1.Twierdzenie Taylora dla funkcji n zmiennych

Jeżeli funkcja n zmien jest klasy C² w otocz O pktu P₀ =(x₁⁰, x₂⁰ ,…,x_n⁰)oraz P =(x₁⁰+h₁, x₂⁰ +h₂,…,x_n⁰+h_n) є O to istn θ є (0,1) przyrost f(P) –f(P₀) = df(P₀)+1/2 d²f(P) [1],a P = (θ₁⁰+ h₁, θ₂⁰+ h₂, …, θ_n⁰+ h_n ) a różniczki df i d²f są licz dla przyrostów h₁, h₂,…, h_n

DF Składnik 1/2 d²f(P) nazywamy resztą wzoru Taylora z II- różniczką stanowi f f(h₁, h₂,…, h_n ) gdy mamy tylko h₁, h₂ to oznacz je jako h i k i mamy:

f(P) –f(P₀)=df(P₀)+1/2 [f_x^2^{``</sup> (P) h<sup>2</sup> + 2 f<sub>xy</sub><sup>``} (P)hk + f_y^2^`` (P) k²]

2. Extr f. n zmiennych

f(P) – f.n zmiennych, P(x₁, x₂,…, x_n) w otocz P₀ єRⁿ

DF:f(P) ma w P₀ max (min) lokal gdy istn takie S(P₀), że dla każdego PєS jest spełniona f(P)≤f(P₀) (f(P) ≥ f(P₀) )[2], gdy f(P)<f(P₀) to extr nazyw właśc.

U: Extr w P₀ jest pojęciem odnosz się do dostat małego otocz P₀. Extr nie należy mylić z extr absol, które oznaczają najwię i najmn wartość dla całej f

3. Wk istn extr f. 2 zmien. Pkt stacj.

Jeżeli f(x,y) ma poch cząst I rz to w P₀ (x₀, y₀)i ma w tym pkcie extr to f `(P<sub>0</sub>)=0 i f `(P₀)=0 [3]

U: Jeżeli f(x,y) ma w pewnym obsz poch cząstk I rz to może mieć extr jedynie w tych pktach tego obsz, które są jego pktami stacj.

4. Ww istn extr (2 zmienne)

Jeżeli f(x,y) klasy C² w pewnym otocz P₀ (x₀, y₀) i:

1. f`<sub>x</sub> (P<sub>0</sub>) = f`_y (P₀) =0

2.W(P)=f_xx^{``</sup>(P<sub>0</sub>)*f<sub>yy</sub><sup>``}(P₀)–[f_xy^``(P₀)]²>0

to f ma max (min) właśc gdy f_xx^``(P₀)<0 (>0)

(W to wyznacznik)

TW Jeżeli jest spełn war 1 oraz W(P₀)= 0 to w P₀ zarówno może być extr jak i nie

5. Znajdowanie najwi i najmn warti f (2 zmienne)w obsz domkn

f(P) i P(x,y) określ w D. Jeżeli w P₀ tego Obsz D f przyjm wart najwi lub najmn to ma w tym pkcie max (min)

WN: Dla znalezienia wart f w obsz trzeba policz wszystkie max lok i wybr najwi. Jeżeli f(P) określ w obsz domkn to może przyjm wart w ext lecz także na brzegu zbioru.

6.całka oznacz

def wzorem

$\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx}\ \operatorname{}{\sum_{k = 1}^{n}{f(x_{k}}*)x_{k}}}$

O ile ta gran nie zal od spos wyboru podz P, ani od spos wyboru x_k*

I przyjmujemy, że ∫_a^af(x)dx=0 oraz ∫_a^bf(x)dx = −∫_b^af(x)dx

7. Interpr całki oznacz

1.Pole trapezu krzywolin

D-trapez krzywolin ogran f. f, osią x, x=a oraz x=b. Pole |D| jest gran sum pól prostok ∆|D_k| aproksymujących ten trapez

$$\left| D \right| = \lim_{\sigma\left( P \right) \rightarrow 0}\sum_{k = 1}^{n}{|D_{k}| =}\lim_{\sigma\left( P \right) \rightarrow 0}\sum_{k = 1}^{n}{f\left( x_{k}* \right)x_{k} =}\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx}}$$

