1. Wstęp

Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie modułu piezoelektrycznego d oraz stałej balistycznej galwanometru b. Będziemy wykorzystywali kondensator o znanej nam pojemności oraz zadawane przez nas napięcie by wyliczyć stałą balistyczną ($b = \frac{Q}{\alpha_{0}} = \frac{\text{CU}}{\alpha_{0}}$). W celu badania modułu piezoelektrycznego posłużymy się zjawiskiem piezoelektrycznym prostym i odwrotnym. Będziemy więc poddawali piezoelektryk odpowiednio obciążeniu ($q = d_{33}F \rightarrow b\alpha_{0} = d_{33}F \rightarrow d_{33} = \frac{b\alpha_{0}}{F}$) i wysokiemu napięciu ($d_{33} = \frac{xz_{0}}{x_{0}\gamma U_{3}}$).

1. Układ Pomiarowy

Do badania stałej balistycznej posłuży nam układ składający się z zasilacza generującego napięcie do 20V, Woltomierza(V) o klasie dokładności 2 i zakresie 10V, Kondensatora(C) o pojemności 5nF (5000pF), Przełącznika(K) oraz Galwanometru(G)o klasie dokładności 2. Schemat poniżej:

Przy wyznaczaniu modułu piezoelektrycznego korzystając ze zjawiska piezoelektrycznego prostego posłuży nam układ mechaniczny przedstawiony na schemacie poniżej:

Piezoelektryk przyciskany jest przez obciążnik, którego masę możemy zwiększać. Zwiększając obciążenie na dużym ramieniu nadajemy duży nacisk na piezoelektryk, którego powierzchnie wyprowadzone są do zacisków na obudowie, z których to możemy odczytać ilość wyidukowanego ładunku.

By zbadać moduł piezoelektryczny metodą wykorzystującą zjawisko piezoelektryczne odwrotne wykorzystamy układ składający się z generatora wysokich napięć (do 2500V), czułego dylatometru oraz płytki wykonanej z piezoelektryku o długości x₀=110mm, grubości z₀=1,5mm i współczynniku Poissona γ=0,33. Schemat układu poniżej:

Błędy systematyczne:

- Woltomierza $\delta_{V} = \frac{2}{100}*10*\frac{1}{100} = 0,002\left\lbrack V \right\rbrack$

- Galwanometru $\delta_{G} = \frac{2}{100}*70*\frac{1}{100} = 0,014\left\lbrack \text{dz} \right\rbrack$

1. Wykonanie Ćwiczenia

Ćwiczenie składało się z 3 części:

1. Wyznaczenie stałej balistycznej

1. Podłączenie układu zgodnie ze schematem

2. Uruchomienie układu pod nadzorem i zgodą prowadzącego ćwiczenia

3. Kalibracja przyrządów pomiarowych

4. Obliczenie błędów systematycznych przyrządów pomiarowych

5. Ustalenie na Zasilaczu napięcia równego 1V

6. Zwarcie przełącznika

7. Odczyt wskazania na Galwanometrze

8. Powtórzenie punktów od 5 do 7 zwiększając co 1 napięcie aż do 10V

9. Sporządzenie tabeli z wynikami doświadczenia

10. Obliczenie stałej balistycznej metodą najmniejszej sumy kwadratów (MNSK)

11. Sporządzenie wykresu zależności wielkości ładunku od wychylenia w programie Origin

12. Obliczenie wartości ładunku wraz z błędem (z pary wyników nr.4)

13. Obliczenie błędu stałej balistycznej metodą różniczki zupełnej (z pary wyników nr.4)

2. Wyznaczenie modułu piezoelektrycznego metodą I

1. Sprawdzenie wyważenia dźwigni i wyświetlacza galwanometru

2. Zwolnienie docisku piezoelementu

3. Nałożenie jednego ciężarka

4. Przemieszczenie rączki w położenie górne i odczyt maksymalnego odchylenia plamki Galwanometru w prawo (α_P)

5. Przemieszczenie rączki w położenie górne i odczyt maksymalnego odchylenia plamki Galwanometru w prawo (α_L)

6. Ustawienie rączki w pozycji blokady i nałożenie kolejnego odważnika. Powtarzanie punktów od 3 do 5 do wyczerpania obciążników

