Zadanie 1) Wybrano najbardziej popularne modele samochodu marki FIAT, aby sprawdzić jak bardzo różnią się między sobą zużyciem benzyny (w litrach na 100 km):
| Model samochodu | Zużycie benzyny (w litrach) |
|---|---|
125p 126p Albea Brava Bravo Cinquecento Doblo Ducato Marea Palio Panda Punto Seicento Siena Stilo Tempra Tipo Uno |
9,7 5,9 6,6 8,2 7,7 6,2 7,7 11,5 8,4 7,1 6,2 6,2 6,2 8,2 7,5 9,0 8,8 6,6 |
Źródło: Niezależny Portal Motoryzacyjny „AutoCentrum.pl”.
Oceń zróżnicowanie badanych samochodów pod kątem zużycia benzyny.
Rozwiązanie:
Chcąc ocenić zróżnicowanie (dyspersję) badanych samochodów pod kątem zużycia benzyny, obliczymy dwie miary mówiące o tym jak bardzo poszczególne samochody różnią się spalaniem benzyny względem średniej arytmetycznej, a mianowicie odchylenie standardowe oraz współczynnik zmienności. Średnia arytmetyczna, wyliczona ze wzoru wynosi = 7,65 litrów. Odchylenie standardowe (pierwsza ze wspomnianych miar opisujących dyspersję) informuje o ile przeciętnie poszczególne samochody różnią się zużyciem benzyny od wyliczonej średniej. Dobrze obrazuje to wykres 1, na którym zaznaczono spalanie benzyny przez poszczególne samochody, a przerywaną linią - średnią arytmetyczną. Dzięki temu widać, który model samochodu spala najmniej (Fiat 126p), który najwięcej (Ducato), który najbardziej (Ducato), a który najmniej (Bravo i Doblo) różni się zużyciem benzyny od średniej arytmetycznej.
Wykres 1. Zróżnicowanie badanych samochodów względem średniej arytmetycznej pod kątem zużycia benzyny
Źródło: Opracowanie własne na podstawie tabeli z danymi.
Odchylenie standardowe, wyliczone według wzoru wynosi = 1,44 litry. Oznacza to, że poszczególne modele Fiata różnią się zużyciem benzyny od średniego zużycia (wynoszącego 7,65 litry) przeciętnie o ± 1,44 litry. Na pytanie czy jest to małe, umiarkowane czy duże zróżnicowanie odpowiemy, kiedy wyliczymy drugą z miar mówiącą o zróżnicowaniu badanych jednostek wokół średniej, a mianowicie współczynnik zmienności. Wyznacza się go ze wzoru , który w niniejszym przykładzie wynosi = 18,82%. Oznacza to, że badane modele samochodów charakteryzują się małym zróżnicowaniem zużycia benzyny (Vx ≤ 35%), a zatem wyliczona średnia arytmetyczna bardzo dobrze opisuje przeciętny poziom badanego zjawiska. Można też powiedzieć, że badane samochody pod kątem zużycia benzyny są dość jednorodną zbiorowością statystyczną.
Tabela pomocnicza:
| Model samochodu | Zużycie benzyny (xi) |
(xi - )2 |
|---|---|---|
125p 126p Albea Brava Bravo Cinquecento Doblo Ducato Marea Palio Panda Punto Seicento Siena Stilo Tempra Tipo Uno |
9,7 5,9 6,6 8,2 7,7 6,2 7,7 11,5 8,4 7,1 6,2 6,2 6,2 8,2 7,5 9,0 8,8 6,6 |
(9,7 - 7,65)2 = 4,20 (5,9 - 7,65)2 = 3,06 (6,6 - 7,65)2 = 1,10 (8,2 - 7,65)2 = 0,30 (7,7 - 7,65)2 = 0,00 (6,2 - 7,65)2 = 2,10 (7,7 - 7,65)2 = 0,00 (11,5 - 7,65)2 = 14,82 (8,4 - 7,65)2 = 0,56 (7,1 - 7,65)2 = 0,30 (6,2 - 7,65)2 = 2,10 (6,2 - 7,65)2 = 2,10 (6,2 - 7,65)2 = 2,10 (8,2 - 7,65)2 = 0,30 (7,5 - 7,65)2 = 0,02 (9,0 - 7,65)2 = 1,82 (8,8 - 7,65)2 = 1,32 (6,6 - 7,65)2 = 1,10 |
| Suma | 137,7 | 37,35 |
Zadanie 2) Pewien bank wprowadził nową atrakcyjną formę lokaty, którą niestety można założyć tylko przez Internet. Analityk zajmujący się badaniem popularności tej lokaty sporządził raport dotyczący pierwszych 30 operacji założenia lokaty według czasu jej trwania (w miesiącach), na jaki zdecydowali się klienci wnioskujący o jej otwarcie. Dane obrazuje poniższa tabela:
| Czas trwania lokaty (xi) | Liczba lokat (ni) |
|---|---|
1 2 3 4 5 6 |
8 10 5 4 2 1 |
| Razem | 30 |
Oceń zróżnicowanie badanych lokat pod kątem czasu ich trwania.
