Ψ₁ = 0A_1 − 2 = 45A_2 − 1 = 30

Zgodnie z wzorem:

$${\cos\Psi_{1}*sinA_{12} = cos\Psi_{2}*sinA_{23} = k}{\Psi_{2} = arcsin(\frac{\cos\Psi_{1}*sinA_{12}}{\sin A_{23}})}{\Psi_{2} = arcsin\sqrt{2}}$$

3. Metody rozwiązania trójkąta sferycznego
Wyrównanie trójkąta sfer.: (A_p+B_p+C_p)=180^o+ε+ω; ε=P/R²; P=(c²sinA_psinB_p)/(2sinC_p); Kąty wyrównane: A^o=A_p-1/3 ω; Kąty płaskie: A’=A^o-1/3 ε; Kąty pomierzone: A_p
Metoda Legendre’a - Polega ona na twierdzeniu, że kąty trójkąta sferycznego A, B, C o bokach równych bokom trójkąta płaskiego A’, B’, C’ o stałą wartość (1/3ε): A’=A-1/3ε; B’=B-1/3ε; C’=C-1/3ε. Czyli trójkąt sferyczny zastępuje się trójkątem płaskim o takich samych bokach i kątach odpowiednio zmodyfikowanych o 1/3ε ekscesu. Otrzymane w obliczeniach boki trójkąta płaskiego są bokami trójkąta sferycznego.
Metoda additamentów - Polega ona na zastosowaniu wzoru sinusów dla trójkąta płaskiego, po uprzedniej zmianie boków. Dany jest bok i 3 kąty. Obliczenia wykonuje się tak, że wychodzi się od znanego boku, odejmując jego additament
a’=a-δa, δ_a=a³/(6R²), δ_b= b³/(6R²) podstawia się wartość a’ i dane kąty A, B, C do wzorów: b’=a’(sinB/sinA), c’=a’(sinC/sina).Po obliczeniach otrzymuje się b’ i c’, obliczamy aditamenty tych boków i odpowiednio dodajemy: b=b’+δ_b, c=c’+δ_c.
Metoda trygonometrii sferycznej – jest to metoda ścisła. Liczymy wg Wzoru: (sin(a/R))/sinA=(sin(b/R))/sinB=(sin(c/R))/sinC
4. Opisać układy 2000 i 1992, pasy, południk osiowy, rodzaj odwzorowania, zniekształcenia.

- Układ 1992

Został utworzony w oparciu o jednostrefowe odwzorowanie Gaussa-Krugera dla elipsoidy GRS-80 z południkiem osiowym L=19˚ i przy założeniu skali dł. Na tym południku m0=0,9993, czyli -70cm/km na południku osiowym do +90cm/km na wschodnich krańcach Polski.

- Układ 2000

Współrzędne płaskie X, Y są obliczone w odwzorowaniu Gaussa-Krugera w pasach trzystopniowych o południkach osiowych 15˚, 18˚, 21˚, 24˚ i ponumerowanych 5, 6, 7, 8. Współczynnik zmiany skali wynosi m0=0,999923. Obraz równika jest linią o równaniu X=0, a obraz południka osiowego linią o równaniu y= 5 500 000 dla 15, y=6 500 000 dla 18, y=7 500 000 dla 21, y=8 500 000 dla 24. Pierwsza cyfra to numer pasa a przemnożona przez 3 daje dł. Geograficzną tego pasa w stopniach. Układ ten jest stosowany do map zasadniczych.

5 Opisać metodę szeregów potęgowych.
Wszystkie metody rozwiązywania zadań geodezyjnych (oprócz metody Clarke’a) bazują na rozwinięciu w szereg potęgowy. Metoda takiego rozwinięcia jest skuteczna dla zadań o średnich szerokościach φ, bo wówczas ΔL ~ s. Gdy φ > 60°, to dużej zmianie kątowej dopowiada mała zmiana liniowa. Dlatego też metodaa Clarke’a tylko do wykorzystania w rejonach okołobiegunowych.Metody wykorzystujące szeregi potęgowe Legendre’a. Polegają na rozwinięciu w szereg Maclaurina różnic względem parametru naturalnego, czyli długości linii geodezyjnej s.

Występujące w tych wzorach pochodne wyższych rzędów względem ds wyznacza się przez różniczkowanie równań pierwszego rzędu. Powolna zbieżność szeregów limituje ich wykorzystanie do odległości nie przekraczających 150 kilometrów.

