cdot u^{2}(q) + {(\frac{q}{F^{2}})}^{2} \cdot u^{2}(F)}$$

Niepewność pomiaru typu B ładunku elektrycznego wyraża się wzorem

$$u_{B}(q) = \sqrt{{(\frac{\partial q}{\partial b})}^{2} \cdot u^{2}(b) + {(\frac{\partial q}{\partial G})}^{2} \cdot u^{2}(G)} = \sqrt{G^{2} \cdot u^{2}(b) + b^{2} \cdot u^{2}(G)}$$

A więc

Dla odchylenia w lewo

G	q [nC]	u(q)
0,68	7,75E-09	5,4263E-09
1,48	1,69E-08	5,42855E-09
2,34	2,67E-08	5,43283E-09
2,88	3,28E-08	5,4365E-09
3,74	4,26E-08	5,4439E-09
4,46	5,08E-08	5,45157E-09

Dla odchylenia w prawo

G	q [nC]	u(q)
0,86	9,80E-09	5,42666E-09
1,64	1,87E-08	5,4292E-09
2,52	2,87E-08	5,43397E-09
2,86	3,26E-08	5,43635E-09
3,88	4,42E-08	5,44529E-09
4,64	5,29E-08	5,4537E-09

Przyjmując, że przyśpieszenie ziemskie nie jest obarczone niepewnością, to na wartość siły wpływa stosunek długości ramion (l₁/l₂=11), gdzie niepewność stosunku długości ramion mogę pominąć ponieważ przy dużych różnicach wartości niepewność nie wpłynęłaby znacząco na wynik pomiaru.

Niepewność pomiaru typu B dla siły wyznacza się ze wzoru

$$u_{B}(F) = \sqrt{{(\frac{\partial F}{\partial m})}^{2} \cdot u^{2}(m)} = \frac{g \cdot l_{1}}{l_{2}} \cdot u(m)$$

A więc wartość niepewności pomiaru siły dla pomiarów wygląda następująco

u (m) [kg]	Obciążenie [kg]	l1/l2	g [m/s^2]	u (F) [N]
0,001	0,5	11	9,8	0,1078
0,002	1	11	9,8	0,2156
0,003	1,5	11	9,8	0,3234
0,004	2	11	9,8	0,4312
0,005	2,5	11	9,8	0,539
0,006	3	11	9,8	0,6468

Niepewność pomiaru typu B dla modułu piezoelektrycznego dla pierwszego pomiaru

$$u_{B}\left( d_{33} \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{53,90} \right)^{2} \cdot \left( 5,43 \cdot 10^{- 9} \right)^{2} + \left( \frac{7,75 \cdot 10^{- 9}}{{53,90}^{2}} \right)^{2} \cdot {0,1078}^{2}}$$

u_B(d₃₃) = 1, 0074 ⋅ 10⁻¹⁰ C/N

Mając już niepewność typu B i A wyznaczam niepewność całkowitą

$$u\left( d_{33} \right) = \sqrt{u_{A}^{2}\left( d_{33} \right) + u_{B}^{2}\left( d_{33} \right)} = \sqrt{\left( 1,732 \cdot 10^{- 12} \right)^{2} + ({1,0074 \cdot 10^{- 10\ })}^{2}}$$

u(d₃₃) = 1, 0075 • 10⁻¹⁰

U(d₃₃) = 2, 015 • 10⁻¹⁰

A więc końcowy wynik to

$$\text{\ d}_{33} = \left( 160,3 \pm 2,0 \right) \cdot 10^{- 10}\lbrack\frac{C}{N} = \frac{A \cdot s^{3}}{\text{kg} \cdot m}\rbrack$$

4.3.Pomiar modułu piezoelektrycznego d w zjawisku piezoelektrycznym odwrotnym:

Wychylenie bimorfu użytego w ćwiczeniu przedstawia zależność:

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\text{Δz} = \frac{{3d}_{13}\text{UL}^{2}}{{2h}^{2}}$$

Jest to zależność liniowa w której współczynnikiem kierunkowym jest szukany przez nas moduł piezoelektryczny. Przy przesunięciu obrazu na ekranie o jeden prążek dochodzi do wydłużenia bimorfu o połowę długości fali światła.