Obj bryły obrot

V oznacza bryłę ograniczoną powierzchnią powstałą z obrotu wykresu funkcji f(x) na przedziale [a,b] wokół osi x oraz płaszczyznami x=a i x=b. Objętość bryły V jest granicą objętości sumy walców ∆V_k aproksymujących tę bryłę, gdy średnica podziału zmierza do zera.

$$V = \lim_{\sigma\left( P \right) \rightarrow 0}\sum_{k = 1}^{n}{V_{k} =}\lim_{\sigma\left( P \right) \rightarrow 0}\sum_{k = 1}^{n}{\pi f^{2}\left( x_{k}* \right)x_{k} =}\int_{a}^{b}{\pi f^{2}\left( x \right)\text{dx}}$$

1. Droga przebyta w ruchu zmiennym

Niech S oznacza drogę przebytą w przedziale czasowym od a do b ze zmienną prędkością v(t)

Droga S jest granicą sum dróg elementarnych przebytych przez punkt w czasie t_k gdy σ(P)->0

S_k = v(t_k*)x_k

$S = \lim_{\sigma\left( P \right) \rightarrow 0}\sum_{k = 1}^{n}{v\left( t_{k}* \right)x_{k} =}\int_{a}^{b}{v\left( t \right)\text{dt}}$

8. Warunek wystarczający istnienia całki oznaczonej

Jeżeli f jest ograniczona na przedziale [a,b] i ma na tym przedziale skończoną liczbę nieciągłości pierwszego rodzaju to jest ona na nim całkowalna

9. Twierdzenie Newtona-Leibnitza. Liniowość całki oznaczonej

1. (tw. Newtona – Leibnitza I) Jeżeli f jest ciągła na przedziale [a,b] to $\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right) = F\left( x \right)|\frac{b}{a}}$ gdzie F oznacza dowolną funkcję pierwotną dla funkcji f na tym przedziale

2. Jeżeli funkcja f i g są ciągłe w przedziałach [a,b] to ∫_a^b[f(x)dx+g(x)dx]=∫_a^bf(x)dx + ∫_a^bg(x)dx

∫_a^bcf(x)dx = c∫_a^bf(x)dx

10. Twierdzenia o całkowaniu przez części i przez podstawienie

1. Jeżeli f i g mają ciągłe pochodne na przedziale [a,b] to

$$\int_{a}^{b}{f\left( x \right)g\left( x \right)\text{dx} = f\left( x \right)g\left( x \right)|\frac{b}{a} - \int_{a}^{b}{f\left( x \right)g\left( x \right)\text{dx}}}$$

1. Jeżeli: f. φ:[a,b] -> [α,β] ma ciągłą pochodną w tym przedziale [a,b]; φ(a)=α φ(b)=β; f(t) jest ciągła na przedziale [α,β] to

∫_a^bf(φ(x))φ′(x)dx = ∫_α^βf(t)dt

11. Twierdzenie o równości całek oznaczonych

Niech f będzie całkowalna na przedziale [a,b] oraz g różni się od f tylko w skończonej liczbie punktów tego przedziału. Wtedy g także jest całkowalna na tym przedziale oraz ∫_a^bg(x)dx = ∫_a^bf(x)dx

12. Addytywność całki oznaczonej względem przedziałów całkowania.

Jeśli f. f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz c є (a,b) to f. f jest całkowana na przedziale [a, c] oraz [c,b] i f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx

13. Zachowanie nierówności i moduł całki oznaczonej.

Jeśli f i g są całkowalne na [a,b] oraz f(x)<=g(x) dla każdego x є [a,b] to f(x)dx <= g(x')dx

Wniosek I : Jeśli f jest całkowalna na [a,b] to |f(x)dx| <= |f(x')|dx

Dla każdego x: -|f(x)| <= f(x) <= |f(x)|

-|f(x)|dx <=f(x)dx <= |f(x)|dx

Wniosek II : Jeśli f jest całkowalna na [a,b] oraz dla każdego x є [a,b] m <= f(x) <= M to m(b-a) <= f(x)dx <= M(b-a). DOWÓD (nie wiem czy trzeba, ale przepisałem) Na mocy tw. O zach. nierówności : m(b-a) =m1dx= mdx <= f(x)dx <= Mdx= M1dx=M(b-a)

14. Wartość średnia funkcji (w terminach całki oznaczonej). Interpretacje geometryczna i fizyczna.

Niech f będzie całkowalna na przedziale [a,b]. Jej wartością średnią na tym przedziale nazywamy liczbę f_śr=f(x)dx .

