3. Miary zróżnicowania – określają w jakim stopniu poszczególne wartości jednostek próby są rozproszone wokół wartości centralnej (średniej)

Pokazują jak duże są różnice (odchylenia między poszczególnymi wartościami a średnią (arytmetyczną/medianą)

Im mniejsze są różnice tym bardziej jednorodna jest badana zbiorowość i tym mniejsza próba jest potrzebna do uzyskania miarodajnego wyniku.

Siłę zróżnicowania oceniamy za pomocą :

• Miar pozycyjnych

  • Rozstęp (obszar zmienności)

  • Odchylenie międzykwartylowe (ćwiartkowe)

• Miar klasycznych

  • Odchylenie przeciętne

  • Wariancja

  • Odchylenie standardowe

A)Miary pozycyjne

Rozstęp (R)

Różnica między wartością maksymalną i minimalną danej próby

Daje pewne wyobrażenie o rozproszeniu, ale nie jest zbyt precyzyjną miarą rozrzutu.

Odchylenie ćwiartkowe (Q)

Stosowane gdy dane przedstawione są sumarycznie przez Me

Jest to różnica kwartyla górnego i dolnego podzielona przez dwa

Q= (Q₃ –Q₁)/2

Parametr nie uwzględnia rzędu wielkości obserwacji (za wyjątkiem wartości wyznaczających Q1 i Q2).

Często stosuje się jako ilustrację zbioru, zwłaszcza przy danych klimatycznych

B) Miary klasyczne

Odchylenie przeciętne (OP)

Jest to przeciętna różnica pomiędzy poszczególnymi danymi a wartością średnią (należy pamiętać o wartości bezwzględnej w różnicy).

Dla szeregu punktowego i przedziałowego mnożymy przez liczbę danych w punkcie/klasie

Wariancja (σ²/S²) i odchylenie standardowe (σ/S)

Wariancja to suma kwadratów wszystkich odchyleń cząstkowych, podzielona przez ich liczbę.

Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji.

Parametr dla całej zbiorowości oznaczamy σ, a dla próby S.

Wariancję nazywamy inaczej momentem centralnym drugiego rzędu.

Dla szeregu punktowego mnożymy poszczególne człony przez ich liczebność (n_i).

Dla szeregu przedziałowego stosujemy różnice od środków klas.

Mianem wariancji jest kwadrat jednostki fizycznej, w jakiej badana jest mierzona cecha

Im zbiorowość bardziej zróżnicowana, tym jej wartość jest wyższa.

Słabością jest że wzór na wariancję zależy od średniej.

Wskaźnik zmienności

Odchylenie ćwiartkowe podzielone przez medianę razy 100%

Zmienność względna

OP/średnia arytmetyczna * 100%

Współczynnik zmienności (V)

S/średnia arytmetyczna * 100%

Współczynnik zmienności świadczy o sile zmienności:

• Poniżej 10%- cechy wykazują nieistotnie statystyczne zróżnicowanie

• Od 15 do 35%- zazwyczaj w takich granicach

• Powyżej 60%- zbiorowość niejednorodna z punktu widzenia badanych cech (ogromna zmienność)

Wynik V informuje że rozproszenie danych wokół średniej arytmetycznej lub mediany jest słabe/umiarkowany/duże/ bardzo duże

Średnia arytmetyczna/ mediana dobrze/dość dobrze /niezbyt dobrze/prawie w ogóle (nie) charakteryzuje średniego poziomu badanego zjawiska

3. Miary asymetrii

Dostarczają informacji na temat symetrii rozkładu lub jej braku

Trzeci moment centralny (M₃)

Suma trzecich potęg odchyleń wartości zmiennej od wartości średniej podzielona przez n. Miara jest mianowana

• M₃ = 0 rozkład symetryczny

• M₃ <0 – asymetria lewostronna

• M₃> 0 - asymetria prawostronna

Moment standaryzowany trzeciego rzędu

Jest to standaryzowany M₃ (miara niemianowana) ma tę przewagę nad M₃, że pozwala porównywać różne rozkłady

A=m₃/s³

Współczynnik asymetrii

Miara niemianowana i unormowana, co umożliwia porównywanie różnych rozkładów.

Zazwyczaj jest zawarte pomiędzy minus 1 a 1

Tylko przy bardzo silnej asymetrii wychodzi poza ten przedział

Jest różnica średniej arytmetycznej i mody podzielona przez odchylenie standardowe.

Gdy A_S jest mniejsze od zera asymetria jest lewostronna, gdy większe od zera asymetria jest prawostronna, gdy równy zeru rozkład jest symetryczny.

Wskaźnik asymetrii (skośności) W₃

Miara bezwzględna asymetrii; nie można go używać do porównywania asymetrii w zbiorowościach, w których wartość zmiennej wyrażona jest w różnych jednostkach miary.

Określa jedynie kierunek asymetrii (prawo- lub lewostronna), a nie wykazuje jej siły, gdyż jest wielkością nienormowaną.

Jest różnicą średniej arytmetycznej (przeciętnej) i mody.

• W_S = 0 rozkład symetryczny

• W_S <0 asymetria lewostronna

• W_S >0 asymetria prawostronna

4. Miary koncentracji

Wskazują nierównomierne rozdysponowanie wartości zmiennej w próbie lub na koncentrację zbiorowości wokół średniej.

Czwarty moment centralny M₄

W celu określenia koncentracji obserwacji wokół średniej należy badany rozkład porównywać z innymi , w którym skupienie elementów będzie typowe > czyli z rozkładem normalnym

Wzór jest taki sam jak do M₃, ale różni się potęgą

Kurtoza K (współczynnik spłaszczenia)

Parametr niemianowany- będąca miarą spłaszczenia rozkładu. Standaryzowany M₄.

K= M₄/S⁴ lub

• K= 3 rozkład symetryczny –normalny

• K > 3Rozkład platykurtyczny (spłaszczony)

• K < 3 Rozkład leptokurtyczny (szpiczasty)

Czasami dla uproszczenia stosuje się wzór K=M₄/S⁴ - 3