Szczególnie znaną i powszechnie stosowaną metodą przede wszystkim w przypadku dotyczącym zadania odwrotnego, jest metoda średniej szerokości Gaussa. Według niej wprowadza się do szeregów potęgowych Legendre’a punkt o szerokości B_m, odpowiadającej punktowi usytuowanemu w połowie długości linii geodezyjnej s pomiędzy punktami P₁ i P₂. Można tę metodę stosować dla odległości do 200 kilometrów.

6. Podaj jakie elementy trójkąta paralaktycznego pozyskujemy z RA a które z pomiaru.

Z roczników astronomicznych (RA) pozyskujemy współrzędne równikowe, a mierzymy h i t, a szerokość geograficzną odczytujemy z mapy.

7.Na podstawie wzoru różniczkowego na dAn opisać jakie są najkorzystniejsze warunki dla prowadzenia obserwacji gwiazd.

elongacja- A=max i q=90 stopni oraz |d|>|fi| --- najlepszą gwiazdą do pomiaru kierunku azymutu Az jest gwiazda okołobiegunowa-- gwiazda musi się znajdować na południku miejscowym--muszą być dobre warunki pogodowe---- mierzymy kierunek gdy gwiazda znajdzie się na kresce pionowe

8. Opisz różnicę pomiędzy czasem gwiazdowym miejscowym a czasem słonecznym średnim.

Czas gwiazdowy miejscowy jest to kąt godzinny Tg dowolnego obiektu o znanej rektascensji. Kąt godzinny punktu barana to suma rektascensji i kąta godzinnego tego obiektu.

Tb=αG+Tg

Doba gwiazdowa to odstęp pomiędzy kolejnymi zgórowaniami punktu barana, okres ten nie jest identycznym okresem czasu zawartym między dwoma kolejnymi górowaniami dowolnej gwiazdy. Doba gwiazdowa jest krótsza od obrotu Ziemi.

Czas słoneczny średni jest to czas słońca średniego, czyli punktu poruszającego się po równiku ze średnią prędkością kątową słońca prawdziwego.

To=to+12h

Różnica czasu – różnica pomiędzy prawdziwym, a średnim czasem słonecznym w danym momencie.

To-To_z_kreska=to-to_z_kreska

T*=to+αo

T*=to_z_kreska+αo_z_kreska

9. Objaśnij pojęcia precesja, nutacja, paralaksa.

Przyczyna zjawisk precesji i nutacji jest oddziaływanie głównie Księżyca i Słońca.

Precesja lunisolarna powoduje stożkowy ruch osi Ziemi. Kąt rozwarcia stożka jest równy podwójnemu nachyleniu równika do ekliptyki (2*23,5). Ruch odbywa się w kierunku zachodnim, okres obiegu 25 800lat.

Zjawisko nutacji to okresowe odchylenia bieguna niebieskiego od krzywej precesyjnej spowodowane okresowym ruchem Ziemi wokół Słońca oraz Księżyca wokół Ziemi, okres obiegu wynosi 18,6lat.

Paralaksa - Załamanie w fizyce to zmiana kierunku rozchodzenia się fali (refrakcja fali) związana ze zmianą jej prędkości, gdy przechodzi do innego ośrodka. Inna prędkość powoduje zmianę długości fali, a częstotliwość pozostaje stała. (Wiki)

10. omow (podaj roznice?) przyspieszenie, potencjal oraz gradient

Siła ciężkości – na każdy materialny punkt P o masie m znajdujący się nad ziemią lub na jej powierzchni działa siła przyciągania ziemi oraz siła odśrodkowa skierowana prostopadle do osi obrotu. Wypadkowa tych sił to siła ciężkości.

Potencjał siły ciężkości – funkcja skalarna do opisu pola grawitacyjnego Ziemi, jej pochodne cząstkowe są równe trzem składowym wektora g. Pochodna potencjału siły ciężkości jest składową przyspieszenia siły ciężkości.