Interpr. geom. Jeśli f. f jest ciągła i nieujemna na [a,b] to jej wart. śr. na tym przedziale jest wysokością prostokąta o podstawie |ab| , którego pole jest równe polu trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem f. f osią X oraz  prostymi x=a i x=b

Wniosek: Interpr. fiz. Jest to szybkość średnia punktu poruszającego się w przedziale czasu t.

TW Jeśli f jest ciągła na przedziale [a,b] to dla każdego (nie powinno być istnieje?) c є[a,b] że wart. śr.

f_śr=f(x)dx=f(c)

15. Całka oznaczona funkcji parzystej, nieparzystej i okresowej.

1.Jeśli f jest całkowalna i nieparzysta na [-a,a] to f(x)dx=0

2.Jeśli f jest całkowalna i parzysta na [-a,a] to f(x)dx=2f(x)dx

3. Jeśli f jest okresowa (T) i jest całkowalna na [0,T] i dla każdego x є R jest całkowalna na [a, a +T] to f(x)dx= f(x)dx

16. Funkcja górnej granicy całkowania. Jej ciągłość.

DF Niech f będzie całkowalna na [a,b] oraz c є [a,b]. F(x) = f (t)dt , x є [a,b] – nazywamy tę funkcję funkcją górnej gr. całkowania.

TW ( o ciągłości f. górnej gr. całkowania): Jeśli f jest całkowalna na [a,b] to F(x)= f (t)dt , c є [a,b] jest ciągła na tym przedziale.

17. II główne twierdzenie rachunku całkowego (o pochodnej funkcji górnej granicy całkowania)

Jeśli f jest całkowalna na [a,b] oraz ciągła w x₀є[a,b] to funkcja ma pochodną w x₀ oraz pochodna w x₀ wynosi: F’(x₀)=f(x₀). (=f(t)?)

18.Długość krzywej.

Niech f ma ciągłą pochodną na [a,b], wtedy długość krzywej={x,f(x):xє[a,b]}

19. Objętość bryły obrotowej. Praca wykonana przez zmienna siłę

TW. Niech f(x)>=0 na przedziale [a,b] i ciągła na tym przedziale. Wtedy objętość V powstałej z obrotu funkcji f wokół osi x wyraża się wzorem

TW. Niech f będzie ciągła na przedziale [a,b] i a>=0. Niech T oznacza trapez ograniczony wykresem f, osią x, prostą x=a i prostą x=b. Wtedy objętość bryły V z obrotu trapezu T wokół osi y wyraża się wzorem

TW. Załóżmy, że równolegle do x działa siła zmienna F(x). Praca wykonana od punktu [a,b] wyraża się wzorem

20. Całka niewłaściwa na przedziale nieskończonym. Definicje.

DF Jeżeli f jest całkowalna w każdym przedziale [a,T], gdzie a<T oraz istnieje granica skończona

(1)

To nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji f w przedziale [a,+∞] i oznaczamy symbolem

Jeżeli granica skończona (1) nie istnieje to mówimy że całka niewłaściwa (1) nie istnieje lub jest rozbieżna.

DF Całkę niewłaściwą f na przedziale [-∞,a] określamy wzorem

Jeżeli f jest całkowalna w każdym przedziale skończonym to (2)

Całką po lewej stronie równości (2) nazywamy całkę niewłaściwą f w przedziale (-∞,∞). Mówimy, że całka ta istnieje (jest zbieżna) jeżeli istnieją obydwie skończone granice po prawej stronie równości(2)

21.Kryterium porównawcze dla całki niewłaściwej na przedziale niekończonym

TW. (kryt. porównawcze) Jeśli f i g są określone w przedziale [a,+∞] całkowalne w każdym przedziale [a,T] oraz f(x)>=g(x) dla wszystkich x>=a to zbieżność całki (3) zapewnia zbieżność całki (4). Natomiast rozbieżność całki (4) zapewnia rozbieżność całki (3)

22. Kryterium całkowe zbieżności szeregów.

Niech f: [n₀->∞) i nierosnąca. Wtedy Σ(od n=n₀ do ∞) f(n) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy całka niewłaściwa jest zbieżna:

23. Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej. Definicje.

