1)PARAMETRY DRGAŃ

Drgania - drganiami nazywamy ruch, podczas którego charakteryzujące

go wielkości fizyczne (parametry kinematyczne) przemieszczenie, prędkość,

przyspieszenie zmieniają swą wartość rosnąc i malejąc na przemian

Liczba stopni swobody układu drgającego - równa jest minimalnej liczbie

q niezależnych współrzędnych niezbędnych do opisu drgań w dowolnym

czasie. Jeden stopień swobody może mieć tylko jedno ciało sztywne.

Drgania okresowe - to drgania opisane funkcją x(t) = x(t + T) dla

wszystkich wartości czasu t i pewnych T¹ 0. Najmniejszy odstęp czasu T,

Do salaterki wlewamy łyżkę mleka i wsypujemy łyżeczkę mąki. Dokładnie ucieramy je ze sobą, tak żeby nie było ani jednej grudki. dla

którego zachodzi powyższa równość nazywamy okresem drgań.

Częstotliwość drgań, to liczba cykli drgań zachodzących w ciągu jednej

sekundy, zwykle oznacza się ją literą f i podaje się ją w hercach

Częstość kołowa drgań. Częstość kołową drgań zdefiniujemy na

podstawie najprostszego ruchu okresowego, jakim jest ruch harmoniczny

opisany równaniem w postaci

x(t) = Asin(ω× t + β)

A - amplitudą drgań w [m],

β - kątem przesunięcia fazowego w [rad]

ω - jest częstością kołową drgań określaną wzorem

ω = 2 ×π× f =2π/ T

Przedstawia ona liczbę cykli drgań odbywającą się w ciągu 2 ×π sekund.

Częstości kołowe ω lub α podajemy często krócej nazywając

Do wielkości charakteryzujących drgania należą, oprócz mas i masowych

momentów bezwładności, następujące parametry:

Bierzemy drugą salaterke (WAŻNE: nie może być w niej ani kropli wody!). Rozdzielamy jajka wrzucając białka do nowej salaterki, a żółtka do rozmieszanej mąki i mleka.

współczynnik sztywności i współczynnik tłumienia. Współczynnik sztywności

(lub krócej sztywność) elementu sprężystego – jest to stosunek obciążenia do

odkształcenia (odkształcenie to jest zgodne z kierunkiem obciążenia), które go

powoduje.

Dla odkształceń prostoliniowych (translacyjnych) współczynnik ten jest

określany zależnością:

P - siła w elemencie sprężystym w [N],

Δx - odkształcenie prostoliniowe elementu sprężystego w [m].

Dla odkształceń obrotowych (rotacyjnych) współczynnik sztywności

wyraża się zależnością

Ms - moment pary sił w elemencie sprężystym w [N×m] ,

Δϕ- odkształcenie obrotowe elementu sprężystego w [rad].

Dla tłumienia liniowego (wiskotycznego), które cechuje siła oporu

proporcjonalna do prędkości przemieszczenia elementu tłumiącego wzory

określające współczynniki tłumienia (lub krócej tłumienia) są podobne do

wzorów określających współczynniki sprężystości i tak

T - siła w elemencie tłumiącym w [N],

Δx - prędkość odkształcenia prostoliniowego (translacyjnego) elementu tłumiącego [m/s]

2)RODZAJE WYMUSZEŃ DRGAŃ

Typowymi przypadkami wymuszeń drgań są:

1. Wymuszenia siłowe - jeżeli na układ działa zadane obciążenie zmienne w

czasie w postaci siły P(t) lub pary sił M(t), to obciążenie takie nazywamy

wymuszeniem siłowym,

2. Wymuszenia kinematyczne - jeśli układ jest wymuszony danym ruchem jego

wybranych elementów (na przykład końców elementów sprężystych), to

wymuszenie takie nazywamy wymuszeniem kinematycznym. Dla takiego

przypadku dane jest równanie ruchu końców elementów sprężystych q(t)

natomiast niewiadomą jest siła lub moment przyłożony do końców elementów

powodujący ten ruch. Dla ruchu prostoliniowego q(t) = x(t), dla ruchu

rotacyjnego q(t) = j(t) .

