10. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA PR

KOMBINATORYKA

1. Ile wynosi liczba niepustych podzbiorów zbioru
   takich, że suma tworzących je elementów jest liczbą: a) parzystą, b) nieparzystą? (3 pkt)

1. Na ile sposobów można rozmieścić
   ponumerowanych kul w dziesięciu ponumerowanych pudełkach ? (1 pkt)

2. Na ile sposobów można rozmieścić
   ponumerowanych kul w dziesięciu ponumerowanych pudełkach przy założeniu, że tylko w dziewięciu pudełkach będą kule ? (3 pkt)

1. Dystans między punktami
   pokonuje się, stawiając kroki o długości
   , przy czym każdy krok wykonuje się bądź w prawo (poziomo), bądź do góry (pionowo). Ile wynosi liczba sposobów odbycia takiej podróży? (3 pkt)

2. Na półce ustawiono w sposób losowy
   książek, w tym Starą baśń i Tablice matematyczne. Na ile sposobów możne ustawić te książki, tak aby Starą baśń i Tablice matematyczne zawsze oddzielały trzy inne książki? (3 pkt)

3. Do trzech pustych puszek wrzucono losowo
   ponumerowanych piłeczek. Na ile sposobów można je rozmieścić, tak aby w pierwszej puszce było pięć piłek, w drugiej trzy, a w trzeciej reszta? (3 pkt)

4. Na ile sposobów można wybrać z grupy
   studentów: (3 pkt)

a)
osobową delegację?

b)
osobową delegację z przewodniczącym, zastępcą, skarbnikiem?

5. W turnieju szachowym rozgrywanym systemem „każdy z każdym” brało udział
   zawodników. Po rozegraniu
   partii, jeden zawodnik zrezygnował z dalszych gier i wycofał się z turnieju a pozostali kontynuowali rozgrywki. Ile partii rozegrano w turnieju ? (3 pkt)

6. Ze zbioru liczb
   wybieramy jednocześnie dwie liczby. Na ile sposobów możemy to zrobić, tak aby otrzymać dwie liczby takie, że: (CKE)

a) ich różnica będzie liczbą parzystą, (1 pkt)

b) suma ich kwadratów będzie liczbą podzielną przez cztery? (3 pkt)

7. Rozwiąż równanie
   , wiedząc, że:
   oznacz liczbę wszystkich różnych permutacji bez powtórzeń zbioru
   elementowego,
   oznacza liczbę wszystkich różnych
   elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru
   elementowego. (2008) (4 pkt)

8. Uczniów pewnej klasy można rozmieścić w dwuosobowych ławkach, po dwie osoby w każdej ławce, na
   sposoby. Oblicz ilość osób w klasie. (3 pkt)

9. Na płaszczyźnie dane są trzy różne proste wzajemnie równoległe
   . Na prostej
   wybieramy losowo cztery różne punkty, na prostej
   trzy różne punkty i na prostej
   cztery różne punkty. Wyznacz liczbę trójkątów, jakie można utworzyć z wybranych punktów. (4 pkt)

10. Oblicz, ile jest wszystkich naturalnych liczb sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie raz cyfra
    , oraz dokładnie dwa razy cyfra
    . (5 pkt)

11. Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i występują trzy trójki. (2011) (4 pkt)

12. Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy
    . (2012) (4 pkt)

13. Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru
    . (CKE) (3 pkt)

14. Na okręgu dany jest zbiór
    różnych punktów. Ile jest różnych wielokątów, których wierzchołki należą do danego zbioru? (Wielokąty są różne, jeżeli różnią się przynajmniej jednym wierzchołkiem.). (3 pkt)

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

15. W urnie są kule białe, niebieskie i czerwone. Kul białych jest o dwie mniej niż niebieskich, a czerwonych o dwie więcej niż niebieskich. Wyznacz liczbę kul w urnie wiedząc, że przy losowaniu bez zwracania trzech kul z urny prawdopodobieństwo wylosowania kul różnych kolorów jest równe
    . (4 pkt)

16. W urnie jest
    kul:
    białych i
    czerwone. Losujemy trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania: (4 pkt)

1. trzech kul białych,

2. jednej kuli białej i dwóch czerwonych,

3. co najmniej jednej kuli białej.