Niech f(x) określona w [a,b], nieograniczona w lewostronnym sąsiedztwie pktu b, całkowalna w każdym przedziale [a,b-E], E>0

Jeśli istnieje granica skończona lim(przy E->0-) to nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji f w [a,b] i oznaczamy symbolem całka (od a do b) f(x)dx

24. Podstawowe definicje całki podwójnej w prostokącie.

Jeśli dla każdego ciągu przedziałów prostokąta Π, ciąg sum całkowych S_n jest zbieżny do tej samej skończonej granicy, niezależnie od wyboru pkt P_k, to te granice nazywamy całką podwójną z f w prostokącie Π i oznaczamy całka podwójna po Π f(x,y)dσ

25. Interpretacje geometryczne i fizyczne całki podwójnej w prostokącie.

Geom: Całka po obszarze równa jest objętości bryły ograniczonej płaszczyznami tego obszaru i wykresem funkcji f(x,y)

Fiz: Jeśli ρ(x,y) jest gęstością powierzchniową prostokąta Π to całka(po Π) z ρ(x,y) przedstawia z definicji masę tego prostokąta.

26. Własności całki podwójnej w prostokącie. Wartość średnia. Twierdzenie o wartości średniej.

1) Jeśli f jest całkowalna w prostokącie Π to a*f (a-dowolne) też jest całkowalna w prostokącie.

2) Jeśli f i g są całkowalne w prostokącie Π to ich suma też jest całkowalna w prostokącie Π.

3) Jeśli podzielimy prostokąt na 2 (Π₁ i Π₂) i f jest całkowalna w prostokącie Π to jest też całkowalna w Π₁ i Π₂.

Wart. śr.: f_śr=(całka po Π z f(x,y)dσ):(σ)- to jest po ułamkiem.

TW: Jeśli f jest ciągła w Π to istnieje pkt CєΠ, że wartość średnia: f_śr=(całka po Π z f(x,y)dσ):(σ)= f(C)

27. Twierdzenie o zmianie całki podwójnej na całkę iterowaną.

Całka określona wzorem: ∬_Df(x,y)dδ = ∫_a^b∫_Φ(x)^Ψ(x)(f(x, y)dy)dx to całka iterowana.

Z własności całek iterowanych bezpośrednio wynika, że jeśli D jest prostokątem danym nierównościami a≤x≤b, c≤y≤d, to: ∬_Df(x,y)dδ =∫_a^b∫_c^d[f(x, y)dy]dx =∫_c^d∫_a^b[f(x, y)dx]dy

A jeśli ponadto funkcja f(x,y)= Φ(x) Ψ(y), to całka podwójna równa się iloczynowi całek pojedynczych: ∬_DΦ(x)Ψ(y)dδ = ∫_a^bΦ(x)dx∫_c^dΨ(y)dy

28. Obszar normalny. Całka podwójna w tym obszarze. Wzory do obliczania całki podwójnej w obszarze normalnym. Zbiór regularny.

DF Zbiór domknięty D określony nierównościami a≤x≤b, Φ(x)≤y≤ Ψ(x), gdzie Φ(x) i Ψ(x)

są to funkcje ciągłe w przedziale [a,b], nazywamy obszarem normalnym.

Całkę podwójną f w obszarze normalnym D oznaczamy symbolem:

∬_Df(x, y)dδ i określamy ∫_Πf(x, y)dδ

Powołując się na twierdzenie o zamianie całki podwójnej na całkę iterowaną:

∬_Df(x, y)dδ = ∫_a^b∫_Φ(x)^Ψ(x)[f(x, y)dy]dx

DF Zbiór D określony nierównościami a≤y≤b; Φ(x)≤x≤ Ψ(x), gdzie Φ(x) i Ψ(x) są to

funkcje ciągłe w przedziale [a,b] nazywamy obszarem normalnym względem osi Y.