3. Wymuszenia odśrodkowymi siłami bezwładności – są pewną odmianą

wymuszenia siłowego, które powstaje wskutek niewyrównoważenia

(niewyważenia) mas wirujących.

Na rysunku wyżej pokazano wymuszającą siłę odśrodkową P(t) i jej

składową P(t) = meω²sin(ω× t) , gdzie

m - masa wirnika,

M - masa pozostałych elementów łącznie z masą wirnika,

e - mała wielkość niewyrównoważenia podawana w [m]

k - współczynnik sztywności.

4)DRGANIA UKŁADÓW O JEDNYM STOPNIU SWOBODY

Bez tłumienia

Do analizy dynamicznej maszyny, urządzenia wprowadza się ogólniejsze

pojęcie - układu mechanicznego i na podstawie budowy oraz działania układu

mechanicznego tworzymy model funkcjonalny (fenomenologiczny).

Na paletni rozpuszczamy łyżkę masła lub margaryny. Przekładamy masę na patelnię. Smażymy na jasny brąz, po czym przerzucamy omlet na drugą stronę. Przerzucanie omletu to operacja trudna. Ja zawsze pomagam sobie dwiema łopatkami do smażenia.

Ruch modelu fizycznego

opisany jest przez ułożone równania różniczkowe lub całkowe. Rozwiązania

ułożonych równań odbywa się najczęściej poprzez przeprowadzenie symulacji

komputerowej (łatwa możliwość zmian parametrów i wymuszeń dają podstawy

do oceny własności dynamicznych modelu).

Rozważmy dwa układy drgające o jednym stopniu swobody, w którym

położenie masy M określamy przez podanie położenia jednej współrzędnej

uogólnionej q

Ruch układów możemy opisać jednym równaniem różniczkowym zwyczajnym

drugiego rzędu w postaci

M$\ddot{q}$ +Kq = 0

$\ddot{q} = \frac{d^{2}q}{dt^{2}}$- przyśpieszenie masy m

M = m dla ruchu prostoliniowego,

M = J dla ruchu obrotowego,

K = k dla ruchu prostoliniowego

K = ks dla ruchu obrotowego $ks = \frac{GI_{0}}{I}$

G - moduł odkształcenia postaciowego,

I0 - biegunowy moment bezwładności przekroju,

l - długość elementu sprężystego).

Współrzędna uogólniona

q = x dla ruchu prostoliniowego,

q = ϕ dla ruchu obrotowego.

Rozwiązanie równania różniczkowego przewiduje się w postaci

q = Asin(α× t) +Bcos(α × t) .

Wyznaczając pochodną względem czasu otrzymujemy prędkość

$\dot{q}$= A×α× cos(α× t) -B×α× sin(α× t) .

5)Drgania swobodne o jednym stopniu swobody z tłumieniem

Dotąd zakładaliśmy, że w układach drgających nie ma strat energii.

Wiemy, że w rzeczywistych układach drgających straty energii, choć często

małe, występują powodując zmniejszenie amplitudy drgań. Nawet zakładając,

że nie ma oporów tarcia (układ drgający znajduje się w otoczeniu idealnym), to

drgania są tłumione wskutek tarcia wewnętrznego (materiałowego). Siłę tarcia

wewnętrznego można przybliżyć jako proporcjonalną do prędkości względnej.

Model siły tarcia proporcjonalny do prędkości względnej ma wiele

praktycznych zastosowań. Przykładowo modelem takim może być tłok

poruszający się w cylindrze z olejem. Ogólnie, gdy przepływ oleju przez otwory

tłoka jest laminarny, to takie tłumienie nazywamy wiskotycznym (liniowym).

Inne funkcje opisują tłumienie, gdy przepływ oleju jest burzliwy. Rodzaj przepływu zależy od liczby Reynoldsa, którą przedstawia wzór $Re = \frac{D_{h}v}{\eta}$

Dh - średnica hydrauliczna otworu,

v - średnia prędkość przepływu oleju,

η- współczynnik lepkości kinematycznej

Chcąc opisać wpływ tłumienia na drgania

rozważono model układu drgającego posiadający sprężynę o sztywności k oraz

tłumik wiskotyczny o współczynniku tłumienia c.

