ZASTOSOWANIE MATEMATYKI W TECHNICE

Zaliczenie 24.01.2013

1. Czy każdy sygnał okresowy w postaci funkcji czasu można aproksymować trygonometrycznym szeregiem Fouriera.

Nie każdy sygnał okresowy można aproksymować. Żeby aproksymować trygonometrycznym szeregiem Fouriera, sygnał okresowy musi spełniać warunki Dirichleta:

1°- słaby

∫_T0|f(t)|dt < ∞ <- nie wiem czy dobrze spisałam z notatek Daniela

2⁰ – silny - funkcja f w przedziale jednego okresu ma skończoną liczbę maksimów lokalnych i minimów lokalnych

1. Co łączy trygonometryczny i wykładniczy szereg Fouriera w analizie procesu technicznego?

Obydwie postacie, trygonometryczna i wykładnicza, są równoważne w informacje o aproksymowaniu sygnału.

$$d_{n} = \frac{1}{T_{0}}\int_{T_{0}}^{}{f(t)e^{- jn\omega_{0}t}}dt = \ \ \frac{1}{T_{0}}\int_{T_{0}}^{}{f\left( t \right)*\left( \text{cosn}\omega_{0}t - js\text{inn}\omega_{0}t \right)dt = \ \frac{1}{T_{0}}\int_{T_{0}}^{}{f\left( t \right)\text{cosn}\omega_{0}tdt - j\frac{1}{T_{0}}\int_{T_{0}}^{}{f\left( t \right)\text{sinn}\omega_{0}tdt = \frac{1}{2}(a_{n} - jb_{n})}}}$$

Trygonometryczna postać szeregu Fouriera stosowana jest do interpretacji fizycznej, wykładnicza do obliczeń.

1. Jaką zaletę ma zastosowanie transformacji Laplace'a w rozwiązywaniu wektorowych równań różniczkowych?

W przypadku liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach, macierzą tranzycyjną jest macierzowa funkcja wykładnicza postaci $e^{\text{At}} = I + \text{At} + A^{2}\frac{t^{2}}{2!} + \ldots$. Oblcizanie bezpośrednio sumy tego rodzaju szeregu nieskończonego jest kłopotliwe. Dwie inne możliwe bezpośrednie drogi obliczania macierzy tranzycyjnej φ(t) = e^At,tzn jako rozwiązania równania różniczkowego i jako granicy ciągu mają tego samego rodzaju wadę. Natomiast w praktycznych obliczeniach znajduje zastosowanie metoda transformacji Laplace’a.

Rozwiązując metodą Laplace’a wektorowe równanie różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach należy wykonać trzy następujące kolejne kroki:

1⁰ określenie postaci macierzy sI-A

2⁰ określenie postaci rezolwenty, (sI-A)^-1, tzn macierzy odwrotnej do macierzy sI-A

3⁰ określenie postaci macierzy tranzycyjnej, e^At, jako odwrotnej transformaty Laplace’a rezolwenty.

1. Jaką rolę spełnia funkcja Lapunowa w analizie stabilności układów dynamicznych. Porównaj ją z energią mechaniczną wahadła.

Na podstawie mechaniki klasycznej, ze układ drgający jest stabilny, jeżeli jego energia całkowita, która jest funkcją dodatnio określoną, zmniejsza się w sposób ciągły, aż do osiągnięcia stanu równowagi. Oznacza to, ze pochodna względem czasu energii całkowitej jest ujemnie określona.

Druga metoda Lapunowa badania stabilności układu dynamicznego stanowi uogólnienie tego faktu. Jeżeli układ dynamiczny ma asymptotycznie stabilny stan równowagi, to energia tego układu dynamicznego, gdy jego stan zmienia się w obszarze stabilności, zmniejsza się ze wzrostem czasu, aż do osiągnięcia wartości minimalnej w stanie równowagi. Jednakże w przypadku modeli matematycznych nie jest łatwe określenie funkcji nazwanej energią układu dynamicznego. Z tego powodu Lapunow wprowadził pojęcie funkcji nazwanej od jego imienia funkcją Lapunowa, która spełnia rolę energii (wiec można by powiedzieć, że jest fikcyjną energią).

1. Jakie działania na wzór ewolucji naturalnej występują w algorytmie genetycznym.

- selekcja

- mutacja

- krzyżowanie

1. Uzupełnij zdanie: Jeżeli … i …, to w(n+1)=w(n)+ƞ*u(n).

Jeżeli w^T(n) * u(n) < 0 i u(n) ∈ L₁,  to w(n+1) = w(n) + η * u(n), gdzie w(n) współczynnik wagowy, η to korekta, u(n) to sygnał, L₁ to podzbiór sygnałów którym przypisywana jest wartość y=1, a T oznacza transponowanie macierzy.

Zaliczenie 07.02.2013

1. Czym kierując się dobiera się współczynniki aproksymacji sygnału uogólnionym szeregiem Fouriera.

Jeśli uogólniony szereg Fouriera jest postaci: $f\left( t \right) = \sum_{i = 1}^{\infty}{c_{i}x_{i}(t)}$ , to współczynniki c_i dobiera się tak, aby energia błędu aproksymacji osiągała minimum, co zachodzi wtedy, gdy $\frac{{\partial E}_{e}}{\partial c_{i}} = 0$

1. Jakie twierdzenie znane Ci z geometrii przypomina twierdzenie Parseval'a. Przytocz oba.

Twierdzenie Pitagorasa przypomina twierdzenie Parsevala.