Całkę podwójną z funkcji f(x,y) w obszarze normalnym D względem osi Y określamy analogicznie: ∬_Df(x, y)dδ = ∫_a^b∫_Φ(x)^Ψ(x)[f(x, y)dy]dx

DF Zbiór D nazywamy regularnym jeśli jest on sumą D=D₁+D₂+ _… +D_n obszarów normalnych względem osi X lub osi Y, które nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.

DF Całkę podwójną funkcji f w obszarze regularnym D określamy jako sumę całek w obszarze normalnym D₁,D_{2 …} D_n. ∬_Df(x, y)dδ = ∬_D1fdδ + ∬_D2fdδ+…+ ∬_Dnfdδ

29. Interpretacje geometryczne i fizyczne całki podwójnej w obszarze normalnym.

Geom. Niech f(x,y) będzie funkcją ciągłą w obszarze regularnym D, gdzie f(x,y)≥0 dla każdego (x,y)єD. ∬_Df(x, y)dδ przedstawia objętość bryły o podstawie D, ograniczonej powierzchnią będącą wykresem f oraz powierzchnią walcową utworzoną z prostych równoległych do z i przechodzących przez brzegi obszaru D.

Fiz.

1. Jeżeli ρ(x,y) jest gęstością powierzchniową masy obszaru regularnego D to: ∬_Dρ(x, y)dδ przedstawia masę m tego obszaru.

2. ∬_Dyρ(x, y)dδ = My, ∬_Dxρ(x, y)dδ = Mx - momenty statyczne względem osi X i Y.

30. Zmiana zmiennych w całce podwójnej. Jakobian.

Zmiana zmiennych w całce podwójnej jest ściśle związana z odwzorowaniem zbioru płaskiego na zbiór płaski za pomocą pary funkcji dwóch zmiennych.

Jakobian – wyznacznik macierzy zbudowanej z pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu pewnego układu funkcji rzeczywistych. J(u, v) = $\left| \begin{matrix} \frac{\text{dx}}{\text{du}} & \frac{\text{dx}}{\text{dv}} \\ \frac{\text{dy}}{\text{du}} & \frac{\text{dy}}{\text{dv}} \\ \end{matrix} \right|$

31. Wprowadzenie zmiennych biegunowych w całce podwójnej.

Przy wprowadzaniu współrzędnych biegunowych: x = ρ cos Φ, y = ρ sin Φ

Mamy: ∬_Df(x, y)dxdy = ∬_Δf(ρcosϕ,  ρsinϕ)ρdρdϕ. Jest to wzór na zmianę współrzędnych prostokątnych na współrzędne biegunowe w całce podwójnej.

32. Całka potrójna w prostopadłościanie. Podstawowe definicje.

Niech Ω będzie obszarem regularnym lub domkniętym obszarem regularnym a f(x,y,z) funkcją ograniczoną w Ω. Oznaczmy przez A punkt o współrzędnych (x,y,z). Będziemy oznaczali funkcję f(x,y,z) krótko przez f(A). Niech P będzie dowolnym prostopadłościanem (o ścianach równoległych do płaszczyzn współrzędnych) zawierającym Ω. Niech π_n oznacza dowolny rozkład prostopadłościanu na skończoną liczbę m_n prostopadłościanów częściowych. Niech A_i oznacza dowolny punkt obszaru Ω należący do prostopadłościanu.

Jeżeli dla każdego ciągu podziałów {π_n}, dla którego δ_n=0 ciąg jest zbieżny do tej samej liczby bez względu na wybór punktów A_i, to mówimy, że funkcja f(x,y,z) jest całkowalna w obszarze Ω, a wspólną granicę ciągów nazywamy całką potrójną funkcji f(x,y,z) w obszarze Ω i oznaczamy symbolem: ∭_Ωf(x, y, z)dV lub ∭_Ωf(x, y, z)dxdydz

Łatwo wykazać, że całkowalność funkcji f(x,y,z) w obszarze Ω i wartość całki nie zależy od wyboru prostopadłościanu P (byleby tylko obejmował on obszar Ω). Można wykazać, że każda funkcja ciągła w obszarze regularnym Ω jest w nim całkowalna, a nawet że funkcja f(x,y,z) ciągła w obszarze regularnym Ω z wyjątkiem punktów leżących na skończonej ilości powierzchni jest całkowalna w Ω. Stale jednak obowiązuje założenie, że funkcja f(x,y,z) jest ograniczona w całym obszarze Ω.

