Obliczenia śrub mocujących reduktor

Tomasz Nogawczyk

Dane wejściowe:

T₁ = 72Nm

T₂ = 885Nm

P_r1 = 3925N

P_r2 = 3925N

Obliczenie przybliżonego ciężaru reduktora i jego poszczególnych elementów

Przybliżona objętość wału wejściowego wraz z kołem :414159mm³

Przybliżona objętość wału wyjściowego wraz z kołem : 1049857 mm³ stal + 125444 mm³ brąz

Gęstość stali: ρ = 0, 00786 g/mm³

Gęstość brązu: ρ = 0, 0083g/mm³

Masy poszczególnych elementów:

m_k = 47, 45 kg

m_wej = 3, 27kg

m_wyj = 9, 29 kg

W obliczeniach uwzględniono ponadto objętości korpusu, pokrywek, tulejki, kołnierza mocującego oraz ciężar oleju mineralnego.

Gęstość oleju : 0,845 kg/dm³

ilość oleju w przekładni: około 3,14 l

Przybliżony ciężar oleju: 3,14*0,845 = 2,91 kg

Ciężar całkowity reduktora: 70 kg

Ciężar całkowity bez kołnierza mocującego: 66,4 kg

Wniosek: Biorąc pod uwagę prostotę budowy reduktora oraz jego wymiary obliczona waga jest prawdopodobna.

Odległości:

a = 181mm

A = 261mm

b = 274mm

B = 274mm

C = 40 mm

Wyznaczenie środka ciężkości elementów przekładni i środka masy całego reduktora — kartka

Redukcja sił zewnętrznych do środka geometrycznego połączenia śrubowego S:

Równania równowagi:

$$\sum_{}^{}{Fix =}0 = \text{Pt}_{x}$$

$$\sum_{}^{}{Fiy =}P_{r2}^{} - P_{r1}^{} - G = - 651,4N = \text{Pt}_{y}$$

Siła normalna:

$$\sum_{}^{}{Fiz =}0N = P_{N}$$

Moment gnący względem osi x:

$$\sum_{}^{}{Mix =}T_{1} + P_{r2}^{} \times 0,166 = 72 - 3925 \times 0,166 = - 580Nm = M_{\text{gx}}$$

Moment gnący względem osi y:

$$\sum_{}^{}{Miy =}0 = M_{\text{gy}}$$

Moment gnący względem osi z:

$$\sum_{}^{}{Miz =}T_{2} + P_{r1} \bullet 0,237 + G*0,01 = 885 + 3925 \bullet 0,237 + 651,4*0,01 = 1822Nm = Ms$$

Najbardziej obciążona jest śruba nr 2. (n = 4 śrub).

Siła przypadająca na jedną śrubę od siły normalnej:

$$P_{\text{Ni}} = P_{N} = \frac{N}{n} = \frac{0}{4} = 0N$$

Wartość obciążenia zewnętrznego w śrubach od momentów gnących:

$$\left( N_{\text{Mgx}} \right)_{i} = \frac{M_{\text{gx}} \bullet \left| z_{i} \right|}{\sum_{i = 1}^{n}z_{i}^{2}}$$

$$\left( N_{\text{Mgx}} \right)_{1} = - \frac{M_{\text{gx}} \bullet \left| z_{i} \right|}{\sum_{i = 1}^{n}z_{i}^{2}} = - \frac{580\ N \bullet 0,117}{0,075} = - 905\ N\ sruba\ odciazona$$

$$\left( N_{\text{Mgx}} \right)_{2} = \frac{M_{\text{gx}} \bullet \left| z_{i} \right|}{\sum_{i = 1}^{n}z_{i}^{2}} = - \frac{580\ N \bullet 0,117}{0,075} = - 905N\ sruba\ odciazona$$

$$\left( N_{\text{Mgx}} \right)_{3} = \frac{M_{\text{gx}} \bullet \left| z_{i} \right|}{\sum_{i = 1}^{n}z_{i}^{2}} = \frac{580\ N \bullet 0,117}{0,075} = 905\ N\ sruba\ dociazona$$

$$\left( N_{\text{Mgx}} \right)_{4} = \frac{M_{\text{gx}} \bullet \left| z_{i} \right|}{\sum_{i = 1}^{n}z_{i}^{2}} = \frac{580\ N \bullet 0,117}{0,075} = 905\ N\ sruba\ dociazona$$

$$\sum_{i = 1}^{n}z_{i}^{2} = 6 \bullet \left( \frac{b}{2} \right)^{2} = 0,075\ m^{2}$$