1. W urnie
   jest sześć kul białych i cztery kule czarne, a w urnie
   cztery kule białe i osiem kul czarnych. Rzucamy symetryczną kostka do gry. Jeżeli wypadnie liczba oczek podzielna przez
   , to losujemy bez zwracania dwie kule z urny
   , w przeciwnym wypadku z urny
   . Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania: (5 pkt)

1. dwóch kul białych,

2. dwóch kul o różnych kolorach.

1. Wśród
   losów loterii jest sześć wygrywających. Dla jakich wartości
   prawdopodobieństwo zakupienia dwóch losów wygrywających jest większe od
   ? (6 pkt)

2. Na loterii jest piętnaście losów, wśród których jeden los wygrywa całą stawkę, cztery losy wygrywają po
   stawki, a pozostałe losy są puste. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kupując trzy losy wygramy dokładnie całą stawkę? (4 pkt)

3. Wśród dwudziestu żarówek cztery są wadliwe. Wybrano losowo trzy żarówki. Jakie jest prawdopodobieństwo że wybrane żarówki są: (3 pkt)

1. wszystkie dobre,

2. dwie dobre i jedna wadliwa.

1. Zakład produkujący lampy elektronowe pracuje na dwie zmiany. Pierwsza zmiana wypuszcza przeciętnie
   lamp wadliwych, a druga zmiana
   . Pierwsza zmiana wytwarza dwukrotnie więcej lamp niż druga. Wszystkie lampy sprzedawane są na sklepie przyzakładowym. Kupiliśmy jedną lampę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że lampa jest dobra? (4 pkt)

2. Do hurtowni dostarczono sery z mleczarni
   Mleczarnia
   dostarcza
   sztuk,
   
   sztuk, zaś mleczarnia
   
   sztuk serów. Wiadomo, że mleczarnia
   produkuje i dostarcza tyle samo serów pełnotłustych co innych, mleczarnia
   - trzy razy więcej serów pełnotłustych niż innych, a mleczarnia
   - cztery razy więcej serów pełnotłustych niż innych. Wylosowano jedną sztukę sera. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest on pełnotłusty. (4 pkt)

3. Pierwszy strzelec trafia do celu w
   , a drugi w
   . Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej raz do celu, gdy obaj strzelają jednocześnie. (3 pkt)

4. Ze zbioru
   losujemy dwie liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest liczbą podzielną :

1. przez
   ? (2 pkt)

2. przez
   ? (4 pkt)

1. Niech
   będzie zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych i
   . Oblicz
   wiedząc, że
   . Sprawdź, czy zdarzenia
   i
   są zdarzeniami niezależnymi czyli spełniają warunek
   ? (4 pkt)

2. Spośród liczb naturalnych od
   do
   losujemy jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba dzieli się przez
   lub
   ? (3 pkt)

3. Zawierając w kolekturze Toto-Lotka jeden zakład w grze „Expres-Lotek” zakreślamy
   spośród
   liczb. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej
   spośród
   wylosowanych liczb. Wynik podaj w zaokrągleniu do
   . (3 pkt)

4. W pewnym liceum uczy się
   uczniów:
   w klasie I,
   w klasie II oraz
   w klasie III. Losowo wybieramy dwóch uczniów tego liceum. Jeden z nich uczy się w klasie niższej niż drugi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uczeń, który uczęszcza do klasy niższej, uczy się w klasie I? (4 pkt)

5. W pewnym zbiorze zdarzeń elementarnych dane są zdarzenia
   i
   takie, że
   ,
   . Oblicz
   (3 pkt)

6. Z pojemnika w którym jest
   kul białych i
   kul czarnych
   , wybieramy losowo jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymamy co najmniej dwie kule białe. (4 pkt)