33. Interpretacje geometryczne i fizyczne całki potrójnej.

∭_πf(P)dV(*)

Geom. Jeśli f(P)=1 to całka (*) przedstawia objętość prostopadłościanu Π.

Fiz. Jeśli f(P) jest gęstością objętościową masy Π to całka (*) przedstawia masę tego prostopadłościanu.

34. Własności całki potrójnej w prostopadłościanie. Wartość średnia. Twierdzenie o wartości średniej.

Całka potrójna w prostopadłościanie posiada własności analogiczne do własności całki podwójnej.

DF Niech f będzie całkowalna w prostopadłościanie Π o objętości V, to: $\frac{\iiint_{\pi}^{}{f\left( P \right)\text{dV}}}{V}$ nazywamy wartością średnią funkcji f w prostopadłościanie Π. Oznaczamy F_śr.

TW (o wartości średniej) Jeśli f jest ciągła w Π to istnieje taki punkt CєΠ dla którego F_śr równa się wartości funkcji f w tym punkcie F_śr = f(C)

35.Twierdzenie o zamianie całki potrójnej na całkę iterowaną.

Jeśli f jest ciągła w Π określonym nierównościami: a≤x≤ b, c≤y≤d, p≤z≤q to całka potrójna w tym prostopadłościanie równa się: ∭_πf(F)dV = ∫_a^b[∫_c^d[∫_p^qf(x,y,z)dz]dy]dx

36. Całka potrójna w obszarze normalnym. Wzory do obliczania.

DF Zbiór domknięty (Ω) określamy nierównościami K(x,y)≤z≤Ψ(x,y) gdzie punkt (x,y)∈D gdzie D jest obszarem regularnym na płaszczyźnie a funkcje K, Ψ są w nim ciągłe nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny x, y.

Analogicznie określamy obszar normalny względem płaszczyzny y,z i x,z.

Wzory:

1. Do obliczania masy ciała: ∭_Ωf(P)dV = ∬_D[∫_Ψ^Ψf(x,y,z)]dδ (*)

2. Gdy ∭_Πf(F)dV = ∫_a^b[∫_c^d[∫_p^qf(x,y,z)dz]dy]dx, że dla ∀z ∈ [p,q] zbiór wszystkich punktów obszaru Ω, które mają trzecią współrzędną z stanowi figurę, której rzutem na płaszczyznę x,y jest obszar regularny D2 , wtedy naszą całkę potrójną można obliczyć korzystając z: ∭_Ωf(P)dV = ∫_p^q[∬_D2f(x,y,z)dxdy]dz

Uwaga 1: Jeżeli zbiór Ω jest obszarem normalnym względem płaszczyzny xz lub yz to całkę potrójną w tym obszarze można obliczyć za pomocą wzoru analogicznego do (*).

Uwaga 2: Jeśli zbiór Ω jest sumą skończoną obszarów normalnych, które nie mają punktów wspólnych wewnętrznych to całkę z funkcji f w zbiorze Ω określamy jako sumę całek po wszystkich tych obszarach.

37. Zamiana zmiennych w całce potrójnej. Jakobian

Przypuśćmy, że: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) to odwzorowuje jednocześnie zbiór Ωo w przestrzeni UVW na zbiór regularny Ω w przestrzeni XYZ przy czym każda z funkcji będzie klasy C1.

