Cel ćwiczenia

1. Praktyczne zapoznanie się z opracowaniem danych pomiarowych, a w szczególności
   z metodami oceny błędów wielkości bezpośrednio mierzalnych i wielkości złożonych.

2. Doskonalenie umiejętności prawidłowego posługiwania się miernikami długości (śruba mikrometryczna, suwmiarka), oraz wagami laboratoryjnymi o różnej dokładności.

Wstęp teoretyczny

Gęstość (masa właściwa) – jest to stosunek masy pewnej ilości substancji do zajmowanej przez nią objętości. W przypadku substancji jednorodnych porcja ta może być wybrana dowolnie; jeśli jej objętość wynosi V a masa m, to gęstość substancji wynosi:

i nie zależy od wyboru próbki.

Pomiar jest podstawowym źródłem informacji w fizyce. Pomiarem nazywa się czynności doświadczalne mające na celu wyznaczenie wartości badanej wielkości fizycznej. Istotą każdego pomiaru jest porównanie wartości mierzonej z wzorcem miary tej wielkości przyjętym za jednostkę (np. pomiar długości w m, km itp.). Wynik pomiaru musi zatem składać się z dwóch części: wartości liczbowej, określającej ile razy mierzona wielkość jest większa lub mniejsza od przyjętego wzorca oraz rodzaju jednostki.

Metoda pomiarowa to zastosowany podczas pomiaru sposób porównania wartości mierzonej z wzorcem miary tej wielkości. Istnieje wiele metod pomiarowych różniących się sposobem postępowania i zastosowanymi narzędziami. Uwzględniając sposób postępowania podczas pomiaru i rodzaj zastosowanych narzędzi pomiarowych, z czym wiąże się zwykle osiągalna dokładność wyniku, rozróżnia się metody bezpośredniego odczytu i metody porównawcze.

Odchylenie standardowe – klasyczna miara zmienności, obok średniej arytmetycznej najczęściej stosowane pojęcie statystyczne.

Intuicyjnie rzecz ujmując, odchylenie standardowe mówi, jak szeroko wartości jakiejś wielkości (takiej jak np. wiek, inflacja, kurs akcji itp.) są rozrzucone wokół jej średniej. Im mniejsza wartość odchylenia tym obserwacje są bardziej skupione wokół średniej.

Przebieg ćwiczenia

1. Wybrać bryłkę o regularnym kształcie. Dokonać wstępnych pomiarów jej wymiarów liniowych potrzebnych do obliczenia objętości przy pomocy linijki o skali milimetrowej. Pomiar każdego wymiaru przeprowadzić kilkakrotnie (5-7 razy) w kilku różnych miejscach, aby uwzględnić ewentualne deformacje kształtu bryłki.

2. Przeanalizować uzyskane wyniki. Czy błędy przypadkowe uwidaczniają się w seriach pomiarowych? W zależności od odpowiedzi na to pytanie wybrać dalszy sposób postępowania przy ocenie błędów.

3. Ocenić błędy pomiarowe poszczególnych wymiarów liniowych.

4. Obliczyć objętość bryłki. wyznaczyć błąd pomiaru objętości.

5. Zmierzyć masę bryłki przy pomocy wagi laboratoryjnej. Ocenić błąd pomiaru masy.

6. Znaleźć gęstość materiału bryłki. Obliczyć błąd pomiaru gęstości. Ocenić wpływ błędu pomiaru masy na błąd końcowego wyniku (gęstości). Podać przedział na wartość rzeczywistą gęstości stosując odpowiednią liczbę miejsc znaczących. Podać poziom ufności uzyskanego przedziału.

7. Powtórzyć czynności wymienione w punktach 1 –6 (bryłka ta sama) mierząc:

1. wymiary liniowe przy pomocy suwmiarki, a masę przy pomocy wagi laboratoryjnej,

2. wymiary liniowe przy pomocy śruby mikrometrycznej, a masę przy pomocy wagi analitycznej półautomatycznej.

8. Porównać uzyskane wyniki.

1. Tabela z uzyskanymi wynikami

2. 
   Obliczenia

1. Oznaczenia dla kulki

d – średnica

r – promień

m_r - masa

1. Wartości średnie pomiarów

pomiar wagą:

m_r = 28,1g

pomiar linijką:

d = 17,7 mm

r = 8,85 mm

pomiar suwmiarką:

d = 19 mm

r = 9,5 mm

pomiar śrubą mikrometryczną:

d = 18,99 mm

r = 9,49 mm

1. Odchylenie standardowe obliczamy ze wzoru

$$\ S_{x\ } = t_{n}\ \times \sqrt{\text{\ \ \ }\frac{1}{n(n - 1)}\ \sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i\ }\overset{\overline{}}{x} \right)^{2}}$$

gdzie:
t_n – wartości krytyczne rozkładu studenta
x_i – pojedynczy pomiar
$\overset{\overline{}}{x}$– średni pomiar

$$g = \ \frac{m}{v} = \ \frac{m}{{\frac{4}{3} \times \pi \times r}^{3}}$$

$$d\overset{\overline{}}{g} = d\left( \frac{\overset{\overline{}}{m}}{\overset{\overline{}}{v}} \right) = \frac{\overset{\overline{}}{m}}{\overset{\overline{}}{m}} + \ \frac{\overset{\overline{}}{v}}{\overset{\overline{}}{v}}$$