7. Z danych ZUS wynika, że
   letnia kobieta ma
   szans na osiągnięcie wieku co najmniej
   lat, podczas gdy
   letni mężczyzna ma
   szans dożycia do co najmniej 85 lat. Jaką szansę dożycia wspólnie, do co najmniej
   lat mają
   letni małżonkowie? (3 pkt)

8. Niech
   oznacza zdarzenie, iż sprawca wypadku drogowego był pijany, zaś
   iż sprawca miał co najwyżej 25 lat. Niech
   oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia
   . Policja podaje, że
   ,
   ,
   . Oblicz: a)
   ; b)
   . (3 pkt)

9. Pies rozpoznaje zapach narkotyku z prawdopodobieństwem
   . Ile wynosi prawdopodobieństwo tego, że trzech różnych kurierów poddanych na lotnisku kontroli antynarkotykowej z udziałem psa zdoła przewieźć przynajmniej jeden ładunek narkotyku? (4 pkt)

10. M. Jordan został sfaulowany i otrzymał dwa rzuty osobiste. Wiadomo, że trafia on do kosza z prawdopodobieństwem
    . Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, iż trafi do kosza przy rzutach osobistych co najmniej raz? (3 pkt)

11. Prawdopodobieństwo tego, że pan Jerzy wróci do domu pijany wynosi w ciągu jednego tygodnia
    . Pan Jan wraca do domu w stanie nietrzeźwym z prawdopodobieństwem
    . Piją wspólnie tylko w poniedziałki i piątki.

a) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że nietrzeźwy będzie Jan lub

Jerzy. Czy jest to zdarzenie pewne? (2 pkt)

b) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że nietrzeźwy będzie Jan albo

Jerzy. (2 pkt)

12. Na ratunek zaginionego w górach turysty wysłano dwie działające niezależnie od siebie ekipy ratownicze. Pierwsza z nich ma
    szans na sukces, a druga
    . Jaka jest szansa odnalezienia turysty? (4 pkt)

13. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że za drugim razem otrzymano szóstkę, jeżeli wiadomo, że suma ilości wyrzuconych oczek była równa
    . (3 pkt)

14. Ze zbioru wszystkich funkcji
    wybieramy losowo jedną. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, iż wybrana funkcja jest różnowartościowa? (5 pkt)

15. Niech
    i
    będą dowolnymi zdarzeniami losowymi takimi, że
    

i
spełniają warunek
. Oblicz
;
. (3 pkt)

16. Niech
    będą niezależnymi zdarzeniami losowymi (
    ) i takimi, że z prawdopodobieństwem
    zachodzą jednocześnie oraz z prawdopodobieństwem
    żadne z nich nie zachodzi. Proszę wyznaczyć:
    . (4 pkt)

17. W sklepie są długopisy tylko dwóch firm. Wśród nich jest
    długopisów firmy
    i
    identycznie wyglądających długopisów firmy
    . Wśród wyrobów firmy
    jest
    wadliwych, zaś wśród wyrobów firmy
    ,
    wadliwych. W sklepie tym zakupujemy jeden długopis. Ile wynosi prawdopodobieństwo zakupienia wadliwego wyrobu? (4 pkt)

18. Wiadomo, że
    wszystkich mężczyzn to daltoniści i
    wszystkich kobiet to daltoniści. Z grupy liczącej
    mężczyzn i
    kobiet wybrano losowo jedną osobę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania mężczyzny pod warunkiem, że wylosowana osoba jest daltonistą. (3 pkt)

19. Rzucamy
    razy sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz szóstki jest większe od
    . Oblicz
    . (4 pkt)

20. Z liczb
    losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że iloczyn wylosowanych liczb będzie większy niż
    , jeśli wiadomo, że za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą. (3 pkt)

21. Niech
    i
    oznaczają dowolne zdarzenia losowe takie, że
    . Oblicz: a)
    ; b)
    . (3 pkt)

22. Prawdopodobieństwo trafienia do celu w jednym strzale jest równe
    . Niech
    oznacza liczbę strzałów, jaką należy oddać, aby prawdopodobieństwo tego, że cel zostanie trafiony co najmniej raz, było nie mniejsze niż
    . Oblicz
    . (4 pkt)