Jeżeli funkcja f(x,y,z) jest ciągła w obszarze Ω oraz jakobian J przekształcenia równa się:

J(u,v,w) = $\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \\ \end{bmatrix}$ ≠ 0, dla każdego (u,v,w)єΩ, to jest poprawny wzór:

∭_Ωf(x,y,z)dxdydz = ∭_Ω0f[x(u,z,w), y(u,v,w), z(u,v,w)] * J(u,v,w)dudvdw

38. Współrzędne sferyczne.

x = rcosϕ cosφ

y = rsinϕ sinφ

z = rcosφ

J=r² sinφ

∭_Ωf(x, y, z)dxdydz = ∭_Ω0f(r,θ, φ) * J(r,θ,φ)drdθdφ

39. Współrzędne cylindryczne (walcowe)

x = rcosθ

y = rsinθ

z = z

J(r,θ,z)= r

∭_Ωf(x, y, z)dxdydz = ∭_Ω0f(r,θ, z) * J(r,θ,z)drdθdz

40. Krzywa, kierunek
DF Zbiór punktów (x,y) na płaszczyźnie określonych równościami x=x(t) , y=y(t), tє[α,β] (1)
gdzie x(t) i y(t) funkcje ciągłe, nazywamy krzywą na płaszczyźnie, t to parametr.
DF Krzywą określoną równaniami (1) nazywamy prostą jeśli t₁≠ t₂ ->(x(t1), y(t1) ≠(x(t2), y(t2)).
DF Krzywą nazywamy otwartą jeśli A nierówna się B. (dwa końce krzywej)
Kierunek: krzywej o równaniu (1) można nadać kierunek przypisując A  za początek a B za koniec, albo na odwrót. W pierwszym przypadku kierunek jest zgodny ze wzrostem parametru.

41. Całka krzywoliniowa skierowana. Podstawowe definicje. Interpretacja fizyczna.

DF Zbiór pkt (x,y) na płaszczyźnie określonych równościami x=x(t) , y=y(y), tϵ[α,β) (1) gdzie x(t) i y(t) → f. ciągła i nazywamy krzywą na płaszczyźnie.

Wartości α, β odpowiadają punkty A=(x(α),y(α)) B=(x(β),y(β))

DF Krzywą nazywamy otwartą, jeśli A ≠ B

DF Krzywą określoną równaniem (1) nazywamy prostą jeśli t₁ ≠t₂ → (x(t₁),y(t₁))≠(x(t₂),y(t₂))

Krzywej o równaniu (1) można nadać kierunek przyjmując A za pocz. a B za koniec (albo odwrotnie). W I przyp. kier krzywej jest zgodny ze wzrostem parametru. W II przyp. kier. niezgodny.

DF Krzywej której nadano kierunek nazywamy krzywą skierowaną i oznaczamy AB

Gdy krzywe AB i BAróżnią się tylko kierunkiem to oznaczamy AB = - BA

Jeśli nie mówimy że przeciwne – krzywa zgodna z parametrem

*nad wszystkimi AB i BA mają być łuczki :)

42. Twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną.

Jeśli funkcje P(x,y),Q(x,y) są ciągłe na stałej krzywej prostej AB o wzorze parametrycznym x(t), y(t) → klasy C₁ to istnieje ∫_ABP(x,y)dx + Q(x,y)dy (4) = ∫_a^b[P(x(t),y(t))x^′(t)+Q(x(t),y(t))y^′(t)]dt

Fiz. ∫_AB<R, dl> = $\operatorname{}{\sum_{k = 1}^{n}{< P_{k},\Delta l_{k} >}}$ (3)

Jeśli R jest wektorem siły w pkt (x,y) o wspołrz P(x,y) i Q(x,y) to całka (3) przedstawia prace siły R wzdłuż krzywej AB

Uwaga 1: Jeśli Q = 0 to całka (4) redukuje się do : Całka od AB z P(x,y)dx (5)

Jeśli P =0 to : Całka od AB z Q(x,y)dy (6)

Uwaga 2: Całka (4) red się do (5) gdy AB jest odcinkiem || do osi X

Całka (4) redukuje się do (6) gdy AB jest odcinkiem || do osi Y

43. Skierowanie krzywej względem swego wnętrza.

Utwórzmy wektor styczny s skierowany zgodnie z kierunkiem krzywej oraz wektor n (prostopadły do s) o początku w P₀ i skierowany od wektora s przeciwnie do wskazówek zegara. Wtedy: Jeśli wektor n jest skierowany do wnętrza D krzywej to mówimy że krzywa K jest skierowana dodatnio względem swego wnętrza. W przeciwnym razie- ujemnie.