Równanie ruchu ma postać

m$\ddot{x}$ + c$\dot{x}$+ kx = 0

lub w odniesieniu do jednostki masy

$\ddot{x}$+ 2h$\dot{x}$ + α²x =0

$h = \frac{c}{2m}$ $\text{\ \ \ \ \ α}^{2} = \frac{k}{m}$

Drgania układu powstaną przez wymuszenie warunkami początkowymi, które

są określone następująco dla t = 0 jest x = x₀ oraz $\dot{x}$= v₀ .Warunki początkowe

zapisuje się również w postaci x(0) = x₀ oraz $\dot{x}$(0) = v₀ .

Rozwiązanie powyższego równania można poszukiwać w postaci funkcji

wykładniczej x = e^st . Po wstawieniu tego rozwiązania oraz jego pierwszej i

drugiej pochodnej względem czasu do równania otrzymujemy równanie

charakterystyczne, które ma postać

s² + 2hs + α² =0 .

$$s_{1,2} = \frac{- 2h \pm \sqrt{{4h}^{2} - 4\alpha^{2}}}{2} = - h \pm \sqrt{h^{2} - \alpha^{2}}$$

Jeśli h > α, czyli s1 < 0 i s2 < 0 , to h ma wartość, przy którym układ zatraca

zdolność drgań. Natomiast, gdy h = α ,czyli s1 = s2 = -h - ruch układu również

nie ma charakteru oscylacyjnego, w tym przypadku występuje tak zwane

tłumienie krytyczne. Jest, więc

gdy h <α, czyli c< c_kr wówczas h²- α²=0

Rozwiązanie równania ruchu drgającego jest liniową kombinacją dwóch

rozwiązań, które są liniowo niezależne i maja postać

Stałe A i B wyznaczamy z warunków początkowych x(0) = x₀ oraz $\dot{x}$(0) = v₀ .

Pochodna względem czasu z powyższej równości przedstawia się

6) Drgania wymuszone o jednym stopniu swobody bez tłumienia

Rozpatrzmy układ drgający o liniowej charakterystyce sprężystej

z pominięciem sił tłumienia z wymuszeniem siłowym harmonicznym.

Równanie ruchu ma postać

lub odniesione do jednostki masy

Rozwiązanie równania ruchu przedstawia się x = x1 + x2 .

Powyższe równanie będzie równe zeru, gdy wyrażenie stojące za funkcją sinus

(ujęte w nawiasy okrągłe będzie równe zero). Stąd stała C wynosi

Teraz rozwiązanie równania ruchu x = x1 + x2 wyraża się

7) Mając zapis przebiegu czasowego drgań tłumionych możemy wyznaczyć

stosunek dwu kolejnych wychyleń odległych o okres T. Stosunek ten jest

wielkością stałą i nazywany jest dekrementem tłumienia. Logarytm naturalny

tego stosunku nazywa się logarytmicznym dekrementem tłumienia, który

określa wzór

Powyższy wzór zapisany w postaci

10. Krótko opisać drgania układu ciągłego (struny wykonującej drgania swobodne poprzeczne).Do ułożenia równań ruchu swobodnego struny, zakładamy: stałe napięcie

wstępne T struny. Małe drgania struny powoduje, że kąt jaki tworzy styczna do

struny z osią x można określić wzorem

W rozważaniach pomijamy rozproszenie energii.

Do napisania równania ruchu struny (równanie rzutów sił na kierunek osi

y(x,t) posłużono się rysunkiem b) na którym pokazano wycięty element struny

o długości dx ograniczony przekrojami o współrzędnych x, x+dx. Stosując

oznaczenia jak na rysunku mamy

dm = ρFdx - masa wyciętego elementu,

ρ - gęstość materiału struny,

F - przekrój struny,

Po przyjęciu oznaczenia

otrzymujemy równanie ruchu struny

w postaci

Gotowy omlet jemy natychmiast, zanim opadnie. Można go polać syropem malinowym, posmarować ulubionym dżemem albo udekorować sezonowymi owocami (truskawkami, jagodami). Owoce należy wcześniej zasypać cukrem, żeby puściły sok. Można dodać do nich również trochę śmietany. 
Smacznego!