$$\left( N_{\text{Mgz}} \right)_{i} = \frac{M_{\text{gz}} \bullet \left| x_{i} \right|}{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2}}$$

$$\left( N_{\text{Mgz}} \right)_{1} = - \frac{M_{\text{gz}} \bullet \left| x_{i} \right|}{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2}} = - \frac{1822\ N \bullet 0,111}{0,03} = - 6741\ N\ sruba\ odciazona$$

$$\left( N_{\text{Mgz}} \right)_{2} = - \frac{M_{\text{gz}} \bullet \left| x_{i} \right|}{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2}} = - \frac{1822\ N \bullet 0,111}{0,03} = 6741\ N\ sruba\ dociazona$$

$$\left( N_{\text{Mgz}} \right)_{3} = \frac{M_{\text{gz}} \bullet \left| x_{i} \right|}{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2}} = \frac{1822\ N \bullet 0,111}{0,03} = 6741\ N\ sruba\ dociazona$$

$$\left( N_{\text{Mgz}} \right)_{4} = - \frac{M_{\text{gz}} \bullet \left| x_{i} \right|}{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2}} = \frac{1822\ N \bullet 0,111}{0,03} = - 6741\ N\ sruba\ dciazona$$

$$\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} = 4 \bullet \left( \frac{a}{2} \right)^{2} = 0,03\ m^{2}$$

Wartość obciążeń zewnętrznych w poszczególnych śrubach:

P_i = P_Ni + (N_Mgx)_i + (N_Mgy)_i

P₁ = P_Ni + (N_Mgx)_i + (N_Mgy)_i = 0 − 905 − 6741 = −7646N

P₂ = P_Ni + (N_Mgx)_i + (N_Mgy)_i = 0 − 905 + 6741 = 5836N

P₃ = P_Ni + (N_Mgx)_i + (N_Mgy)_i = 0 + 905 + 6741 = 7646N

P₄ = P_Ni + (N_Mgx)_i + (N_Mgy)_i = 0 + 905 − 6741 = 5836N

Najbardziej obciążona jest śruba nr 3. (n = 4śrub).

Biegunowy moment styczny do powierzchni docisku:

S_o = S₀₁ − S₀₂

$$S_{01} = \frac{1}{12} \bullet \left\lbrack A^{3}\left( \frac{\sin\left( \text{arctg}\frac{B}{A} \right)}{\cos^{2}\left( \text{arctg}\frac{B}{A} \right)} + ln\left| \text{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\text{arctg}\frac{B}{A} \right) \right| \right) + B^{3}\left( \frac{\cos\left( \text{arctg}\frac{B}{A} \right)}{\sin^{2}\left( \text{arctg}\frac{B}{A} \right)} - ln\left| \text{tg}\left( \frac{1}{2}\text{arctg}\frac{B}{A} \right) \right| \right) \right\rbrack$$

$$S_{02} = \frac{1}{12} \bullet \left\lbrack a^{3}\left( \frac{\sin\left( \text{arctg}\frac{b}{a} \right)}{\cos^{2}\left( \text{arctg}\frac{b}{a} \right)} + ln\left| \text{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\text{arctg}\frac{b}{a} \right) \right| \right) + b^{3}\left( \frac{\cos\left( \text{arctg}\frac{b}{a} \right)}{\sin^{2}\left( \text{arctg}\frac{b}{a} \right)} - ln\left| \text{tg}\left( \frac{1}{2}\text{arctg}\frac{b}{a} \right) \right| \right) \right\rbrack$$

Podstawiając:

$$S_{01} = \frac{1}{12} \bullet \left\lbrack 261^{3} \bullet \left( \frac{\sin\left( \text{arctg}\frac{274}{261} \right)}{\cos^{2}\left( \text{arctg}\frac{274}{261} \right)} + ln\left| \text{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\text{arctg}\frac{274}{261} \right) \right| \right) + 274^{3}\left( \frac{\cos\left( \text{arctg}\frac{274}{261} \right)}{\sin^{2}\left( \text{arctg}\frac{274}{261} \right)} - ln\left| \text{tg}\left( \frac{1}{2}\text{arctg}\frac{274}{261} \right) \right| \right) \right\rbrack = 6852150\text{mm}^{3}$$

$$S_{02} = \frac{1}{12} \bullet \left\lbrack 181^{3} \bullet \left( \frac{\sin\left( \text{arctg}\frac{274}{181} \right)}{\cos^{2}\left( \text{arctg}\frac{274}{181} \right)} + ln\left| \text{tg}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\text{arctg}\frac{274}{181} \right) \right| \right) + 274^{3}\left( \frac{\cos\left( \text{arctg}\frac{274}{181} \right)}{\sin^{2}\left( \text{ar}\text{ctg}\frac{274}{181} \right)} - ln\left| \text{tg}\left( \frac{1}{2}\text{arctg}\frac{274}{181} \right) \right| \right) \right\rbrack = 3797487\text{mm}^{3}$$

