Zadanie 1

Dane: Szukane:

M = 300kg – masa wagonika, v₂ – prędkość wagonika z pasażerem

m = 70 kg – masa człowieka,

v₁ = 3 - prędkość początkowa wagonika bez pasażera,

Pęd początkowy układu wagonik + człowiek równy jest pędowi wagonika:

,

z kolei pęd końcowy:

.

Zgodnie z zasadą zachowania pędu:

→ .

Po podstawieniu wartości otrzymujemy:

.

Zadanie 3

Dane:

- prędkość początkowa

Zacznijmy od tego, że max wysokość na jaką może wznieść się ciało wynosi:

.

Z kolei czas wznoszenia:

.

Najpierw obliczamy czas wznoszenia się drugiego ciała do połowy max wysokości:

Równanie kwadratowe:

→

Czyli dla przypadku drugiego czas wynosi, przy założeniu :

.

Rozważamy ciało pierwsze, które musi najpierw wznieść się, a następnie opaść:

→ ; t_s – czas spadku do połowy wysokości max

Z tego wynika, że ciało drugie zostało wyrzucone z opóźnieniem o:

Zadanie 4

Dane: Szukane:

- gęstość planety, – prędkość obrotowa planetoidy

Ciężar ciała na biegunie dany jest:

,

gdzie M – masa planety, która wynosi:

.

Na równiku na ciało oprócz siły ciężkości działa dodatkowo siła odśrodkowa:

,

która jest postaci:

,

gdzie

,

czyli

.

Z zadania wiemy, że ciężar ciała na równiku jest o 10% mniejszy niż na biegunie:

.

Podstawiając dane:

→

Zadanie 5

Dane: Szukane:

M – masa walca, x – odległość od osi obrotu

l = 2m,

m – masa pocisku; m << M,

v – prędkość pocisku,

Rozwiązanie:

Na walec działają dwie siły: - siła ciężkości i - siła reakcji osi.

Składowa pozioma siły reakcji jest jedyną siłą zewnętrzną mogącą zmienić pęd układu.

Aby spełniona była zasada zachowania pędu, siła reakcji musi być równa 0.

Zakładamy, że pocisk uderza w walec w odległości x od osi obrotu.

Z zasady zachowania pędu wynika, że pęd układu walec – pocisk przed uderzeniem równy jest pędowi pocisku:

.

Po uderzeniu pocisku pęd układu wynosi:

,

gdzie v_ś – prędkość środka masy walca, która wynosi:

.

Z kolei z zasady zachowania momentu pędu wynika, że moment pędu układu przed i po uderzeniu dany jest:

,

czyli

,

gdzie I – moment bezwładności walca, który dany jest wzorem:

.

Wykorzystując powyższe relacje, przekształcamy pęd p₂ do postaci:

.

Z powyższego równanie możemy wywnioskować, że p₁ = p₂, gdy

→ ,

czyli gdy

,

wtedy spełniona jest zasada zachowania pędu.

Dla naszego przypadku:

Zadanie 6

Dane:

- równanie położenia cząstki wzdłuż osi x

Szukane:

=?

=?

Wiemy, że

.

Wobec tego

.

Z kolei

,

czyli

.

Zadanie 7

Dane:

m – masa ciała

- wychylenie

Na ciało zawieszone na sznurku działają odpowiednio:

- siła ciężkości,

- siła reakcji sznurka.

W wyniku odchylenia ciała od pionu o kąt pojawia się siła wypadkowa , która nadaje ciału przyśpieszenie .

→

Zadanie 9

Dane:

- długość fali światła w układzie obiektu wysyłającego,

- długość fali światła jaką zmierzy obserwator.

Fala zostaje wydłużona o odległość, jaką przebywa źródło w czasie między wysłaniem kolejnych „garbów” fali, czyli w czasie równym okresowi drgań T. Nowa długość fali będzie zatem wynosiła:

,

gdzie v_z – prędkość źródła.

Ponieważ okres drgań:

,

to nowa długość fali wyniesie

.

Zatem

Galaktyka oddala się.

Zadanie 10

Dane:

- prędkość 1 galaktyki

- prędkość 2 galaktyki

- długość linii wodoru wygenerowanej przez źródło

Mamy przypadek, gdzie dwie galaktyki oddalają się od siebie. W galaktyce 1 umieszczono laboratorium, zaś w galaktyce znajduje się źródło fali. Częstotliwość fali rejestrowanej przez laboratorium, do częstotliwości generowanej przez źródło dana jest relacją:

,

gdzie c – prędkość fali, która jest przy założeniu równa prędkości światła.

→

Zadanie 11

Dane:

- długość rury

- prędkość dźwięku

- częstotliwość drgań własnych słupa powietrza w rurze

1. Rura zamknięta z jednej strony.

W przypadku drgającego słupa powietrza zamkniętego z jednej strony powstaje fala stojąca, która ma węzeł na zamkniętym końcu, a strzałkę na końcu otwartym.

Na całą długość rury ułoży się nieparzysta liczba ćwiartek fali. Stąd możemy zapisać:

→

gdzie

.

Podstawiając dane otrzymujemy:

.

1. Rura otwarta na obu końcach.

Na całej długości rury ułoży się parzysta liczba ćwiartek fali.

→ .

Otrzymujemy:

.

Zadanie 12

Dane:

- częstość dudnień

- prędkość dźwięku

- częstość drgań kamertonów

Najpierw obliczamy długość fali:

Następnie wyznaczamy prędkość kamertonu:

.

Zadanie 13

Dane:

- prędkość fali

- okres fali

- amplituda fali

1. Obliczamy długość fali:

→

1. Obliczamy fazę, odchylenie od położenia równowagi, prędkość i przyśpieszenie punktu znajdującego się w odległości 45m od źródła w chwili t = 4s:

Równanie fali zależne od położenia od źródła i czasu dane jest wzorem:

Najpierw obliczamy fazę:

,

gdzie

→ ,

→ .

Liczymy teraz odchylenie od położenia równowagi:

Prędkość:

Przyśpieszenie:

1. Obliczamy różnicę faz w odległościach 20m i 30m:

Zadanie 14

Dane:

R – opór każdego boku

Dla pierwszej sytuacji, gdy napięcie przyłożone jest do sąsiednich wierzchołków wówczas opór zastępczy wynosi:

→ .

W drugiej sytuacji opór zastępczy zmienia się zgodnie:

→ .

Obliczamy n:

- pięciokąt foremny