1. Obliczenia dla linijki

$S_{\text{x\ }} = \ t_{n}\ \times \sqrt{\text{\ \ \ }\frac{1}{n\left( n - 1 \right)}\ \sum_{i = 1}^{n}{\left( x_{\text{i\ }}\overset{\overline{}}{x} \right)^{2}\ }}$ =

$$= \ 1,0585\ \times \ \sqrt{\begin{matrix} \frac{1}{90}\left\lbrack 3 \times \left( 17 - 17,5 \right)^{2} + 7 \times \left( 18 - 17,5 \right)^{2} \right\rbrack \\ \end{matrix}} =$$

$$= \ 1,0585 \times \ \sqrt{\begin{matrix} \frac{1}{90}\left\lbrack 3 \times \left( - 0,49 \right)^{2} + 7 \times \left( 0,3 \right)^{2} \right\rbrack \\ \end{matrix}} = \ $$

$$= \ 1,0585 \times \ \sqrt{\begin{matrix} \frac{1}{90} \times 2,1 \\ \end{matrix}} =$$

=1, 0585  × 0, 1527  ≈ 0, 2

$$g = \ \frac{m}{v} = \ \frac{m}{\frac{4}{3} \times \pi\ \times \ r^{3}} = \ \frac{28,1}{{\frac{4}{3} \times \pi \times (8,85)}^{3}} = \ \frac{28,1}{2902} = 0,0097\ \left\lbrack \frac{g}{\text{mm}^{3}} \right\rbrack$$

$$d\overset{\overline{}}{g} = \ \left| g \right|\ \times d\left( \frac{\overset{\overline{}}{m}}{\overset{\overline{}}{v}} \right) = \ \left| g \right|\ \times \ \left( \frac{\overset{\overline{}}{m}}{\overset{\overline{}}{m}} \times \ \frac{\overset{\overline{}}{v}}{\overset{\overline{}}{v}} \right) = \ \left| 0,0097 \right|\ \times \ \left( \frac{1}{28,1}\ \times \ \frac{0,2}{2902} \right) = 0,00035$$

$$g\ \pm d\overset{\overline{}}{g} = \left( 0,0097\ \pm 0,00035 \right)\left\lbrack \frac{g}{\text{mm}^{3}} \right\rbrack$$

1. Obliczenia dla suwmiarki

S_x = 0

$$g = 0,0078\ \left\lbrack \frac{g}{\text{mm}^{3}} \right\rbrack$$

$$d\overset{\overline{}}{g} = \ 0,00028$$

$$g\ \pm d\overset{\overline{}}{g} = \left( 0,0078\ \pm 0,00028 \right)\left\lbrack \frac{g}{\text{mm}^{3}} \right\rbrack$$

1. Obliczenia dla śruby mikrometrycznej

S_x = 0, 01

$$g = 0,0078\ \left\lbrack \frac{g}{\text{mm}^{3}} \right\rbrack$$

$$d\overset{\overline{}}{g} = \ 0,00028$$

$$g\ \pm d\overset{\overline{}}{g} = \left( 0,0078\ \pm 0,00028 \right)\left\lbrack \frac{g}{\text{mm}^{3}} \right\rbrack$$

Wnioski

Wykonane doświadczenie obrazuje, że w dokładności pomiaru gęstości ważny jest dobór odpowiednich przyrządów pomiarowych oraz precyzja użycia tych przyrządów.
W doświadczeniu do zbadania średnicy kulki użyliśmy następujących przyrządów pomiarowych: linijki, suwmiarki i śruby mikrometrycznej wykonując przy użyciu każdego
z nich po 10-15 pomiarów. Do zbadania masy kulki użyliśmy wagi laboratoryjnej wykonując ważenie dwukrotnie. Doświadczenie wykazało, że kilkukrotne zbadanie kulki przy użyciu tego samego przyrządu (śruba mikrometryczna lub linijka) daje różnorodne wyniki. Wpływ na różnorodność wyników mogło mieć nieumiejętne użycie przyrządów pomiarowych lub ich wadliwość. Z obliczeń wynika, że najdokładniejszym przyrządem pomiarowym spośród użytych jest suwmiarka gdzie odchylenie standardowe średnicy równe jest 0. Najmniej dokładnym przyrządem pomiarowym jest linijka, u której odchylenie standardowe wyniosło 0,2.