S_o = S₀₁ − S₀₂ = 4762813 − 4067597 = 695216mm³

Pole powierzchni docisku:

A_doc = 4 * C² = 4 * 40² = 6400mm²

Siła resztkowa Q_r

P_tx = 0N

P_ty = −651, 4 N

Ms = 1822Nm

A = 6400mm²

S₀ = 695216 mm³

k = 1, 1

n = 4

μ = 0, 15

Q_r = Q_k = Q_k^Pix + Q_k^Piy + Q_k^T

$$Q_{r} = k\left( \frac{{P_{\text{tx}}}_{\ }}{\mu \bullet n} + \frac{P_{\text{ty}}}{\mu \bullet n} + \frac{Ms \bullet A}{\mu \bullet n \bullet S_{0}} \right) = 1,1 \bullet \left( \frac{0_{\ }}{0,15 \bullet 4} + \frac{651,4\ }{0,15 \bullet 4} + \frac{1822000 \bullet 6400}{0,15 \bullet 4 \bullet 695216} \right) = 38267\text{\ N}$$

Siła maksymalna działająca na śrubę najbardziej obciążoną Q_max

Q_max = Q_r + P

Q_max = 38267 + 7646 = 45913N

Siła napięcia wstępnego (przyjęto χ = 0, 1) Q₀

$$Q_{0} = Q_{\max} - \frac{c_{sr}}{c_{sr} - c_{k}}*P = Q_{\max} - \chi*P = 45913 - 0,1*7646 = 45148N$$

Wymagana średnica śruby d:

$$d \geq \sqrt[3]{\frac{4*Q_{\max}}{\pi*\frac{R_{e}}{x_{e}}*\zeta}} = \sqrt[3]{\frac{4*45913}{\pi*\frac{720}{2}*0,7}} \cong 6,144\text{mm}$$

ζ = 0, 7 współczynnik uwzględniający skręcanie śruby.

Przyjęty współczynnik bezpieczeństwa x_e = 2

$k_{r} = \ \frac{R_{e}}{x_{e}}$ — dla śruby o własnościach mechanicznych 8.9 Re=720 MPa

Wg PN-83/M-02013 przyjmuję śrubę M20 — 8.9 o średnicy d₃ = 19, 48mm

Wyznaczenie sztywności zespołu śruby i sztywności zespołu tulejki w celu ponownego obliczenia χ

$$\frac{1}{c_{s}} = \frac{1}{{c'}_{s}} + \frac{1}{{c'}_{k}}$$

$$c_{s}^{;} = \frac{E_{1}*A_{1}}{L} = \frac{2,1*10^{5}*298}{70} = 894000\frac{N}{\text{mm}}$$

$$A_{1} = \frac{\pi*d_{3}}{4} = \frac{\pi*{19,48}^{2}}{4} = 298\text{mm}^{2}$$

$$c_{k}^{;} = c_{k} = \frac{E_{2}*A_{2}}{l} = \frac{10^{5}*549}{60} = 915000\frac{N}{\text{mm}}$$

$$A_{2} = \frac{\pi}{4}*\left( D_{z}^{2} - D_{w}^{2} \right) = \frac{\pi}{4}*\left( {32,95}^{2} - {19,67}^{2} \right) = {549mm}^{2}$$

$$\frac{1}{c_{s}} = \frac{1}{{c'}_{s}} + \frac{1}{{c'}_{k}}$$

$$\frac{1}{c_{s}} = \frac{1}{894000} + \frac{1}{915000} = 2,21*10^{- 6}\frac{\text{mm}}{N}$$

$$c_{s} = 452189\ \frac{N}{\text{mm}}$$

$$\chi = \frac{c_{s}}{c_{s} + c_{k}} = \frac{452189}{452189 + 915000} = 0,33$$

E₁ = 2, 1 * 10⁵MPa

E₂ = 10⁵MPa

Siła napięcia wstępnego (wyznaczony współczynnik χ = 0, 33)Q₀:

$$Q_{0} = Q_{\max} - \frac{c_{sr}}{c_{sr} - c_{k}}*P = Q_{\max} - \chi*p = 45913 - 0,33*7646 = 43389N$$