Twierdzenie Pitagorasa:

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Twierdzenie Parsevala:

$$E_{f} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}f^{2}\left( t \right)dt = \sum_{n = 1}^{\infty}{c_{n}^{2}E_{n}^{2}(t)}$$

Energia sygnału może być określona jako suma kwadratów kolejnych elementów w rozwinięciu funkcji w uogólniony szereg Fouriera.

f(t)-funkcja aproksymowana

c_n-współczynniki uogólnionego szeregu Fouriera

e(t)=0 -> E_e=0

E_e=0 -/>e(t)=0

1. Jaka jest rola macierzy tranzycyjnej. Rozwiązując wektorowe równanie różniczkowe jaką drogą można określić jej postać.

Macierz tranzycyjna ϕ(t,τ)=e^A(t-τ) opisuje sobą sposób przejścia od stanu x(τ) do stanu x(t) rozważanego układu dynamicznego. Jest elementem całki ogólnej i całki szczególnej wektorowego równania różniczkowego.

Jej postać możemy określić:

-obliczając sumę macierzowej funkcji wykładniczej $e^{\text{At}} = I + At + A^{2}\frac{t^{2}}{2!} + \ldots$

-rozwiązując równanie różniczkowe$\ \dot{\varphi\left( t \right)} = e^{\text{At}}$ z warunkiem początkowym φ(0) = I

-obliczając granicę ciągu $e^{\text{At}} = \operatorname{}{(I + \frac{\text{At}}{n})}^{n}$

-stosując transformację Laplace’a

1. Jak dobiera się funkcję Lapunowa w liniowych, stacjonarnych układach dynamicznych.

Załóżmy, że w równaniu różniczkowym x^• = Ax macierz A(stała) jest niesingularna (nieosobliwa). Wówczas jedynym stanem równowagi jest stan x=0.

Jako funkcję Lapunowa przyjmijmy V(x)=x^TPx, gdzie P jest dodatnio określoną macierzą rzeczywistą symetryczną. Obecnie, V^.(x) = x^.TPx + x^TPx^. = (Ax)^TPx + x^TPAx = x^TA^TPx + x^TPAx = x^T(A^TP+PA)x. Stabilność asymptotyczna wymaga, ażeby funkcja V^∙(x) była ujemnie okreslona. Oznacza to, ażeby w relacji V^. = −x^TQx, macierz Q = −(A^TP + PA)była dodatnio okreslona.

W drugiej metodzie Lapunowa okresla się dodatnio okresloną funkcję V(x), a następnie sprawdza, czy jej pochodna V^∙(x) jest ujemnie okreslona.

W rozważanej sytuacji jest dogodne określenie najpierw ujemnie określonej funkcji V^.(x) = −x^TQx (określenie macierzy Q wg kryterium Sylvestera), a następnie sprawdzenie, czy spełnia to kryterium macierz P (czy jest dodatnio okreslona funkcja V=x^TPx), związana z macierzą Q i relacją A^TP+PA=-Q.

1. Podaj przykład zastosowania operatorów genetycznych w kolejnych iteracjach algorytmu genetycznego.

Operatorami genetycznymi są krzyżowanie i mutacja. Krzyżowanie stosuje się, żeby utworzyć dwa zupełnie inne chromosomy potomków poprzez kombinację materiału genetycznego wcześniej wyselekcjonowanych rodziców, tak, aby wartość funkcji przystosowania dla ich genotypu była optymalna. Mutację stosuje się do wprowadzenia losowych zmian w genach (zmieniając wartość genu na przeciwną, z 0 na 1 lub z 1 na 0), po to, aby zapobiec możliwości wyeliminowania jakiegoś wartościowego genu w procesie krzyżowania.

1. Co to znaczy nauczyć sztuczną sieć neuronową. Jak się to wykonuje.

Uczenie się sieci neuronowych polega na doborze wag neuronow tak aby w efekcie końcowy błąd popełniony przez sieć był mniejszy od zadanego. Jeśli sieć popełni błąd, to należy wprowadzić korektę, zgodnie z algorytmem uczenia. Działanie takie nazywamy wsteczną propagacją błędów.

Na podstawie sygnałów wejściowych i s. wyjściowych zadanych (wzorcowych) sieć neuronowa jest w stanie nauczyć się, jak należy sterować rozważanym procesem.

Zaliczenie 15.02.2013

f₁(t) = 10 + 2cos(10t+v₁) + 5cos(2πt+v₂) 

$$f_{2}\left( t \right) = 5\sin\left( \sqrt{3}t + \varphi_{1} \right) + 2\cos\left( 3\sqrt{3}t + \ \varphi_{2} \right)$$

$$f\left( t \right) = \sum_{n = 1}^{\infty}{c_{n} \times x_{n}\left( t \right)}\ $$

1. Dane jest wektorowe równanie różniczkowe. Określ macierz tranzycyjną, a następnie przedstaw rozwiązanie równania różniczkowego $\begin{bmatrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}u$

$$\begin{bmatrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & - 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ V}\left( x \right) = \begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix}$$