23. W urnie znajduje się
    kul białych i cztery kule czarne. Prawdopodobieństwo wylosowania w dwóch kolejnych losowaniach (bez zwrotu) kuli białej jest mniejsze od
    . Oblicz
    . (4 pkt)

24. Niech
    oznacza prawdopodobieństwo otrzymania co najwyżej raz orła w sześciu rzutach monetą. Niech
    oznacza prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz jedynki w dwóch rzutach kostką do gry. Wyznacz
    . (4 pkt)

25. W dwóch identycznych urnach znajdują się odpowiednio:
    kule białe i
    czarnych;
    kule białe,
    czarnych i
    zielone. Losujemy najpierw urnę i z niej wyjmujemy kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wybrania: (4 pkt)

1. kuli białej ;

2. kuli czarnej ;

3. kuli białej lub czarnej.

1. Niech
   oznacza prawdopodobieństwo uzyskania co najwyżej raz orła w pięciu rzutach monetą,
   oznacza prawdopodobieństwo otrzymania co najwyżej raz jedynki w dwóch rzutach kostką do gry. Oblicz
   . (4 pkt)

2. Rzucamy dwa razy kostką. Niech
   oznacza zdarzenie losowe polegające na tym, że w wyniku pierwszego rzutu otrzymano nieparzystą liczbę oczek,
   w wyniku drugiego rzutu otrzymano mniej oczek niż w wyniku pierwszego. Sprawdź warunek
   . (4 pkt)

3. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że za drugim razem otrzymano piątkę, jeżeli wiadomo, że suma ilości wyrzuconych oczek była równa
   . (3 pkt)

4. Dane są dwa zbiory
   . Wybieramy losowo zbiór, a następnie z tego zbioru liczbę
   . Oblicz prawdopodobieństwo, że liczba
   dzieli się przez
   . (5 pkt)

5. Uczniowie dojeżdżający do szkoły zaobserwowali, że spóźnienie autobusu zależy od tego, który z trzech kierowców prowadzi autobus. Przeprowadzili badania statystyczne i obliczyli, że w przypadku, gdy autobus prowadzi kierowca A, spóźnienie zdarza się w
   jego kursów, gdy prowadzi kierowca B w
   jego kursów, a gdy prowadzi kierowca C w
   jego kursów. W ciągu
   -dniowego tygodnia nauki dwa razy prowadzi autobus kierowca A, dwa razy kierowca B i jeden raz kierowca C. Oblicz prawdopodobieństwo spóźnienia się szkolnego autobusu w losowo wybrany dzień nauki. (2006) (4 pkt)

6. Niech
   będą zdarzeniami losowymi, takimi że
   oraz
   . Zbadaj, czy zdarzenia
   i
   są rozłączne. (3 pkt)

7. Para
   jest przestrzenią probabilistyczną, a
   i
   są zdarzeniami niezależnymi, czyli
   . Wykaż, że jeżeli
   , to jedno z tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym tj.
   lub
   . (2006) (4 pkt)

8. Niech
   będą zdarzeniami losowymi. Mając dane:
   i
   zbadaj czy
   spełniają warunek
   . (2006) (3 pkt)

9. Niech
   będą zdarzeniami o prawdopodobieństwach
   i
   . Wykaż, że jeżeli
   i
   , to prawdopodobieństwo warunkowe spełnia nierówność
   . (2007) (4 pkt)

10. Dane są zdarzenia losowe
    . Liczby
    , są w podanej kolejności pierwszym, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wiedząc, że :
    i
    , oblicz
    (6 pkt)

11. Średnio
    nasion pewnej rośliny kiełkuje. Z partii
    nasion wybieramy losowo
    . Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie
    z nich zakiełkuje? (3 pkt)

12. W klasie liczącej
    uczniów, dziewięciu obejrzało film pt. „Nasz XXI wiek”. Wychowawca klasy otrzymał
    bilety i zamierza wylosować uczniów, których zaprosi na projekcję tego filmu. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród czterech wylosowanych z tej klasy uczniów nie ma ucznia, który już ten film oglądał. (3 pkt)