Wartości napięć otrzymane w wyniku pomiarów oraz odpowiadające im wydłużenie bimorfu przedstawiłem w tabeli:

Nr. prążka	Wydłużenie+ [nm]	Napięcie U+
1	0	0
2	330	2,6
3	660	5,8
4	990	8
5	1320	10,9
6	1650	13,4
7	1980	15,7
8	2310	18,6
9	2640	21
10	2970	23,4
11	3300	26

Zależność na wychylenie bimorfu wyznaczona za pomocą programu Origin. Moduł piezoelektryczny jest współczynnikiem otrzymanej zależności. Jego wartość i niepewność typu A zostały obliczone przez program:

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy wartości modułu piezoelektrycznego d₁₃

d₁₃ = 1, 27374 ⋅ 10⁻⁷m/V

Niepewność pomiaru typu A obliczona przez program Origin:

u_A(d₁₃)=1, 09 ⋅ 10⁻⁹m/V

Przekształcając zależność na wychylenie bimorfu otrzymujemy wzór:

$${\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }d}_{13} = \frac{2h^{2} \cdot \text{Δz}}{3U \cdot L^{2}}$$

Wynika z niego, że niepewność typu B pomiaru modułu zależy od niepewności wymiarów bimorfu, pomiaru napięcia oraz wydłużenia. Wartość wydłużenia zależy od długości fali lasera. Zakładam, że nie jest ona obarczona niepewnością. Niepewności wymiarów bimorfu:

L = 5, 80(10)mm h = 0, 460(10)mm

Niepewność pomiaru napięcia:

ΔU = C₁ ⋅ U + C₂ ⋅ Zakres

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }u(U) = \sqrt{\frac{\text{ΔU}^{2}}{3}}$$

Wartości uzyskanych niepewności napięć

U [V]	u (U) [V]
0	0,003464102
2,2	0,016165808
5,1	0,032908965
8	0,049652123
10,7	0,06524058
13,7	0,082561088
16	0,095840145
18,7	0,111428602
21	0,124707658

Niepewność typu B pomiaru modułu piezoelektrycznego obliczam ze wzoru:

$$u_{B}(d_{13}) = \sqrt{{(\frac{\partial d_{13}}{\partial h})}^{2} \cdot u^{2}(h) + {(\frac{\partial d_{13}}{\partial U})}^{2} \cdot u^{2}(U) + {(\frac{\partial d_{13}}{\partial L})}^{2} \cdot u^{2}(L)}$$

$$u_{B}(d_{13}) = \sqrt{{(\frac{4h \cdot \text{Δz}}{3U \cdot L^{2}})}^{2} \cdot u^{2}(h) + {(\frac{2h^{2} \cdot \text{Δz}}{3U^{2} \cdot L^{2}})}^{2} \cdot u^{2}(U) + {(\frac{4h^{2} \cdot \text{Δz}}{3U \cdot L^{3}})}^{2} \cdot u^{2}(L)}$$

$$u_{B}\left( d_{13} \right) = \sqrt{\left( \frac{4 \cdot 0,46 \cdot 0,000638}{3 \cdot 21 \cdot {5,8}^{2}} \right)^{2} \cdot {0,01}^{2} + \left( \frac{2 \cdot {0,46}^{2} \cdot 0,000638}{3 \cdot 21^{2} \cdot {5,8}^{2}} \right)^{2} \cdot {0,12471}^{2} + \left( \frac{4 \cdot {0,46}^{2} \cdot 0,000638}{3 \cdot 21 \cdot {5,8}^{3}} \right)^{2} \cdot {0,1}^{2}}\ $$

 ≈ 2, 60808 * 10⁻⁸m/V

Niepewność całkowita:

$$u\left( d_{13} \right) = \sqrt{u_{A}^{2}\left( d_{13} \right) + u_{B}^{2}\left( d_{13} \right)} = \sqrt{\left( 1,09 \cdot 10^{- 9} \right)^{2} + \left( 2,6 \cdot 10^{- 8} \right)^{2}} = 2,60228 \cdot 10^{- 8}*\frac{m}{V}$$

≈2, 6 ⋅ 10⁻⁸m/V

Niepewność rozszerzona:

U(d₁₃)=2 ⋅ u(d₁₃)=5, 2 ⋅ 10⁻⁸m/V

$$\frac{m}{V} = \frac{A \cdot s^{3}}{\text{kg} \cdot m}$$

Końcowa wartość modułu d₁₃:

$$\mathbf{d}_{\mathbf{13}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{12}\mathbf{,}\mathbf{74}\mathbf{\pm}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{\cdot}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{7}}\frac{\mathbf{A}\mathbf{\cdot}\mathbf{s}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\cdot}\mathbf{m}}$$

5.Wnioski:

• Galwanometr jest bardzo czułym urządzeniem. Wskazanie zakłócają nawet najmniejsze drgania urządzenia przez co jest bardzo trudno odczytać wskazaną wartość.

• Najważniejszym parametrem galwanometru jest stała balistyczna

• Piezoelektryki znalazły swoje zastosowanie głównie w czujnikach pomiarowych, takich jak np. akcelerometr, jednak możliwy jest nimi pomiar wyłącznie wielkości, których wartości są zmienne w czasie. Takie wielkości nazywamy wielkościami dynamicznymi.Bardziej powszechne użycie piezoelektryki znalazły w zapalniczkach.

• Przeprowadzone przez nas badania potwierdziły istnienie zjawisk piezoelektrycznych prostego i odwrotnego.