Mechanika płynów – dział mechaniki zajmujący się zjawiskami zachodzącymi w płynie w spoczynku i ruchu w skutek działania sił.

Płyn – ciecze (mało ściśliwe, nieściśliwe), gazy (mocno ściśliwe); płyn jako ośrodek ciągły.

Płyn doskonały – nieściśliwy i nielepki.

Liczba Knudsena: $K_{n} = \frac{l^{'} - srednia\ droga\ swobodna\ molekul}{l - liniowy\ wymiar\ oplywanego\ ciala} < 0,01 - osrodek\ ciagly$

Gęstość: $\rho = \frac{\text{dm}}{\text{dv}} = \frac{m}{v}\lbrack\frac{\text{kg}}{m^{3}}\rbrack$ ; $\frac{1}{\rho} = v\lbrack\frac{m^{3}}{\text{kg}}\rbrack$ ; ρ = f(T, p)

Ciężar właściwy: $\gamma = \frac{G}{v}\left\lbrack \frac{N}{m^{3}} \right\rbrack\lbrack\frac{\text{kG}}{m^{3}}\rbrack$

Ciśnienie – jest łącznym efektem zderzeń molekuł ze ściankami naczynia, jest to stosunek zmiany pędu molekuł w jednostce czasu do powierzchni ścianki.

$$p = \frac{\sum_{}^{}m\frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}}}{A} = \frac{F}{A}\lbrack\frac{N}{m^{2}}\rbrack$$

Równanie manometryczne: p = ρ_mgh

U-rurka: P = P_a + ρ_mgh

Lepkość. Prawo tarcia Newtona: w przypadku nierównomiernego rozkładu średniego pędu molekuł w płynie zachodzi proces wyrównywania pędu, który prowadzi do powstania naprężeń stycznych czyli tarcia wewnętrznego. Wyraża się to poprzez lepkość płynu która jest zdolnością do przenoszenia naprężeń stycznych podczas ruchu.

$$\tau = n\ \frac{\partial v}{\partial n}\text{\ \ \ };\ \ n\lbrack\frac{\text{kg}}{m \bullet s}\rbrack - lepkosc\ dynamiczna;\ $$

$$\frac{\partial v}{\partial n} - przyrost\ predkosci\ w\ kirerunku\ normalnym$$

$$\vartheta = \ \frac{n}{\rho}\ \left\lbrack \frac{m^{2}}{s} \right\rbrack - lepkosc\ kinematyczna$$

Równanie ogólne ruchu płynu (równanie pędu Eulera):

Równanie Naviera-Stokesa: $\text{md}\overrightarrow{v} = \overrightarrow{F}\text{dt}$ ; $\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} = \frac{\overrightarrow{F}}{m}$

siły masowe – ciężar siła bezwładności itp., siły powierzchniowe – ciśnienie p, tarcie τ

Dla płynu doskonałego, tj. nielepkiego i nieściśliwego otrzymamy: $\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{F} - \frac{1}{\rho}\text{grad\ p}$ , albo po przekształceniu dp = ρ(F_xdx+F_ydy+F_zdz)

Zasada zachowania masy (równanie ciągłości przepływu):

Rozpatrujemy nieustalony przepływ ściśliwy w trójwymiarowym polu prędkości f=f(t,x,y,z). W płynie przepływającym stawiamy płaszczyzny kontrolne tak, aby zbadać zachowanie elementu o masie m i objętości ΔV w czasie dt podczas przepływu. ΔV=dxdydz

m = ρV = ρdxdydz ; $\frac{\text{dm}}{\text{dt}} = 0$ ;

$\frac{\text{dm}}{\text{dt}} = \nabla V\frac{\text{dρ}}{\text{dt}} + \rho\frac{d\left( V \right)}{\text{dt}} = 0$ ; $\frac{1}{\rho}\frac{\text{dρ}}{\text{dt}} + \frac{1}{V}\frac{d\left( V \right)}{\text{dt}} = 0$

pochodna substancjalna równania: $\frac{\text{dρ}}{\text{dt}} = \frac{\partial\rho}{\partial t} + \overrightarrow{V}\text{grad\ ρ}$

gradient p: $grad\ p = \overrightarrow{i}\frac{\partial p}{\partial x} + \overrightarrow{j}\frac{\partial p}{\partial y} + \overrightarrow{k}\frac{\partial p}{\partial z}$ ;

$\ \frac{1}{\rho}\frac{\text{dρ}}{\text{dt}} + 1\left( \frac{{\partial V}_{x}}{\partial x} + \frac{{\partial V}_{y}}{\partial y} + \frac{{\partial V}_{z}}{\partial z} \right) = 0$

dywergencja prędkości: $\text{div\ }\overrightarrow{v} = \nabla\overrightarrow{v}$ ;

$\text{div\ }\overrightarrow{v} = \frac{{\partial V}_{x}}{\partial x} + \frac{{\partial V}_{y}}{\partial y} + \frac{{\partial V}_{z}}{\partial z}$ ; $\frac{\text{dρ}}{\text{dt}} + \rho div\ \overrightarrow{v}$

W celu ułatwienia rozwiązywania (całkowania) zakładamy jednowymiarowy, ustalony przepływ płynu doskonałego:

$\frac{\text{dρ}}{\text{dt}} + \rho div\ \overrightarrow{v} = 0 \rightarrow f = f\left( x \right)$ ; $\frac{\text{dv}}{\text{dx}} = 0/A\rho dx$ ; Aρdv = 0 ; $\dot{\text{m\ }}\lbrack\frac{\text{kg}}{s}\rbrack = A\rho v = const$