13. W pudełku znajduje się
    płyt kompaktowych, w tym
    uszkodzonych. Wybieramy losowo
    płyt. Jakie jest prawdopodobieństwo wyboru
    płyt uszkodzonych? (3 pkt)

14. Spośród wszystkich wierzchołków sześcianu wybieramy jednocześnie trzy wierzchołki. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy wierzchołki trójkąta równobocznego. (3 pkt)

15. Z talii liczącej
    karty pokerzysta otrzymuje
    kart. Ile wynosi prawdopodobieństwo otrzymania
    dam i
    waletów? (3 pkt)

16. W pudle mamy
    książek po
    zł,
    książek po
    zł, i
    książki po
    zł. Wybieramy losowo bez zwracania trzy książki. Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania książek o tej samej cenie? (3 pkt)

17. Drużyna piłkarska składa się z
    zawodników białych i
    czarnoskórych. Gracze wychodzą z szatni pojedynczo. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, iż pierwsi dwaj zawodnicy przekraczający próg szatni należą do różnych ras? (5 pkt)

18. W urnie są
    białe kule,
    czerwonych oraz
    zielonych. Losujemy bez zwracania trzy kule. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że będą one tego samego koloru? (3 pkt)

19. Rzucono
    krotnie kostką do gry. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, iż co najmniej dwa razy wypadła „szóstka”? (3 pkt)

20. W urnie znajduje się
    kul, wśród których
    są białe. Wiadomo, że przy losowaniu dwóch kul z urny prawdopodobieństwo dwukrotnego wylosowania kuli białej jest większe od
    . Wyznacz
    . (4 pkt)

21. W urnie jest
    kul białych i
    kule czarne. Losujemy bez zwrotu
    kul. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, iż wśród wylosowanych kul jest co najwyżej jedna kula czarna. (3 pkt)

22. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, iż w trzech rzutach kostką do gry dokładnie dwa razy wypadła szóstka. (3 pkt)

23. Z talii kart do gry liczącej
    karty losujemy bez zwracania
    sztuk. Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania tzw. pokera (tzn. pięciu kolejnych kierów albo pięciu kolejnych pików albo .....itd.)? (3 pkt)

24. Spośród liczb
    wylosowano (bez zwracania) trzy liczby. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, iż wylosowane liczby są długościami boków trójkąta prostokątnego? (3 pkt)

25. W urnie znajduje się
    kul białych,
    czerwonych i
    czarnych. Ile wynosi prawdopodobieństwo tego, że losując kolejno
    kule (za każdym razem zwracając do urny wylosowaną kulę) wylosujemy dokładnie dwukrotnie białą kulę? (3 pkt)

26. Z pudełka zawierającego
    żarówek, wśród których jest
    wadliwych, wybrano losowo
    sztuki. Oblicz prawdopodobieństwo wybrania tylko dobrych żarówek. (3 pkt)

27. Z talii
    kart do gry losujemy bez zwracania
    sztuk. Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania tzw. karety (tzn.
    asów albo
    króli,......,albo
    siódemek)? (3 pkt)

28. Rzucamy trzy razy kostką do gry. Niech
    oznacza prawdopodobieństwo tego, że suma wyrzuconych oczek jest równa
    .
    oznacza prawdopodobieństwo tego, że suma wyrzuconych oczek jest równa
    . Oblicz
    . (4 pkt)

29. Do kopert z numerami od
    do
    wkładamy w sposób losowy kartki papieru z napisanymi numerami od
    do
    , do każdej koperty po jednej kartce. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że
    kartek trafi do kopert z odpowiednim numerem. (4 pkt)

30. Ze zbioru
    losujemy podzbiór dwuelementowy. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że suma liczb będących elementami wylosowanego podzbioru jest liczbą parzystą. (4 pkt)

31. Do szkoły zawodów szachowych zgłosiło się 16 uczniów, wśród których było dwóch faworytów. Organizatorzy zawodów zamierzają losowo podzielić szachistów na dwie jednakowo liczne grupy eliminacyjne: niebieską i żółtą. Oblicz prawdopodobieństwo, że faworyci tych zawodów nie znajdą się w tej samej grupie eliminacyjnej. Końcowy wynik obliczeń zapisz w postaci ułamka nieskracalnego. (2005 PP) (4 pkt)