Potencjał siły przyciągania:

v=G∫(δdτ)/r’

Potencjał siły odśrodkowej

v’=ω²/z(x²+y²)

Potencjał grawitacyjny

w=v+v’

I pochodna potencjału

Grad(w)=(Әw/dx; Әw/Dy; Әw/dz)=dx,Dy,dz=ğ

II pochodna potencjału

r. Laplace’a: zewn. Ziemi

Ә²w/dx²+Ә²w/dy²+Ә²w/dz²=2ω²

r. Poissona: wewn. Ziemi

Ә²w/dx²+Ә²w/dy²+Ә²w/dz²=-4πσδ+2 ω²

11. Powierzchnie ekwipotencjalne

Powierzchnia ekwipotencjalna jest powierzchnią zamknięta do odległości 5,89R (R-promień Ziemi). Posiada ten sam potencjał na całej jej powierzchni, nie są do siebie równoległe, ani się nie przecinają. Siła przyciągania i siła odśrodkowa są sobie równe F=Q, linie sił są krzywymi wklęsłymi zwróconymi do osi obrotu Ziemi. Przykładem takiej powierzchni jest geoida, która zawiera w sobie swobodną powierzchnię mórz i oceanów, jest tzw. zerową pow. ekwipotencjalną.

12. Odchylenie pionu i jego składowe

Odchylenie pionu jest to kąt zawarty między wektorami przyśpieszenia rzeczywistego i normalnego, jest to również kąt ϴ pomiędzy prostą styczną do linii pionu w punkcie P, a normalna do elipsoidy odniesienia.

Składowe odchylenia pionu – wielkości ξ i η oznaczają odpowiednio na kuli niebieskiej odległości kątowe zenitu geodezyjnego od pierwszego wertykału i od południka miejscowego. Są to składowe odchylenia pionu w danym miejscu

ξ = φ-B

η =(λ-L)cosφ

Należy uwzględniać odchylenia pionu, ponieważ prowadzenie wszelkich prac obliczeniowych geodezji wyższej jest możliwe tylko na matematycznej powierzchni elipsoidy, więc znajomość odchyleń pionu jest niezbędna do redukcji na powierzchnię odniesienia tych wszystkich pomiarów kątowych, które wykonano wg siły ciężkości.

13. Wysokości ortometryczna, normalna i dynamiczna

Wysokość ortometryczna – jest odległością punktu na fizycznej powierzchni Ziemi od geoidy liczonej wzdłuż linii pionu. Nie zależy od drogi niwelacji.

H⁰=C/g_śr

C- wart. Geopotencjalna

Róznica potencjału na geoidzie i potencjału punktu:

C=Wo-Wp

C=_Ao∫^Bgdh

g_śr – przeciętna wart. przyspieszenia siły ciężkości

Wysokość normalna - Przez wysokość normalną rozumiemy odległość liczoną wzdłuż linii pionowej od quasigeoidy do danego punktu. Do wyznaczenia wysokości normalnej wykorzystuje się metodę niwelacji astronomicznej lub praktycznie, metodę niwelacji astronomiczno-grawimetrycznej. Obowiązuje w Polsce – Kronsztad.

Hⁿ=C/γ_śr

γ_śr - przeciętne przyspieszenie wzdłuż linii pionu dla normalnego pola ciężkościowego

Wysokość dynamiczna – nie uwzględnia nierównoległości powierzchni ekwipotencjalnych i dlatego jest przydatna przy projektach wodnych na dużych obszarach, gdzie wymagana jest duża dokładność projektowanych spadków.

H^D=C/γ_45۫

14. Podaj funkcje i opisz pkt. laplace’aW punkcie tym zwanym Punktem Laplace’a wykonuje się pomiary astronomiczne: szerokości (j=0.2”), długości (l=0.3”) i azymuty (a=0.3”). Przyłożenie elipsoidy do geoidy polega na pokryciu normalnej do elipsoidy ze styczną do linii pionu oraz zorientowaniu elipsoidy do południka astronomicznego. dla określenia względnego odchylenia linii pionu w węzłach sieci – zwanych również punktami Laplace’a – oraz ich okolicy wykonuje się pomiary grawimetryczne. Ponadto na punktach tych dokonuje się pomiaru baz o długości około 10 km z dokładnością 10-6. Bazy dodatkowo mierzy się również w sieciach wypełniających.
15. Scharakteryzuj osnowę wysokościową,
Podstawowa osnowa wysokościowa, tj. sieć niwelacji I i II klasy, mierzona metodą niwelacji precyzyjnej, stanowi oparcie dla osnowy szczegółowej. Średnie błędy nie powinny przekraczać następujących wartości:

Średnie błędy Wartości dopuszczalne, w mm/km
I klasa II klasa

m1 ± 0.40 ± 0.50

h ± 0.40 ± 0.50 x)

s ± 0.10 ± 0.20 x)

m3 ± 1.00 ± 1.50

mo ± 1.00 ± 2.00

Sieć niwelacji I klasy tworzą linie sieci międzynarodowej (JWSN - Jednolita Wysokodokładna Sieć Niwelacyjna) oraz linie jej dogęszczenia o przeciętnej długości ok. 50 km i maksymalnej długości 90 km a charakteryzujące się średnim błędem mo ± 1.00 mm/km
Sieć niwelacji II klasy tworzą linie nowo mierzone lub adaptowane o przeciętnej długości ok. 25 km i maksymalnej długości 35 km, a na terenach intensywnie zagospodarowanych o przeciętnej długości ok. 8 km i maksymalnej długości 12 km i charakteryzujące średnim błędem mo ± 2.00 mm/km

Długości odcinków niwelacji I i II klasy powinny wynosić:

- na terenach intensywnie zagospodarowanych od 0,5 do 1 km,

- na pozostałych terenach nie powinny być większe niż 3 km w przypadku znaków istniejących, a 2 km - w przypadku osadzania nowych znaków.

16. Opisz modernizacja osnowy techniką GPS w kraju
Modernizacja osnowy podstawowej w Polsce związana jest z modernizacją sieci europejskiej. sieci dwuwymiarowa zastopiono siecią trójwymiarową i utworzeniu nowego układu odniesienia .Do zakładania sieci przystąpiono w 1989 roku. Układ EUREF–89 miały stanowić 93 stacje Europy Zachodniej. utworzenie nowego układu odniesienia to jako układ współrzędnych wybrano układ ETRF–89 (European Terestial Refence Frame 1989) , postanowiono, że elipsoidą europejskiego układu odniesienia będzie elipsoida GRS–80. W dniach od 4-8 VII 1992 przeprowadzona została międzynarodowa kompania, w wyniku której do sieci EUREF zostało włączonych 11 pkt. położonych na terenie Polski. W wyniku kompani tej wzięło udział także 19 stacji i obserwatoriów należących do EUREF-89 i położonych poza granicami naszego państwa. Już w 1991 roku dwa Polskie obserwatoria w Borowicach i Borowej Górze uczestniczyły w kompani EUREF-EAST. Struktura ta wygląda następująco:
1.. Sieć zerowego rzędu będąca polskim fragmentem sieci EUREF, o odległości między punktami rzędu 250-300 [km]
2. Krajowa sieć zintegrowana I rzędu o odległości 20-25 [km],
3. Sieci szczegółowe tworzone przy użyciu techniki GPS.
W 1993 roku rozpoczęto prace związane z tworzeniem nowej osnowy podstawowej kraju – POLREF. Opracowano projekt i wykonano stabilizację punktów zlokalizowanych w południowo-wschodniej kraju wszystkie punkty osnowy I klasy na których możliwe było wykonanie pomiarów GPS stały się jednocześnie punktami POLREFWyrównanie sieci nastąpiło wiosną 1996 roku.
BARDZIEJ ŁOPATOLOGICZNIE : Opisać kroki jak rozwiązać trójkąt sferyczny.

rozwiązanie trójkąta sferycznego metodą Legendre’a.

Suma kątów w trójkącie sferycznym jest większa od 180^o więc
A’ + B’ + C’ = 180^o + ε + ω
Gdzie:
ε jest to eksces sferyczny natomiast
ω jest błędem pomiaru
A’ kąt pomierzony
Pomierzono kąty:
A’ = 66 ^o05’22,64’’
B’ = 59 ^o30’ 25,07’’
C’ = 54 ^o24’13,85’’
oraz bok:
a =
Suma kątów wynosi

gdzie A° - kąty wyrównane

Eksces możemy obliczyć znając pole trójkąta F:

więc:

ponieważ błąd pomiaru należy rozrzucić na 3 kąty to:

gdzie A – kąt bez ekscesu (kąt na płaszczyźnie)

Po rozrzuceniu ω suma kątów wynosi 180^o00’0.729’’ należy pozostałą nadwyżkę rozrzucić równomiernie na wszystkie kąty:

a)rozwiązanie trójkąta sferycznego metodą additamentów.

Mamy dany bok trójkąta sferycznego
a =

dla c analogicznie jak b

następnie obliczamy additament dla a gdzie R = otrzymujemy

więc:

następnie ze wzorów obliczamy c’ oraz b’:

oraz ich additamenty:

więc:

więc: