SPRAWOZDANIE Z LABOLATORIUM Z FIZYKI I BIOFIZYKI

Ćwiczenie nr 5

Temat: Wyznaczanie bezwzględnego współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa.

Data wykonania ćwiczenia: 28 Marca 2014r.

Sekcja nr 6 w składzie:

• Czemerajda Agata

• Potrzebowska Natalia

• Serafimowicz Weronika

Data oddania sprawozdania:

Ocena:

1. Wstęp teoretyczny

Zjawisko lepkości

Ze zjawiskiem lepkości mamy do czynienia, gdy płyn zostaje wprawiony w ruch. Atomy i cząsteczki danej substancji płynu oddziaływają między sobą. Gdy płyn przepływa, dochodzi w nim do tzw. tarcia wewnętrznego. O ile w przypadku ciał stałych siły tarcia działają wyłącznie na ich powierzchni, o tyle dla płynu – oddziaływanie takie ma miejsce w całej jego objętości. Wskutek tarcia występującego między cząsteczkami płynu, poruszająca się cząsteczka pociąga za sobą sąsiadujące cząsteczki tym silniej, im większa jest siła lepkości. Te cząsteczki pociągają następne itd. Każda następna warstwa porusza się jednak nieco wolniej, tym wolniej, im mniejsza lepkość płynu. Lepkość danego płynu jest miarą jego tarcia wewnętrznego.

Współczynnik lepkości

Siła potrzebna do wprawienia cieczy w ruch jednostajny (pokonująca opór lepki) opisana jest wzorem:

$\mathbf{F}\mathbf{=}\mathbf{\eta}\frac{\mathbf{\text{Av}}}{\mathbf{l}}$, gdzie

- współczynnik lepkości dynamicznej cieczy (lepkość),
A - pole przekroju naczynia w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku ruchu,
v - różnica prędkości między danymi dwoma warstwami cieczy,
l - odległość między tymi warstwami.

Współczynnik lepkości jest stałą proporcjonalności między siłą F a spadkiem prędkości cieczy między poszczególnymi warstwami cieczy $\frac{v}{l}$ i polem przekroju poprzecznego A. Z podanego wzoru wynika, że jednostką tego współczynnika jest:

Stosowana jest również jednostka zwana puazem (P).

Wyznaczanie bezwzględnego współczynnika lepkości metodą Stokesa

Na ciało poruszające się w cieczy działają siły oporu lepkiego hamujące ruch ciała. Jeżeli

np. kulka spada w cieczy, to warstwa cieczy bezpośrednio przylegająca do kulki porusza

się z prędkością równą prędkości kulki, pociągają za sobą następne warstwy cieczy.

Mamy więc do czynienia z przesuwaniem się warstw cieczy względem siebie. Między

warstwami cieczy działa siła lepkości, czyli na kulkę poruszającą się w cieczy działa siła

tarcia wewnętrznego. Związek między siłą tarcia a prędkością kulki, jej promieniem

i właściwościami cieczy znalazł Stokes i wyraził wzorem:

F_T=6πηrv, gdzie

F – siła tarcia wewnętrznego
- współczynnik lepkości dynamicznej cieczy
r – promień kulki
v – prędkość kulki

Wzór ten jest słuszny dla ruchu laminarnego, tzn., gdy ruch kulki nie powoduje powstawania wirów, czyli warstwy cieczy przesuwają się równolegle względem siebie.

Na opadającą kulkę działają jednak także inne siły:

- siła grawitacji:

$\mathbf{F}_{\mathbf{G}}\mathbf{= mg =}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{3}}\mathbf{\rho}_{\mathbf{m}}\mathbf{g}$, gdzie

ρ_m - gęstość materiału, z którego wykonana jest kulka.

- siła wyporu ośrodka, związana ze wzrostem ciśnienia wraz z głębokością:

$\mathbf{F}_{\mathbf{W}}\mathbf{= mg =}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{3}}\mathbf{\rho}_{\mathbf{p}}\mathbf{g}$, gdzie

ρ_p - gęstość płynu

Początkowo, gdy kulka metalowa zostaje wrzucona przez lejek do cieczy jej prędkość rośnie i porusza się ona ruchem przyspieszonym. Gdy rośnie prędkość, rośnie także siłą tarcia, aż do momentu, gdy wszystkie siły zrównoważą się kulka zacznie poruszać się ruchem jednostajnym:

F_G=F_W+F_T

Podstawiając równania dla poszczególnych sił do powyższego równania uzyskujemy równanie , służące do obliczania współczynnika lepkości, po uprzednim obliczeniu prędkości kulki na podstawie wykonanych pomiarów:

$$\mathbf{\eta =}\frac{\mathbf{2}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}\mathbf{g(}\mathbf{\rho}_{\mathbf{m}}\mathbf{-}\mathbf{\rho}_{\mathbf{p}}\mathbf{)}}{\mathbf{9}\mathbf{v}}$$

Równanie Stokesa jest spełnione dla nieskończenie dużego ośrodka i przepływu laminarnego. Dlatego należy wziąć pod uwagę wpływ ścianek rury, wprowadzając poprawkę, iż wskutek wpływu ścianek cylindra prędkość opadania zmniejsza się tyle razy ile wynosi wartość ułamka $\frac{1}{1 + (2,4\frac{r}{R})}$

1. Pomiary

1. Tabela pomiarów

Lp.	r [m]	m [kg]	l [m]	t [s]	v [m/s]	R [m]	ρm [kg/m^3]	ρp [kg/m^3]	η [Pa*s]
1	0,00096	0,00039	0,8	6,37	0,13	0,00029	10865	1263	0,19
2	0,00086	0,00036	0,8	6,69	0,12	0,00029	14002	1263	0,23
3	0,00066	0,00025	0,8	8,60	0,09	0,00029	21744	1263	0,33
4	0,00086	0,00037	0,8	7,10	0,11	0,00029	14391	1263	0,25
5	0,00071	0,00026	0,8	8,43	0,09	0,00029	18106	1263	0,3
6	0,00066	0,00024	0,8	8,50	0,09	0,00029	20874	1263	0,32
7	0,00091	0,00038	0,8	6,68	0,12	0,00029	12451	1263	0,21
8	0,00096	0,0009	0,8	6,88	0,12	0,00029	25073	1263	0,48
9	0,00066	0,00025	0,8	8,53	0,09	0,00029	21744	1263	0,33
10	0,00096	0,00039	0,8	7,03	0,11	0,00029	10865	1263	0,21
11	0,00086	0,00037	0,8	6,75	0,12	0,00029	14391	1263	0,24
12	0,00066	0,00025	0,8	8,37	0,1	0,00029	21744	1263	0,32
13	0,00071	0,00039	0,8	8,38	0,0,1	0,00029	27158	1263	0,44
14	0,00071	0,00026	0,8	8,15	0,1	0,00029	18106	1263	0,29
15	0,00091	0,00038	0,8	6,91	0,12	0,00029	12451	1263	0,22

rsr [m]	0,000803
msr [kg]	0,000363
tsr [s]	7,56
ρm (sr) [kg/m^3]	169154
v(sr) [m/s]	0,11
ηsr [Pa*s]	0,29

1. Obliczenia

Wartość współczynnika lepkości:

$$\mathbf{\eta =}\frac{\mathbf{2}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}\mathbf{g(}\mathbf{\rho}_{\mathbf{m}}\mathbf{-}\mathbf{\rho}_{\mathbf{p}}\mathbf{)}}{\mathbf{9}\mathbf{v(1 + 2,4}\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{R}}}$$

η_sr = 0, 29 [Pa * s]

1. Analiza błędów

Korzystając z następującego wzoru

$$\mathbf{d\eta =}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\partial\eta}}{\mathbf{\partial r}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{d}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\partial\eta}}{\mathbf{\partial l}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{dl}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\partial\eta}}{\mathbf{\partial t}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{dt}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\partial\eta}}{\mathbf{\partial R}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{dR}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}$$

wyprowadzono

$$= \sqrt{\left( \frac{\text{rtgr}\left( \rho_{m} - \rho_{p} \right)(43.2r + 36R)}{81l{(2,4r + R)}^{2}} \right)^{2}dr^{2} + \left( \frac{- 2v^{2}\text{gt}\left( \rho_{m} - \rho_{p} \right)}{9l^{2}(2,4r + R)} \right)^{2}dl^{2} + \left( \frac{2v^{2}\text{gR}\left( \rho_{m} - \rho_{p} \right)}{9l^{2}(2,4r + R)} \right)^{2}dt^{2} + \left( \frac{43,2r^{2}\text{gt}\left( \rho_{m} - \rho_{p} \right)}{81l{(2,4r + R)}^{2}} \right)^{2}dR^{2}}$$

dη = 0, 115745 ≅ 0, 12 [Pa * s]

Czyli η = 0, 29 ± 0, 12 [Pa * s]

1. Wnioski

• Wyliczony współczynnik lepkości gliceryny nieco różni się od wartości podanych
  w tablicach (η=0,945 Pa*s w T=25°C),

• Na tę niezgodność wpływ mogły mieć błędy z odczytów związane z refleksem osoby mierzącej, niedokładność przyrządów pomiarowych, a także temperatura panująca w pomieszczeniu – wyższa od tej podanej w tablicach,

• Metoda wyznaczania współczynnika lepkości cieczy Stokesa jest metodą dokładną, jednak w znacznym stopniu uzależnioną od precyzji podczas wykonywania pomiarów czasu spadania kulki, jak również od temperatury i ciśnienia w jakiej pomiary zostały przeprowadzone.