32. W pewnej loterii jest
    losów w tym jeden wygrywający. W drugiej
    losów, w tym dwa wygrywające. W której loterii należy zakupić dwa losy, aby mieć większa szansę wygranej? (2005) (5 pkt)

33. Po Wiadomościach z kraju i ze świata telewizja TVG ma nadać pięć reklam: trzy reklamy różnych proszków do prania oraz dwie reklamy różnych past do zębów. Kolejność nadawania reklam jest ustalona losowo. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwie reklamy produktów tego samego rodzaju nie będą nadane bezpośrednio jedna po drugiej. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. (2006 PP) (3 pkt)

34. Z szuflady, w której znajduje się
    różnych par rękawiczek wybieramy losowo cztery rękawiczki. Opisz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a następnie oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
    - wśród wylosowanych rękawiczek nie będzie pary,
    - wśród wylosowanych rękawiczek będzie dokładnie jedna para. (CKE) (4 pkt)

35. Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo dwuosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdą się tylko kobiety jest równe
    . Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w tej grupie. (2008) (4 pkt)

36. Oblicz prawdopodobieństwo
    , jeśli
    . (2009) (4 pkt)

37. W urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. Kul białych jest trzy razy więcej niż czarnych. Oblicz, ile jest kul w urnie, jeśli przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul prawdopodobieństwo otrzymania kul o różnych kolorach jest większe od
    . (2009) (4 pkt)

38. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez
    . (2010) (4 pkt)

39. 
    są zdarzeniami losowymi zawartymi w
    . Wykaż, że jeżeli
    , to
    . (2011) (3 pkt)

40. Zdarzenia losowe
    są zawarte w
    oraz
    . Wykaż, że
    . (2012) (3 pkt)

STATYSTYKA

41. Tabela zawiera niektóre wyniki pisemnego sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej (ocenionego w sześciostopniowej skali ocen). Oblicz średnią ocen z tego sprawdzianu oraz odchylenie standardowe dla całej klasy. Wyniki podaj z zaokrągleniem do dwóch miejsc po przecinku. (CKE) (4 pkt)

	Dziewczęta	Chłopcy
Liczba osób
Średnia ocen
Odchylenie standardowe

ZADANIA DODATKOWE

42. Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Niech zdarzenie
    polega na tym, że za pierwszym rzutem wypadły co najmniej cztery oczka, zaś zdarzenie
    na tym, że suma wyrzuconych oczek w obu rzutach jest większa od
    . Czy zdarzenia
    są niezależne? Czy są rozłączne? Czy niezależność wyklucza rozłączność?

43. Czy łatwiej otrzymać: co najmniej
    orłów w dziesięciu rzutach moneta, czy sumę oczek równą
    w trzech rzutach kostką do gry?

44. W urnie są trzy kule białe i dwie czarne. Losujemy trzykrotnie po dwie kule, zwracając je za każdym razem do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzy razy otrzymamy kule tego samego koloru?

45. Na poszukiwania zaginionego w Tatrach turysty wysłano trzy grupy ratowników z TOPR. Zaginiony turysta może znajdować się w jednym z dwóch rejonów, w każdym z prawdopodobieństwem, odpowiednio
    i
    . Każda grupa znajduje przebywającego w rejonie poszukiwań zaginionego z prawdopodobieństwem
    i działa niezależnie od innych. Jak należy rozdzielić grupy między rejony poszukiwań, aby prawdopodobieństwo znalezienia turysty było największe?

46. Rzucono losowo
    polskich monet. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, iż wypadło więcej orłów niż reszek?

47. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia w pięciu rzutach kostką co najmniej raz liczby oczek nie większej od
    .

48. Rzucamy
    razy dwiema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz, dla jakich
    prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz tej samej liczby oczek na obu kostkach jest mniejsze od
    . (2005) (4 pkt)

49. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegające na tym, że na siedem rzutów kostką sześcienną do gry, co najmniej trzy razy wypadnie liczba oczek nie mniejsza niż
    .

