WIELOMIANY Z PARAMETREM – rozwiązanie zadań

Zadanie 1

W(x) = x³ − 6x² + ax + b

W(1) = 0

W(2) = 0

$$\left\{ \begin{matrix} 1^{3} - 6*1^{2} + a*1 + b = 0 \\ 2^{3} - 6*2^{2} + a*2 + b = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} 1 - 6 + a + b = 0 \\ 8 - 24 + 2a + b = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} a + b = 5 \\ 2a + b = 16 \\ \end{matrix} \right.\ $$

−a = −11

a = 11

b = −6

$$\left\{ \begin{matrix} a = 11 \\ b = - 6 \\ \end{matrix} \right.\ $$

W(x) = x³ − 6x² + 11x − 6

x³ − 6x² + 11x − 6     :    (x−1)(x − 2)

(x−1)(x−2) = x² − 2x − x + 2 = x² − 3x + 2

$$\frac{x - 3}{\begin{matrix} x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\ \ \ :\ \ \ x^{2} - 3x + 2 \\ \frac{- x^{3} + {3x}^{2} - 2x}{\begin{matrix} = \ - 3x^{2} + 9x - 6 \\ \frac{3x^{2} - 9x + 6}{= = =} \\ \end{matrix}} \\ \end{matrix}}$$

x = 3

Zadanie 2

x³ + 4x² + ax + b = (x − 2)²(cx + d)

x³ + 4x² + ax + b = (x²−4x+4)(cx+d)

x³ + 4x² + ax + b = cx³ + dx² − 4cx² − 4dx + 4cx + 4d

x³ + 4x² + ax + b = cx³ + x²(d−4c) + x(−4d+4c) + 4d

c = 1

4 = d − 4c

4 = d − 4

d = 8

a = −4d + 4c

a = −32 + 4

a = −28

b = 4d

b = 32

$$\text{Odp.\ }\left\{ \begin{matrix} a = - 28 \\ b = 32 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Zadanie 3

$$\frac{W\left( x \right)}{Q\left( x \right)} = P\left( x \right) + \frac{R\left( x \right)}{Q\left( x \right)}\ \ \ \ \ |*Q(x)$$

P(x) → czesc podzielna

$$\frac{R\left( x \right)}{Q\left( x \right)} \rightarrow czesc\ niepodzielna$$

W(x) = P(x) * Q(x) + R(x)

x₁ − jest pierwiastkiem

x₂ − jest pierwiastkiem

W(x₁) = P(x₁) * Q(x₁) + R(x₁)

P(x₁) = 0

W(x₁) = 0 * Q(x₁) + R(x₁)

W(x₁) = R(x₁)

Jezeli dane sa dwa warunki to reszta jest postaci:

R(x) = ax + b

Jezeli dane sa trzy warunki to reszta jest postaci:

R(x) = ax² + bx + c

R(1) = 2

R(2) = 0

R(x) = ax + b

$$\left\{ \begin{matrix} a*1 + b = 2 \\ a*2 + b = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} a + b = 2 \\ 2a + b = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

−a = 2

a = −2

−2 + b = 2

b = 4

$$\left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 4 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Zadanie 4

R(x) = ax + b

$$\left\{ \begin{matrix} R\left( - 3 \right) = 3 \\ R\left( 2 \right) = 2 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} - 3a + b = 3 \\ 2a + b = 2 \\ \end{matrix} \right.\ $$

−5a = 1

$$a = - \frac{1}{5}$$

$$- \frac{2}{5} + b = 2$$

$$b = 2\frac{2}{5}$$

$$\left\{ \begin{matrix} a = - \frac{1}{5} \\ b = 2\frac{2}{5} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$Odpowiedz:\ \ \ R\left( x \right) = - \frac{1}{5}x + 2\frac{2}{5}$$

Zadanie 5

x² = t

t > 0

t² + (m−2)t + 4 = 0

1   a ≠ 0

1 ≠ 0

m ∈ R

2    > 0

>0  ⇔ b² − 4ac > 0

(m−2)² − 4 * 4 > 0

m² − 2m + 4 − 16 > 0

m² − 2m − 12 > 0

=16 + 48 = 64

$$\sqrt{} = \sqrt{64} = 8$$

$$m_{1} = \ \frac{4 - 8}{2} = - 2$$

$$m_{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6$$

m ∈ (−∞, −2) ∪ (6, +∞)

3   t₁ * t₂ > 0

$$t_{1}*t_{2} > 0\ \Leftrightarrow \frac{c}{a} > 0$$

4 > 0

m ∈ R

4   t₁ + t₂ > 0

$$t_{1} + t_{2} > 0\ \Leftrightarrow \ - \frac{b}{a} > 0$$

$$\frac{- m + 2}{1} > 0$$

−m + 2 > 0

−m > −2

m < 2

m ∈ ( − ∞, 2) 

zestawienie zalozen

Odpowiedz :    m ∈ (−∞,−2)

Zadanie 6

( − 2x⁴ + 6x² − 4)¹⁹ = (−2 + 6 − 4)¹⁹ = 0¹⁹ = 0

Zadanie 7

W(x) = x³ + 4^ax² − 11x − 12

W(−1) = 0

W(x) = x³ + 4^ax² − 11x − 12

−1 + 4^a + 11 − 12 = 0

4^a = 2

2^2a = 2

2a = 1

$$a = \frac{1}{2}$$

$$x^{3} + 4^{\frac{1}{2}}x^{2} - 11x - 12 = 0$$

x³ + 2x² − 11x − 12 = 0

	1	2	−11	−12
−1	1	1	−12	0

(x+1)(x²+x−12) = 0

x = −1

x² + x − 12 = 0

=1 + 4 * 12 = 49

$$\sqrt{} = \sqrt{49} = 7$$

$$x_{1} = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4$$

$$x_{2} = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$$

Zadanie 8

m²x² + (m²+6m)x² + (m+6)x = 0

x[m²x²+(m²+6m)x+(m+6)] = 0

I pierwiastek → x = 0

m²x² + (m²+6m)x + (m+6) = 0

1   m² ≠ 0

m ≠ 0

m ∈ R − {0}

2    > 0

a = m²

b = m² + 6m

c = m + 6

>0  ⇔  b² − 4ac > 0

(m²+6m)² − 4m²(m+6) > 0

m⁴ + 12m³ + 36m² − 4m³ − 24 > 0

m²(m+6)² − 4(m+6) > 0

m²(m+6)(m+6−4) > 0

m = 0

m = −6

m = −2

m ∈ (−∞,−6) ∪ (−2,0) ∪ (0, +∞)

Odpowiedz :    m ∈ (−∞,−6) ∪ (−2,0) ∪ (0, +∞)

Zadanie 9

x⁴ + ax³ + bx² + cx − 1 = 0

x⁴ + ax³ + bx² + cx − 1 = (x+1)³(dx + e)

x⁴ + ax³ + bx² + cx − 1 = (x³+3x²+3x+1)(dx+e)

x⁴ + ax³ + bx² + cx − 1 = dx⁴ + 3x² + 3x² + dx + ex³ + 3ex² + 3ex + e

x⁴ + ax³ + bx² + cx − 1 = dx⁴ + x³(3+e) + x²(3+3e) + x(d+3e) + e

x⁴ = dx⁴

d = 1

ax³ = x³(3+e)

a = 3 + e

e = −1

a = 2

bx² = x²(3+3e)

b = 3 + 3e

b = 3 + (−3)

b = 0

cx = x(d+3e)

c = d + 3e

c = 1 + (−3)

c = −2

Odpowiedz :    a = 2,  b = 0,  c = −2.

Zadanie 10

f(x) = (x−a)(x−b) + (x−b)(x−c) + (x−c)(x−a) = (x² − bx − ax + ab)+(x²−cx−bx+bc) + (x²−ax−cx+ac) = x² − bx − ax + ab + x² − cx − bx + bc + x² − ax − cx + ac = 3x² − 2ax − 2bx − 2cx + ab + bc + ac = 3x² − (2a+2b+2c)x + ab + bc + ac

$$\frac{a = 3}{\begin{matrix} b = - \left( 2a + 2b + 2c \right) \\ c = ab + bc + ac \\ \end{matrix}}$$

≥0

b² − 4ac ≥ 0

(2a + 2b + 2c)² − 4 * 3 * (ab + bc + ac)≥0

(2a+2b+2c)(2a+2b+2c) − 12(ab+bc+ac) ≥ 0

4a² + 4ab + 4ac + 4b² + 4ab + 4bc + 4ac + 4bc + 4c² − 12(ab+bc+ac) ≥ 0  |:4

a² + b² + c² + ab + ac + ab + bc + ac + bc − 3(ab+bc+ac) ≥ 0

a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc − 3ab − 3bc − 3ac ≥ 0

a² + b² + c² − ab − bc − ac ≥ 0

a² − ab + b² − bc + c² − ac ≥ 0  |*2

2a² − 2ab + 2b² − 2bc + 2c² − 2ac ≥ 0

a² + a² − 2ab + b² + b² − 2bc + c² + c² − 2ac ≥ 0

a² − 2ab + b² + b² − 2bc + c² + a² − 2ac + c² ≥ 0

(a−b)² + (b−c)² + (c−a)² ≥ 0

Lewa strona jest zawsze wieksza lub rowna zero !

RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE – rozwiązanie zadań

Zadanie 1

1. x³ + 2x² − 4x − 8 = 0

x²(x+2) − 4(x+2) = 0

(x+2)(x²−4) = 0

x = −2

x² = 4  ⇒ x = −2  ∨ x = 2

1. x³ − 13x + 12 = 0

x³ − x − 12x + 12 = 0

x(x²−1) − 12(x−1) = 0

x(x+1)(x−1) − 12(x−1) = 0

(x−1)[x(x+1)−12] = 0

x = 1

x² + x − 12 = 0

=49

$$\sqrt{} = 7$$

x₁ = −4

x₂ = 3

2. x³ + 4x² + 9x + 6 = 0

	1	4	9	6
−1	1	3	6	0

(x+1)(x²+3x+6) = 0

x = −1

x² + 3x + 6 = 0

=9 − 4 * 6 = −15

brak pierwiastkow

2. x⁴ + 4x² + 3 = 0

x² = t

t > 0

t² + 4t + 3 = 0

$$= 16 - 12 = 4 \Rightarrow \sqrt{} = 2$$

$$t_{1} = \frac{- 4 - 2}{2} = - 3\ \notin zalozenia$$

$$t_{2} = \frac{- 4 + 2}{2} = - 1 \notin zalozenia$$

Zadanie 2

1. (x+1)³(2−x)(x²−4) ≤ 0

x = −1

x = 2

x² = 4

x = 2  ∨ x = −2

x ∈ ( − ∞,  −2⟩ ∪ ⟨1,  + ∞)

Jezeli krotnosc pierwiastka jest parzysta to w okolicach tego pierwiastka nie zmienia sie znak !

np. x³(−x)x² = −x⁶

1. (3−x)³(x²−4)²(2−x) ≥ 0

x = 3

x² = 4  ⇔ x = 2  ∨ x = −2

x = 2

x ∈ ( − ∞,  2⟩ ∪ ⟨3 , +∞)

1. 3x⁴ − 10x³ + 10x − 3 < 0

3x⁴ − 3 − 10x³ + 10 < 0

3(x⁴−1) − 10x(x²−1) < 0

3(x²−1)(x²+1) − 10x(x²−1) < 0

(x² − 1)²[3(x²+1)−10x] < 0

x² − 1 = 0

x² = 1  ⇔ x = 1  ∨ x = −1

3x² − 10x + 3 = 0

=100 − 12 * 3 = 64

$$\sqrt{} = \sqrt{64} = 8$$

$$x_{1} = \ \frac{1}{3}$$

x₂ = 3

$$Odpowiedz:\ \ \ \ x \in \left( - 1,\frac{1}{3} \right) \cup (1,3)$$

Zadanie 3

1. x³ − 9x² + 26x − 24 = 0

	1	−9	26	−24
2	1	−7	12	0

(x−2)(x²−7x+12) = 0

x = 2

x² − 7x + 12 = 0

=49 − 4 * 12 = 1

$$\sqrt{} = \sqrt{1} = 1$$

$$x_{1} = \frac{7 - 1}{2} = 3$$

$$x_{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4$$

2. x³ − 3x − 2 = 0

	1	0	−3	−2
2	1	2	1	0

(x−2)(x²+2x+1) = 0

x = 2

x² + 2x + 1 = 0

=4 − 4 = 0

$$x = - \frac{b}{2a}$$

$$x = - \frac{2}{2} = - 1$$

2. x(x² − 4x + 3)²(x + 3)³ ≤ 0

x = 0

x² − 4x + 3 = 0

=16 − 12 = 4

$$\sqrt{} = 2$$

x₁ = 3,  x₂ = 1

x + 3 = 0

x = −3

Odpowiedz :    x ∈ ⟨−3, 0⟩

NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ – rozwiązanie zadań

Zadanie 1

1. x³ − x² + |x−1| > 0

1   x − 1 ≥ 0

x ≥ 1

2   x − 1 < 0

x < 1

Ad.1

x³ − x² + x − 1 > 0

(x−1)(x²+1) > 0

x = 1

x² = −1

brak rozwiazan

x ∈ (1,+∞)

zestawienie zalozen

x ∈ ⟨1 ,   + ∞)

Ad.2

x²(x−1) − (x−1) > 0

(x−1)(x²−1) > 0

x = 1

x² = 1

x = 1  ∨  x = −1

x ∈ (−1, 1) ∪ (1, +∞)

zestawienie zalozen

x ∈ (−∞,−1)

suma rozwiazan

x ∈ (−∞,−1) ∪ ⟨1 ,   + ∞)

Odpowiedz :    x ∈ (1,+∞)

1. x³ + |3x²−4x| − 12 ≥ 0

1   3x² − 4x ≥ 0

x(3x−4) ≥ 0

x = 0

3x = 4

$$x = \frac{4}{3}$$

$$x \in ( - \infty,\ \left. \ 0 \right\rangle \cup \left\langle \frac{4}{3}, + \infty) \right.\ $$

2   3x² − 4x < 0

x(3x−4) < 0

x = 0

3x = 4

$$x = \frac{4}{3}$$

$$x \in (0,\frac{4}{3})$$

1 x³ + 3x² − 4x − 12 ≥ 0

x²(x+3) − 4(x+3) ≥ 0

(x+3)(x²−4) ≥ 0

x = −3

x² = 4

x = 2  ∨ x = −2

x ∈ ⟨−3, −2⟩  ∪  ⟨2 ,   + ∞)

2 x³ − 3x² + 4x − 12 ≥ 0

x²(x−3) + 4(x−3) ≥ 0

(x−3)(x²+4) ≥ 0

x = 3

x² = −4

brak rozwiazan

1   zestawienie zalozen

x ∈ ⟨−3, −2⟩  ∪ ⟨2 ,   + ∞)

2   zestawienie zalozen

x ∈ ⌀

SUMA ROZWIAZAN

Odpowiedz :     x ∈ ⟨−3, −2⟩ ∪ ⟨2,+∞ )

Zadanie 2

Jezeli wielomian jest stopnia nieparzystego to ma co najmniej jeden pierwiastek.

Jezeli wielomian jest stopnia parzystego to moze nie miec zadnego pierwiastka.

Maksymalna liczba pierwiastkow jest taka jaki jest stopien wielomianu.

2x³ − 3x² − 12x − 5m = 0

2x³ − 3x² − 12x = 5m

f(x) =  2x³ − 3x² − 12x

2x³ − 3x² − 12x = 0

x(2x²−3x−12) = 0

x = 0

2x² − 3x − 12 = 0

=9 + 8 * 12 = 9 + 96 = 105

$$\sqrt{} = \sqrt{105}$$

$$x_{1} = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}\ \approx - 1,8$$

$$x_{2} = \frac{3 + \sqrt{105}}{4} \approx 3,3$$

W(p,q)

$$p = - \frac{b}{2a}$$

$$q = - \frac{}{4a}$$

$$q = - \frac{\sqrt{105}}{2*4} = - \frac{\sqrt{105}}{8}$$

Zadanie 3

|x³−6x²| > 8x − 48

1 x³ − 6x² ≥ 0

x²(x−6) ≥ 0

x = 0

x = 6

x ∈ ⟨6,+∞ )

x³ − 6x² − 8x + 48 > 0

x²(x−6) − 8(x−6) > 0

(x−6)(x²−8) > 0

x = 6

x² = 8

$$x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\ \vee x = - \sqrt{8} = - 2\sqrt{2}$$

$$x \in \left( - 2\sqrt{2},\ 2\sqrt{2} \right) \cup \left( 6, + \infty \right)$$

zestawienie z zalozen

x ∈  ⟨6 ,   + ∞)

2 x³ − 6x² < 0

x²(x−6) < 0

x = 0

x = 6

x ∈ (−∞, 0)

−x³ + 6x² − 8x + 48 > 0

x³ − 6x² + 8x − 48 < 0

x²(x−6) + 8(x−6) < 0

(x−6)(x²+8) < 0

x = 6

x² = −8

brak rozwiazan

x ∈ (−∞,6)

zestawienie z zalozen

x ∈ (−∞,0)

SUMA ROZWIAZAN

Odpowiedz :    x ∈ (−∞,0) ∪ ⟨6 , +∞)