−masowy strumien przeplywu ;

$\dot{m} = A_{1}\text{ρv}_{1} = A_{2}\text{ρv}_{2} = const$ ; $\frac{\dot{m}}{\rho} = \dot{V},Q\lbrack\frac{m^{3}}{s}\rbrack$ ; $\dot{V} = Av - strumien\ objetosci$

Metody wolumetryczne: $Q = \frac{v}{t}$ ; danoida h = f(Q)

Metody laboratoryjne:

- rotametry;

- sondy pomiarowe (Pitota, Prandtl’a);

- anemometry i termoanemometry;

Zwężki pomiarowe:

- kryza;

- dysza;

- zwężka Venturiego;

Zasada zachowania energii (równanie Bernoulliego):

E_m = E_u + E_p + E_pot ; E_u − energia wewnetrzna

Zakładamy jednowymiarowy przepływ płynu doskonałego w potencjalnym polu sił, spełniamy założenia:

- przepływ ustalony $\frac{\partial}{\partial t} = 0$

- przepływ bezwirowy $\text{rot\ }\overrightarrow{v} = 0$

- przepływ barotropowy ρ = ρ(p)

- przepływ w potencjalnym polu sił $W = \ \int_{}^{}\frac{\text{dp}}{\rho}$ ; $grad\ W = \frac{1}{\rho}\text{grad\ p}$ ; $\overrightarrow{F_{m}} = grad\ U$

Równanie Lamba-Gromeki: $\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} = \frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial t} + grad\left( \frac{v^{2}}{2} \right) - \left( \overrightarrow{v} \times rot\ \overrightarrow{v} \right) = \overrightarrow{F_{m}} - \frac{1}{\rho}\text{\ grad\ p}$ ; $\text{grad\ }\left( \frac{v^{2}}{2} \right) + grad\ W - grad\ U = 0$ ;

$grad\ (\frac{v^{2}}{2} + W - U)/S$ ; $\frac{v^{2}}{2} + W - U = const$

Całka Cauchy’ego-Lagrange’a: $W = \int_{}^{}\frac{\text{dp}}{\rho} = \frac{1}{\rho}\int_{}^{}\text{dp} = \frac{p}{\rho} + C_{1}$ ; $\overrightarrow{F_{m}} = grad\ U$ ; U = −gz

W przepływie doskonałym suma energii kinetycznej, energii potencjalnej i ciśnienia jest wielkością stałą: $\frac{v^{2}}{2} + \frac{p}{\rho} + gz = const\ \lbrack\frac{I}{\text{kg}}\rbrack$

W przepływie doskonałym suma ciśnienia dynamicznego, statycznego i hydrostatycznego jest wielkością stałą: $\rho\frac{v^{2}}{2} + p + \rho gz = const\ \lbrack Pa\rbrack$

W przepływie doskonałym suma wszystkich prędkości, ciśnienia i położenia jest wielkością stałą:

$\frac{v^{2}}{2g} + \frac{p}{\text{ρg}} + z = const\ \lbrack m\rbrack$

Reakcja hydrodynamiczna:

$\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} = \ \overrightarrow{F} - \frac{1}{\rho}\text{grad\ p}$ – zasada zachowania pędu ; P₁ = p₁A₁ ; P₂ = p₂A₂ ; −F = R_n → reakcja hydrodynsmiczna ;

F –siła z jaką kanał działa na płyn

$$\overrightarrow{R_{n}} = \dot{m}\left( \overrightarrow{v_{1}} - \overrightarrow{v_{2}} \right) + \overrightarrow{P_{1}} + \overrightarrow{P_{2}}$$

- turbiny parowe i gazowe $\overrightarrow{R_{n}} = \dot{m}\left( \overrightarrow{v_{1}} - \overrightarrow{v_{2}} \right) \rightarrow akcyjne\ dzialanie\ strugi$

- I stopnie turbiny Beltona parowych$\rightarrow \overrightarrow{R_{n}} = m2\overrightarrow{v}$ ; $\overrightarrow{R_{n}} = \dot{m}\overrightarrow{v} \rightarrow efekt\ rakietowy$

- silniki odrzutowe i rakietowe

Zasada zachowania krętu w przepływie:

Zmiana krętu masy płynu w jednostce czasu względem dowolnego bieguna jest równa momentowi wszystkich sił zewnętrznych względem tego bieguna

$$\overrightarrow{M} = \frac{d(m\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{r})}{\text{dt}}$$

Równanie rozwiążemy dla przepływu przez kanały między łopatkami wirnika pompy wirowej odśrodkowej. Zastosowanie w maszynach przepływowych o promieniowym kierunku przepływu np. wentylatory promieniowe, turbiny wodne dośrodkowe i inne.

$\left\{ \begin{matrix} U_{1} = \omega r_{1} \\ U_{2} = \omega r_{2} \\ \end{matrix} \right.\ $ ; W₁, W₂ → predkosci wzgledne ; $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{U} + \overrightarrow{W}$

$M = \dot{m}(r_{2}C_{U_{2}} - r_{1}C_{U_{1}})$ ; C_U1 = C₁cosα₁ ; C_U2 = C₂cosα₂

moc→N = Mω ; $N = \dot{m}(U_{2}C_{U_{2}} - U_{1}C_{U_{1}})$