Rachunek Kwantyfikatorów

x,y,z – zmienne nazwowe/nazwy indywiduuów

P,Q,R – predykaty(orzeczniki), oznaczają własności, relacje, funkcje

∑, ∏ - kwantyfikatory: ogólny i szczegółowy

~^V→,↔ - funktory

P(x) – np. x jest brązowe, czyli x jest czymś/coś/jakieś

Q(x,y) – predykat dwu-argumentowy, czyli oznaczenie relacji

x jest Polakiem

∑ x(x jest polakiem) – dla pewnego x, x jest polakiem

∏ x (x jest Polakiem) – wszyscy ludzie są Polakami

∑ x ∏ P P(x) – jest taki przedmiot x, który posiada wszystkie własności P

Zad 1.

∏ x P(x) → ∏ X Q(x) – jeśli wszystkie x są kręgowcami, to wszystkie x są ssakami

∑ X P(x) → ∑ x Q(x) – istnieje taki x, że jest zielony, to jest taki x który ma kolor.

∏ X[ P(x) → Q(x)] – dla wszystkich x, jeżeli jest zielone, to jest kolorowe

~∏ x(P(x)

Nie prawda że, wszystkie przedmioty są zielone

∏ X ~P(x)

~∑ x P(x)

∑ X ~P(x)

~∏ X P(x) ↔ ∑ X ~P(x)

Z2

u(uniwersum) – l. naturalne

=, <

Każda liczba n, jest równa sobie samej

∏ x (x=x)

Żadna liczba, nie jest mniejsza od samej siebie

~∑ x (x<x)

Jeżeli jakaś liczba, jest mniejsza od pierwszej liczby, to ta druga liczba nie jest mniejsza od pierwszej

∏ x, ∏ y [(x<y → ~(y<x)]

Z każdych dwóch różnych liczb, jedna z nich jest mniejsza od drugiej

∏ x, ∏ y , [~(x=y) (x<y T y<x)]

Istnieje najmniejsza liczba

∑ x, ~∏ y [y<x]

Nie ma liczby największej

~∑ x,∏ y (y<x)

Każde dwie liczby, równe trzeciej, są równe między sobą

∏ x, ∏ y, ∏ z, [(x=z) ^ (y=z)→ (x=y)]

Niektórzy, matematycy są muzykalni.

P(x) – bycie matematykiem,

Q(x) – bycie muzykalnym

u=ludzie

∑ x (P(X) ^ Q(X))

Wszyscy matematycy są muzykalni

∏ x P(X) → Q(x)

∏ x (P(x) →~ Q(x))

∏ X [P(X) → Q(x)] ^ [~P(x) → Q(X)}

Do domu:

Istnieje ktoś, kto ma przyjaciela

Każdy jest przyjacielem wszystkich

Nikt nie jest niczyim przyjacielem