7. Sporządzenie tabeli z wynikami doświadczenia

8. Policzenie ładunku oraz jego błędu z użyciem różniczki zupełnej (z pary wyników nr.4)

9. Policzenie błędu modułu piezoelektrycznego z użyciem różniczki zupełnej (z pary wyników nr.4)

10. Obliczenie wartości modułu piezoelektrycznego MNSK

3. Wyznaczenie modułu piezoelektrycznego metodą II

1. Włączenie zasilacza wysokiego napięcia

2. Wyzerowanie dylatometru

3. Ustawienie na zasilaczu napięcia 200V

4. Po krótkiej chwili odczytanie wartości wskazanej na dylatometrze

5. Zwiększenie napięcia o 200V

6. Powtarzanie punktów od 4 do 5 aż do uzyskania 2400V

7. Zmniejszenie napięcia o 200V

8. Po krótkiej chwili odczytanie wartości wskazanej na dylatometrze

9. Powtarzanie punktów od 7 do 8 aż do uzyskania 0V na zasilaczu

10. Sporządzenie tabeli z wynikami

11. Obliczenie modułu piezoelektrycznego MNSK

12. Sporządzenie wykresu zależności wydłużenia od napięcia w programie Origin

1. Wyniki i Opracowanie

Część I

Tabelka przedstawiająca wyniki wyznaczania stałej balistycznej. Ładunek liczymy ze wzoru: Q = (5*10⁻⁹)(X±2*10⁻³) = 5X * 10⁻⁹ ± 0, 01 * 10⁻⁹ = 5X ± 0, 01[nC] gdzie X to odpowiednie napięcie

L.P.	Napięcie [V]	Ładunek [nC]	Wychylenie w prawo [dz]	Wychylenie w lewo [dz]
1	1	5	3	4
2	2	10	9	8,5
3	3	15	14	14
4	4	20	19	20
5	5	25	24,5	24
6	6	30	27	27
7	7	35	35	35,5
8	8	40	39	40
9	9	45	46	40,5
10	10	50	49	48

Wartość ładunku dla 4 pary wyników to:

Q = C * U = (5*10⁻⁹)(4±2*10⁻³) = 20 ± 0, 01[nC]

Wykres prezentujący zależność wychylenia plamki galwanometru od ładunku. Program wyliczył również stałą balistyczną b=0,99367±0,00716

Część II

Tabela wyników doświadczalnego wyznaczenie modułu piezoelektrycznego przy pomocy zjawiska piezoelektryczności prostej

L.P.	Obciążenie [kg]	Siła [N]	Wychylenie w prawo [dz]	Wychylenie w lewo [dz]
1	0,5	55	8	9
2	1	110	16	17
3	1,5	165	25	24,5
4	2	220	34	33,5
5	2,5	275	40,5	41,5
6	3	330	53	53

Wykres prezentuje zależność wyidukowanego ładunku od naprężenia. Wyliczony moduł piezoelektryczny wynosi d=0,14974±0,00214.

Część III

Tabela prezentująca wyniki doświadczenia wyznaczania modułu piezoelektrycznego metodą II. Napięcie było zwiększane od 200 do 2500V a następnie zmniejszane z powrotem do 200V. Wyniki wydłużeń znajdują się w tabeli

L.P.	Napięcie [V]	Wydłużenie [μm]
1	200	1
2	400	2
3	600	4
4	800	5
5	1000	6,5
6	1200	8
7	1400	10
8	1600	12
9	1800	13,5
10	2000	15
11	2200	18
12	2400	20

Poniższy wykres prezentuje w pewnym przybliżeniu liniowość zjawiska, zależność wydłużenia płytki piezoelektryka w zależności od zadanego napięcia. Wyliczona została wartość pośrednia modułu piezoelektrycznego wraz z błędem, którą należy przemnożyć przez stałą $\frac{z_{0}}{x_{0}\gamma}$:

$$d_{33} = B*\frac{z_{0}}{x_{0}\gamma} = 0,00833*\frac{110}{1,5*0,33} = 1,85111$$

1. Rachunek Błędów

Metoda różniczki zupełnej:

$$\mathbf{z =}\left| \frac{\mathbf{\partial f(x,y)}}{\mathbf{\partial x}} \right|\mathbf{\delta x +}\left| \frac{\mathbf{\partial f(x,y)}}{\mathbf{\partial y}} \right|\mathbf{\text{δy}}$$

Część I

Wartość ładunku wraz z błędem (z pary wyników nr.4)

Q = C * U = (5*10⁻⁹)(4±2*10⁻³) = 20 ± 0, 01[nC]

Q = 20 ± 0, 01[nC]

Obliczanie błędu stałej balistycznej (z pary wyników nr.4)

$$F\left( Q,\alpha \right) = \frac{Q}{\alpha}\ ,\ \frac{\partial f(Q,\alpha)}{\partial Q} = \frac{1}{\alpha}\ ,\ \frac{\partial f(Q,\alpha)}{\partial\alpha} = - \frac{Q}{\alpha^{2}}$$

δ_Q = 0, 01[nC]

δ_α = 0, 014[dz]

$$b = \left| \frac{1}{\alpha} \right|*\delta_{Q} + \left| - \frac{Q}{\alpha^{2}} \right|*\delta_{\alpha} = \frac{1}{19,5}*0,01 + \frac{20}{{19,5}^{2}}*0,014 = 0,0005128 + 0,0007364 = 0,0012492$$

b = 0, 99367 ± 0, 0012492

b = 0, 9937 ± 1, 3 * 10⁻³[nC]

