KF PŚK	Imię i nazwisko: Adrianna Lech	Wydział, Grupa: 110BU L19_a
Symbol ćwiczenia: E-5	Temat: Badanie rezonansu w obwodzie RLC.
Data wykonania: 25-10-2011r.	Data oddania do poprawy:	Ocena:

• Streszczenie:

Sprawozdanie z ćwiczenia, w którym badane było zjawisko rezonansu elektrycznego w obwodzie

RLC, zawierające wyjaśnienie zasady pomiaru, wyniki przeprowadzonych pomiarów, analizę

wraz z odpowiednim wykresem, obliczenia oraz wnioski.

• Teoria:

Obwodami rezonansowymi lub drgającymi nazywane są obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu.

Zjawisko to przedstawia taki stan pracy obwodu elektrycznego, przy którym reaktancja wypadkowa lub susceptancja wypadkowa jest równa zeru. W stanie rezonansu zatem napięcie i prąd na zaciskach rozpatrywanego obwodu są zgodne w fazie, argument impedancji lub admitancji zespolonej obwodu jest równy zeru. Obwód nie pobiera żadnej mocy biernej (moc bierna indukcyjna jest równa mocy biernej pojemnościowej – zjawisko kompensacji mocy).

Częstotliwość, przy której reaktancja wypadkowa lub susceptancja wypadkowa obwodu jest równa zeru nazywana jest częstotliwością rezonansową Jeżeli częstotliwość doprowadzonego sygnału sinusoidalnego jest równa częstotliwości rezonansowej to obwód osiąga stan rezonansu.

Rezonans występujący w obwodzie, w którym elementy R, L, C połączone są szeregowo, nazywamy rezonansem napięć lub rezonansem szeregowym.

Rezonans występujący w obwodzie, w którym połączone są równolegle gałęzie R, L oraz R, C lub gałęzie R, L, C nazywamy rezonansem prądów lub rezonansem równoległym.

Zjawisko rezonansu powstaje w obwodach RLC w wyniku odpowiedniego doboru parametrów oraz częstotliwości źródła zasilania. Ma ono duże znaczenie praktyczne zarówno w układach elektroenergetycznych (kompensacja mocy biernej), jak i w technice wysokich częstotliwości, teletechnice, metrologii elektrycznej. Oprócz tych przypadków, gdy rezonans jest zjawiskiem pożądanym, wykorzystywanym w technice, może się zdarzyć, że układy rezonansowe powstają w sposób przypadkowy i mają działanie szkodliwe (powstawanie przepięć rezonansowych).

Rezonans napięć

Zakładamy, że do dwójnika szeregowego R, L, C przyłożone jest napięcie sinusoidalnie zmienne o wartości skutecznej zespolonej E i pulsacji ω.

II prawo Kirchhoffa dla wartości skutecznych zespolonych:

Napięcia na cewce U_L i kondensatorze U_C są w przeciwfazie, a więc kompensują się wzajemnie w zależności od wartości reaktancji X_L i X_C. W przypadku gdy X_L=X_C następuje całkowita kompensacja tych napięć i napięcie zasilające E=RI, zatem kąt przesunięcia fazowego między prądem i napięciem w odwodzie jest równy zeru (ϕ=0).

Warunkiem rezonansu napięć jest:

Powyższy warunek rezonansu szeregowego spełniony jest dla pulsacji rezonansowej ω₀

częstotliwość rezonansowa wynosi zatem:

W stanie rezonansu szeregowego spełnione są zależności:

Z=R; E=U_R U_L+U_C=0 |U_L|=|U_C|

W stanie rezonansu napięć:

• impedancja obwodu jest równa rezystancji;

• napięcie przyłożone do obwodu jest jednocześnie napięciem na rezystancji;

• suma geometryczna napięć na indukcyjności i pojemności jest równa zeru;

• napięcie na indukcyjności jest co do modułu równe napięciu na pojemności

• ponieważ X=0, impedancja Z=R, prąd w obwodzie może osiągnąć bardzo dużą wartość, a w przypadku bardzo małej rezystancji źródło napięcia pracuje niemal w warunkach zwarcia.

Ze względu na równość modułów napięć na elementach reaktancyjnych rezonans w rozpatrywanym obwodzie nazywamy rezonansem napięć.

Poniżej przedstawiony został wykres wektorowy szeregowego obwodu RLC dla stanu rezonansu:

Charakterystyki prądu oraz napięć na elementach L, C przy , ω=var są graficzną interpretacją równań:

; ;

; ;

Impedancją falową ρ nazywamy reaktancję indukcyjną lub pojemnościową obwodu przy częstotliwości rezonansowej

Dobroć obwodu rezonansowego szeregowego wyraża stosunek napięcia na elemencie reaktancyjnym do napięcia na elemencie rezystancyjnym przy pulsacji rezonansowej ω₀

Zatem dobroć

Dobroć obwodu rezonansowego szeregowego jest miarą przepięcia występującego w obwodzie w czasie rezonansu; wskazuje ile razy napięcie na elemencie indukcyjnym lub pojemnościowym w stanie rezonansu jest większe od napięcia zasilania. W elektrotechnice, a w szczególności w radiotechnice dąży się do uzyskania dużej dobroci świadczącej o jakości obwodu rezonansowego (większej od kilkudziesięciu).

• Opis metody

W celu przeprowadzenia doświadczenia wykorzystaliśmy układ zbudowany z generatora funkcyjnego o regulowanej częstotliwości, kondensatora dekadowego, opornika dekadowego oraz zwojnicy dekadowej połączonych ze sobą szeregowo. Układ, na którym były wykonywane pomiary, zestawione według następującego schematu:

1. Generator Funkcyjny

2. Indukcyjność dekadowa

3. Kondensator dekadowy

4. Opornik dekadowy

Gdzie dwie części doświadczenia różniły sie miedzy sobą jedynie wartością oporu wskazanym na obwodzie. W pierwszej części doświadczenia badana była zależność prądu płynącego przez miliamperomierz od częstotliwości ustawionej na generatorze, dla R = 0 Ω na oporniku dekadowym, pojemności kondensatora C = 0,4 µF, oraz indukcyjności zwojnicy L = 0,3 H. Zaś w drugiej części zmieniliśmy tylko wartość oporu na R=100Ω.

Na podstawie znanej pojemności oraz częstotliwości, możliwe było wskazanie indukcyjności badanych zwojnic, ze wzoru $f_{R} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\text{LC}}}$, który łatwo przekształcić do postaci $L = \frac{1}{C}*\left( \frac{1}{2\pi f_{R}} \right)^{2}$.

• Obliczenia

Obliczam teoretyczna wartość częstotliwości rezonansowej, która powinna wystąpić dla ustawionych

na przyrządach dekadowych wartości indukcyjności i pojemności:

$\mathbf{f}_{\mathbf{r}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}\mathbf{\pi}\sqrt{\mathbf{\text{LC}}}}$

gdzie L= 0,3 H i C = 0,4µF = 0,4 * 10⁻⁶ F

$$\mathbf{f}_{\mathbf{r}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}\mathbf{\pi}\sqrt{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{H}\mathbf{*0}\mathbf{,}\mathbf{4*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}\mathbf{F}}}$$

f_r≈ 459 Hz

Wartość odczytana z wykresu wynosi natomiast:

f_R  ≈ 450Hz

Poniższa tabela przedstawia zależność natężenia prądu płynącego przez miliamperomierz od

częstotliwości prądu przemiennego z generatora, dla oporu równego 0 Ω uzupełniony o impedancję obwodu:

Lp.	f [Hz]	U [V]	R [Ω]	I [mA]	$$\mathbf{Z\ =}\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{I}}$$ [Ω]	R = 0 Ω IR = 23,49 mA
1.	200	3,2	0	2,03	1576,35
2.	250	3,2	0	2,92	1095,89
3.	300	3,2	0	4,20	761,90
4.	320	3,2	0	5,05	633,66
5.	340	3,2	0	6,02	531,56
6.	360	3,2	0	7,59	421,61
7.	380	3,2	0	9,89	323,56
8.	390	3,2	0	11,12	287,77
9.	400	3,2	0	12,99	246,34
10.	410	3,2	0	14,88	215,05
11.	420	3,2	0	17,03	187,90
12.	430	3,2	0	20,48	156,25
13.	440	3,2	0	22,18	144,27
14.	450	3,2	0	23,49	136,23
15.	460	3,2	0	22,25	143,82
16.	470	3,2	0	20,27	157,87
17.	480	3,2	0	17,69	180,89
18.	500	3,2	0	13,39	238,98
19.	520	3,2	0	11,03	290,12
20.	540	3,2	0	8,89	359,96
21.	560	3,2	0	7,73	413,97
22.	580	3,2	0	6,84	467,84
23.	600	3,2	0	6,04	529,80
24.	650	3,2	0	4,84	661,16
25.	700	3,2	0	4,07	786,24
26.	750	3,2	0	3,50	914,29
27.	800	3,2	0	3,10	1032,26
28.	850	3,2	0	2,79	1146,95
29.	900	3,2	0	2,56	1250,00
30.	950	3,2	0	2,33	1373,39
31.	1000	3,2	0	2,15	1488,37

Opór uzwojenia cewki indukcyjności wynosi:

$$\mathbf{R}_{\mathbf{L}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{I}_{\mathbf{R}}}\mathbf{-}\mathbf{R}_{\mathbf{P}}\mathbf{\approx}\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{I}_{\mathbf{R}}}$$

$$R_{L} \approx \frac{U}{I_{R}} = \frac{3,2\ V}{23,49*10^{- 3}\text{\ A}}$$

R_L≈136,23Ω

Odczytuje z wykresu bezwzględną szerokość połówkową krzywej rezonansowej:

$$\mathbf{I}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{R}}}{\sqrt{\mathbf{2}}}$$

$$I = \frac{23,49}{\sqrt{2}} \approx 16,61\ \text{mA}$$

f₂ − f₁ = f

f = 490 − 415 = 75Hz

Dzięki czemu mogę obliczyć względną szerokość połówkowa:

$$\frac{\mathbf{f}}{\mathbf{f}_{\mathbf{R}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{75}}{\mathbf{450}}\mathbf{\approx 0,17}$$

Poniższa tabela przedstawia zależność natężenia prądu płynącego przez miliamperomierz od

częstotliwości prądu przemiennego z generatora, dla oporu równego 100 Ω uzupełniony o impedancję obwodu:

Lp.	f [Hz]	U [V]	R [Ω]	I [mA]	$$\mathbf{Z\ =}\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{I}}$$ [Ω]	R = 100 Ω IR = 14,06 mA
1.	200	3,2	100	2,02	1584,16
2.	250	3,2	100	2,86	1118,88
3.	300	3,2	100	4,06	788,18
4.	320	3,2	100	4,81	665,28
5.	340	3,2	100	5,63	568,38
6.	360	3,2	100	6,85	467,15
7.	380	3,2	100	8,40	380,95
8.	390	3,2	100	9,18	348,58
9.	400	3,2	100	10,16	314,96
10.	410	3,2	100	11,00	290,90
11.	420	3,2	100	11,80	271,19
12.	430	3,2	100	13,00	246,15
13.	440	3,2	100	13,41	238,63
14.	450	3,2	100	14,06	227,60
15.	460	3,2	100	13,72	233,24
16.	470	3,2	100	13,25	241,51
17.	480	3,2	100	12,24	261,44
18.	500	3,2	100	10,40	307,69
19.	520	3,2	100	9,16	349,34
20.	540	3,2	100	7,78	411,31
21.	560	3,2	100	6,96	459,77
22.	580	3,2	100	6,28	509,55
23.	600	3,2	100	5,64	567,38
24.	650	3,2	100	4,63	691,14
25.	700	3,2	100	3,94	812,18
26.	750	3,2	100	3,41	938,42
27.	800	3,2	100	3,04	1052,63
28.	850	3,2	100	2,75	1163,64
29.	900	3,2	100	2,52	1269,84
30.	950	3,2	100	2,30	1391,30
31.	1000	3,2	100	2,14	1495,33

Opór uzwojenia cewki indukcyjności wynosi:

$$\mathbf{R}_{\mathbf{L}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{I}_{\mathbf{R}}}\mathbf{-}\mathbf{R}_{\mathbf{P}}\mathbf{\approx}\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{I}_{\mathbf{R}}}$$

$$R_{L} \approx \frac{U}{I_{R}} = \frac{3,2V}{14,06*10^{- 3}\text{\ A}}$$

R_L≈227,60 Ω

Odczytuje z wykresu bezwzględną szerokość połówkową krzywej rezonansowej:

$$\mathbf{I}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{R}}}{\sqrt{\mathbf{2}}}$$

$$I = \frac{14,06}{\sqrt{2}} = 9,94\ \text{mA}$$

f₂ − f₁ = f

f=505−397=108Hz

Dzięki czemu mogę obliczyć względną szerokość połówkowa:

$$\frac{\mathbf{}\mathbf{f}}{\mathbf{f}_{\mathbf{R}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{108}}{\mathbf{450}}\mathbf{\approx}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{24}$$

• Wnioski:

Zjawisko rezonansu elektrycznego w obwodzie RLC zostało zatem prawidłowo zbadane/

Cel ćwiczenia został pomyślnie/prawidłowo zrealizowany, ponieważ wyznaczona częstotliwość zgadza się z przewidywaniami teoretycznymi, różnica względnej wartości wynosi poniżej 2%, co świadczy o niewielkim/dopuszczalnym błędzie w pomiarach.

Częstotliwość rezonansowa odczytana z wykresu wynosi ok. f_R= 450 Hz, natomiast obliczona częstotliwość rezonansowa wynosi ok f_r=459 Hz. Analizując wykresy zależności I=I(f) dla obwodu z oporem równym 0 Ω oraz z oporem o wartości 100 Ω, widzimy że częstotliwość rezonansowa dla obu obwodów jest praktycznie taka sama. Oba wykresy są niemal identyczne a różnią się natężeniem prądu I_R, odpowiadającemu f_R. Dla obwodu z R= 0Ω I_R wynosi ok. I_R= 23,49 mA a dla obwodu z R= 100Ω I_R wynosi ok I_R= 14,06 mA. Wartość oporu uzwojenia cewki dla obwodu z R=0Ω wynosi R_L=136,23Ω, zaś dla obwodu z opornikiem R=100Ω R_L=227,60Ω..

Na wynik doświadczenia mogły wpłynąć następujące niedoskonałości:

1. Stały błąd na napięciu, pojemności, indukcyjności bądź częstotliwości generatora mógł spowodować

przesuniecie całej krzywej rezonansowej.

2. Przy odczycie wskazań amperomierza mógł wystąpić pewien błąd odczytu

3. Nagrzewanie sie elementów obwodu podczas wykonywania pomiarów mogło wpłynąć na

ich parametry.

4. Kondensator i cewka traktowane były jak elementy idealne. Nie uwzględniono także pojemności ani indukcyjności, szczególnie tej która mogła występować w obwodach wewnętrznych generatora.

• Literatura:

1. [ St. Bolkowski: Teoria obwodów elektrycznych, wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1986, s.150-157],

2.[J. Massalski, M. Massalska: Fizyka dla inżynierów, fizyka klasyczna 1, wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1980, s. 474, s.459],

3. [http://www.strzelczyk.org.pl/elektra/L6.pdf].