50. Kasia i Tomek, świeżo poślubieni mieszkańcy Trójmiasta, Postanowili mieć czwórkę dzieci. Kasi marzą się trzej chłopcy i jedna dziewczynka, zaś Tomek dwie dziewczynki i dwóch chłopców, Wiedząc, że w Trójmieście na
    niemowląt rodzi się średnio
    chłopców oceń czyje marzenie ma większą szansę się spełnić.

51. Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że „jedynka” wypadnie co najmniej cztery razy.

52. 
    są zdarzeniami losowymi i
    . Wykaż, że
    .

53. Zawierając w kolekturze Toto-Lotka jeden zakład w grze „Expres-Lotek” zakreślamy
    spośród
    liczb. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej
    spośród
    wylosowanych liczb. Wynik podaj w zaokrągleniu do
    .

54. Na ile sposobów można ustawić na szachownicy osiem wież, tak aby żadne dwie się nie biły? Uzasadnij odpowiedź.

55. Na ustnym egzaminie maturalnym z matematyki zadawane są trzy pytania. Odpowiedź na każde pytanie egzaminator ocenia w skali od
    do
    i skreśla najniższą oraz najwyższą ocenę. Ocena, która zostanie, jest oceną końcową. Jeżeli prawdopodobieństwo otrzymania dowolnej oceny jest w przypadku każdej odpowiedzi takie samo i wynosi
    oraz oceny za poszczególne odpowiedzi są niezależne, to jakie jest prawdopodobieństwo, że maturzysta otrzyma
    ?

56. Wykaż, że jeżeli zdarzenia losowe
    spełniają warunki:
    to
    

57. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, iż w siedmiu rzutach monetą orzeł wypadł co najwyżej
    razy?

58. Rzucono parą identycznych kostek do gry.
    oznacza zdarzenie, iż na obydwu kostkach wypadła ta sama liczba oczek,
    oznacza zdarzenie, że suma wyrzuconych oczek jest równa
    . Czy zatem zdarzenia
    są niezależne?

59. W schemacie
    prób Bernoulliego prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu wynosi
    . Ile wynosi prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie?

60. W koło o promieniu
    wpisano kwadrat. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że spośród czterech losowo wybranych punktów koła, trzy będą należały do kwadratu.

61. Rzucono raz kostką do gry. Zdarzeniem
    jest „wypadła liczba oczek mniejsza niż
    ”, zdarzeniem
    - „wypadła parzysta liczba oczek”, zdarzeniem
    - „wypadła liczba oczek podzielna przez
    ”. Które ze zdarzeń są niezależne?

62. Rzucamy
    razy sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz szóstki jest większe od
    . Oblicz
    .

63. 
    oznaczają zdarzenia jednakowo prawdopodobne i takie, że
    Oblicz:
    .

64. Ze zbioru wszystkich funkcji określonych na zbiorze
    i przyjmujących wartości ze zbioru
    wybieramy losowo jedną. Ile wynosi prawdopodobieństwo tego, że jest to funkcja różnowartościowa?

65. Niech
    będą dowolnymi zdarzeniami losowymi takimi, że
    ,
    . Oblicz
    , jeżeli zawsze zachodzi co najmniej jedno z nich.

66. W schemacie Bernoulliego prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie jest równe
    . Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu w
    próbach.

67. O zdarzeniach losowych
    i
    wiemy, że są jednakowo prawdopodobne, że zawsze zachodzi co najmniej jedno z nich oraz
    . Oblicz
    .

68. W Anglii przeciętnie pięć dni w tygodniu jest deszczowych. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że dokładnie dwa dni podczas trzydniowego weekendu będą pogodne?

69. Ze zbioru wszystkich funkcji określonych na zbiorze
    i przyjmujących wartości ze zbioru
    wybieramy losowo jedną. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że jest to funkcja rosnąca. (5 pkt)

© MIROSŁAW JEDLIŃSKI

8

---