Część II

Obliczanie ładunku wraz z jego błędem metodą różniczki zupełnej (z pary wyników nr.4)

q = bα₀ = 0, 9937 * 32, 25 = 32, 046825

Błąd Δq

$$F\left( b,\alpha_{0} \right) = b\alpha_{0}\ ,\ \frac{\partial f(b,\alpha_{0})}{\partial b} = \alpha_{0}\ ,\ \frac{\partial f(b,\alpha_{0})}{\partial\alpha_{0}} = b$$

δ_b = 0, 0013[nC]

δ_α0 = 0, 014[dz]

(q) = |α₀| * δ_b + |b| * δ_α0 = 32, 25 * 0, 0013 + 0, 9937 * 0, 014 = 0, 041925 + 0, 0139118 = 0, 0558368

q = 32, 25 ± 0, 0558368

q = 32, 25 ± 5, 6 * 10⁻²[nC]

Obliczanie modułu piezoelektrycznego wraz z błędem (z pary wyników nr.4):

$$d = \frac{q}{F} = \frac{32,25}{220} = 0,1465909$$

$$F\left( q,F \right) = \frac{q}{F}\ ,\ \frac{\partial f(q,F)}{\partial q} = \frac{1}{F}\ ,\ \frac{\partial f(q,F)}{\partial F} = - \frac{q}{{F}^{2}}$$

δ_q = 0, 056[nC]

F = obciazenie * 10 = (500±0,1) * 10 = 5000 ± 1[g] = 5 * 10³ ± 1[g]

δ_F = 1[g]

Błąd modułu piezoelektrycznego (z pary wyników nr.4)

$$d = \left| \frac{1}{F} \right|*\delta_{q} + \left| - \frac{q}{{F}^{2}} \right|*\delta_{F} = \frac{1}{220}*0,056 + \frac{32,25}{220^{2}}*1 = 0,00028 + 0,0006663 = 0,0009463$$

$$d = 0,1465909 \pm 0,0009463\lbrack\frac{C}{N}\rbrack$$

$$d = 0,14659 \pm 9,5*10^{- 4}\lbrack\frac{C}{N}\rbrack$$

Część III

Moduł piezoelektryczny liczony metodą II opisywany jest wzorem:

$$d = \frac{z_{0}x}{x_{0}\gamma U_{3}}$$

Jak widać, stała zależna jest od dwóch zmiennych. Powinniśmy więc przeprowadzić co najmniej rachunek różniczki zupełnej. Nie znany jest jednak błąd dylatometru, który w ostateczności można przyjąć jako połowę podziałki czyli 0,5μm, oraz błąd napięcia którego nie jesteśmy w stanie wyliczyć. Musimy więc skorzystać z danych jakie wyliczył nam program Origin:

$$d_{33} = B*\frac{z_{0}}{x_{0}\gamma} = 0,00833*\frac{110}{1,5*0,33} = 1,85111$$

$${d}_{33} = \ B*\frac{z_{0}}{x_{0}\gamma} = 6,17858*10^{- 4}*\frac{110}{1,5*0,33} = 0,1373018$$

$$d_{33} = 1,85111 \pm 0,1373018\lbrack\frac{C}{N}\rbrack$$

$$d_{33} = 1,85 \pm 0,14\lbrack\frac{C}{N}\rbrack$$

1. Wnioski

By poprawnie obliczyć moduł piezoelektryczny potrzebowaliśmy w obydwu przypadkach Galwanometru. Wyliczenie jego stałej balistycznej jest bardzo ważnym elementem doświadczenia gdyż w przeciwnym wypadku nie możemy wykonać podstawowych obliczeń. W naszym przypadku uzyskaliśmy lepszą wartość niż program Origin (dużo mniejszy błąd). Co zaś się tyczy modułów piezoelektrycznych to z uzyskanych wielkości można przypuszczać 2 rzeczy: Albo płytka i ściskany krążek były wykonane z dwóch różnych piezoelektryków albo popełniliśmy gdzieś błąd w obliczeniach. Oczywiście zakładamy różnorodność materiałów piezoelektryka. W przypadku modułów znów uzyskaliśmy w jednym przypadku wynik lepszy niż Origin, w drugim jednak byliśmy skazani tylko na jego obliczenia. Ostateczne wyniki są więc następujące:

Stała balistyczna Galwanometru:

b = 0, 9937 ± 1, 3 * 10⁻³[nC]

Moduł piezoelektryczny wyznaczony metodą I

$$d = 0,14659 \pm 9,5*10^{- 4}\lbrack\frac{C}{N}\rbrack$$

Moduł piezoelektryczny wyznaczony metodą II

$$d_{33} = 1,85 \pm 0,14\lbrack\frac{C}{N}\rbrack$$