Rozwiązanie:
Chcąc ocenić zróżnicowanie badanych lokat pod kątem czasu ich trwania ponownie jako pierwszą musimy obliczyć średnią arytmetyczną. Zgodnie ze wzorem otrzymujemy = 2,5 miesiąca. Kolejno oceniamy jak poszczególne lokaty różnią się od tej średniej, obliczając odchylenie standardowe ze wzoru: co po podstawieniu odpowiednich wartości daje = 1,36 miesięcy. Wiemy już zatem, że poszczególne lokaty różnią się czasem ich trwania od średniej arytmetycznej przeciętnie o ± 1,36 miesięcy. Następnie sprawdzając jak duże jest to zróżnicowanie obliczamy współczynnik zmienności i otrzymujemy = 54,40%, co oznacza, że dyspersja jest umiarkowana (35% < Vx ≤ 60%), a średnia arytmetyczna dosyć dobrze opisuje przeciętny czas trwania badanych lokat.
Tabela pomocnicza:
| Czas trwania lokaty (xi) | Liczba lokat (ni) |
xi ⋅ ni | (xi - )2 ⋅ ni |
|---|---|---|---|
1 2 3 4 5 6 |
8 10 5 4 2 1 |
1 ⋅ 8 = 8 2 ⋅ 10 = 20 3 ⋅ 5 = 15 4 ⋅ 4 = 16 5 ⋅ 2 = 10 6 ⋅ 1 = 6 |
(1 - 2,5)2 ⋅ 8 = 18 (2 - 2,5)2 ⋅ 10 = 2,5 (3 - 2,5)2 ⋅ 5 = 1,25 (4 - 2,5)2 ⋅ 4 = 9 (5 - 2,5)2 ⋅ 2 = 12,5 (6 - 2,5)2 ⋅ 1 = 12,25 |
| Razem | 30 | 75 | 55,5 |
Zadanie 3) W ramach przygotowań do egzaminu maturalnego, nauczyciel matematyki w trzech swoich klasach pewnego liceum zadał uczniom zadanie, które mieli rozwiązywać przez całą lekcję. Chciał w ten sposób sprawdzić jakie mają szansę na rozwiązanie podobnego zadania na normalnej maturze. Okazało się, że rozkład czasu rozwiązywania tego zadania (w minutach) wyglądał następująco:
| Czas rozwiązywania zadania (xi) | Liczba uczniów (ni) |
|---|---|
0 − 5 5 − 10 10 − 15 15 − 20 20 − 25 25 − 30 30 − 35 35 − 40 40 − 45 |
2 5 5 11 10 9 8 6 4 |
| Suma | 60 |
a) oceń zróżnicowanie badanych uczniów pod kątem czasu rozwiązywania tego zadania
b) oblicz jeden ze współczynników asymetrii
Rozwiązanie:
a) Chcąc ocenić zróżnicowanie badanych uczniów pod kątem czasu rozwiązywania tego zadania, po raz kolejny musimy poznać jaki był średni czas rozwiązywania zadania, aby wiedzieć względem czego oceniać to zróżnicowanie. Średnia (wyliczona ze wzoru ) wyniosła tym razem = 23,75 minuty. Następnie licząc odchylenie standardowe ze wzoru otrzymano = 10,47 minut. Znaczy to, że poszczególni uczniowie różnili się czasem rozwiązywania zadania od średniej arytmetycznej przeciętnie o ± 10,47 minut. Kolejno sprawdzono względne zróżnicowanie, licząc współczynnik zmienności według wzoru . Wyniósł on tym razem = 44,08% co świadczy o umiarkowanej dyspersji (35% < Vx ≤ 60%) i dość dobrym walorze poznawczym średniej arytmetycznej.
b) aby ocenić jaką asymetrię (lewo- czy prawostronną) wykazuje badany szereg, zdecydowano się wyliczyć klasyczno-pozycyjny współczynnik asymetrii , bowiem jest on prostszy rachunkowo niż jego klasyczna wersja . Mając już wyliczoną średnią i odchylenie standardowe (pkt a) wyznaczono jeszcze modalną, jako = = 19,29 minut, a zatem = = +0,43. Wynik ten oznacza, że rozkład czasu rozwiązywania tego zadania charakteryzuje się umiarkowaną asymetrią prawostronną, czyli dominują uczniowie którzy rozwiązywali to zadanie nieco krócej niż wynosi średnia arytmetyczna.
Tabela pomocnicza:
| Czas rozwiązywania zadania (xi) | Liczba uczniów (ni) |
x’i | x’i ⋅ ni | (x’i - )2 ⋅ ni |
|---|---|---|---|---|
0 − 5 5 − 10 10 − 15 15 − 20 20 − 25 25 − 30 30 − 35 35 − 40 40 − 45 |
2 5 5 11 10 9 8 6 4 |
2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 |
2,5 ⋅ 2 = 5 7,5 ⋅ 5 = 37,5 12,5 ⋅ 5 = 62,5 17,5 ⋅ 11 = 192,5 22,5 ⋅ 10 = 225 27,5 ⋅ 9 = 247,5 32,5 ⋅ 8 = 260 37,5 ⋅ 6 = 225 42,5 ⋅ 4 = 170 |
(2,5 - 23,75)2 ⋅ 2 = 903,13 (7,5 - 23,75)2 ⋅ 5 = 1320,31 (12,5 - 23,75)2 ⋅ 5 = 632,81 (17,5 - 23,75)2 ⋅ 11 = 429,69 (22,5 - 23,75)2 ⋅ 10 = 15,63 (27,5 - 23,75)2 ⋅ 9 = 126,56 (32,5 - 23,75)2 ⋅ 8 = 612,50 (37,5 - 23,75)2 ⋅ 6 = 1134,38 (42,5 - 23,75)2 ⋅ 4 = 1406,25 |
| Suma | 60 | 1 425 | 6 581,25 |