44. Twierdzenie Greena
Jeżeli funkcje P(x,y) i Q (x,y) są klasy C¹ w obszarze normalnym D względem osi X lub osi Y, przy czym brzeg K tego obszaru jest krzywą skierowaną dodatnio względem wnętrza to: -wzór Greena
-pochodna względem X, -pochodna względem Y

45. Twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od kształtu drogi całkowania. Wnioski.
Jeżeli funkcje P(x,y) i Q (x,y) są klasy C¹ w obszarze normalnym D to spełnienie równości:
=(1) jest równoważne temu, że całka po otwartej krzywej gładkiej nie zależy od kształtu tej krzywej, a tylko od punktu A i B
Wniosek 1:
Jeżeli P(x,y) i Q (x,y) są klasy C¹ i spełniają warunek (1) w obszarze normalnym D to: dla każdej kawałkami gładkiej krzywej zamkniętej C (2)
Wniosek 2:
Jeżeli P(x,y) i Q (x,y) są klasy C¹ w obszarze normalnym D oraz dla każdej kawałkami gładkiej krzywej
spełniony jest warunek (2) to w każdym punkcie tego obszaru spełniony jest warunek (1)

46. Warunek istnienia funkcji z danymi pochodnymi cząstkowymi. Jej znalezienie.
Przypuśćmy, że P(x,y) i Q (x,y) są klasy C¹ w prostokącie D, że a<x<b i c<y<d
Sprawdzamy czy istnieje w tym obszarze funkcja U(x,y), która ma takie własności:
i (1)
Gdy (1) istnieje, to: i
P(x,y) i Q (x,y) są klasy C¹ więc drugie pochodne mieszane są równe:
Jeżeli (1) istnieje to warunek =jest spełniony.
Warunek = jest konieczny, by U spełniała warunek (1)
Okazuje się, że warunek ten jest także wystarczający
(6), gdzie - dowolny punkt CD

47. Całka krzywoliniowa nieskierowana. Podstawowe definicje.
Krzywa L –otwarta o równaniach parametrycznych x=x(t) i y=y(t),
Przypuśćmy, że dla danej krzywej x=x(t) i y=y(t)
Można udowodnić, że dlugość L- . Przypuścmy, że w każdym punkcie krzywej l określona jest funkcja dwóch zmiennych
Def. (całki z funkcji f(x,y) po krzywej L):
Dzielimy przedział :
Podziałowi temu odpowiada podział krzywej L na części: ()itd.
-długość części krzywej k=1,…,n

W każdym przedziale wybieramy punkt , taki że
Punktowi temu odpowiada na krzywej punkt
Utwórzmy sumę (1) oraz rozważmy ciąg normalny podziału przedziału
DEF: Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziału przedziału ciąg sum (1) jest zbieżny do tej samej granicy skończonej niezależnej od wyboru punktu to tę granicę nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną z funkcji f po krzywej L i oznaczamy symbolem: , gdzie -średnica podziału przedziału na n części

48. Interpretacje geometryczne i fizyczne całki krzywoliniowej nieskierowanej.
Interpretacja geometryczna:
1. f(x,y)=1 to jest stały i jest równy l więc przedstawia długość krzywej L
2. f(x,y)>0 i jest ciągła to przedstawia pole powierzchni
Interpretacja fizyczna:
Jeżeli jest gęstością liniową masy krzywej L to przedstawia masę m tej krzywej
natomiast liczby i to współrzędne środka masy krzywej L
49. Zamiana całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę oznaczoną.
Jeżeli f(x,y) jest ciągła na otwartej prostej i gładkiej krzywej L o przestawieniu parametrycznym x=x(t) i y=y(t) , to całka istnieje, przy czym:

50. Gładki płat powierzchniowy. Całka powierzchniowa niezorientowana. Podstawowe definicje.

Gładkim płatem powierzchniowym (względem płaszczyzny xy) nazywamy wykres funkcji z=f(x,y) gdzie płat (x,y) €D klasy C1(D) gdzie D- oznacza obszar regularny.

Pow. Stanowiącą zbiór spójny pkt, którą można podzielić na skończoną liczbę gładkich płatów powierzchniowych nazywamy pow. regularną.

Rozważmy F określona na płacie: F*(x,y,z)=F(x,y,z) €D a F*(x,y,z)=0D

P_k=P(x_k,y_k) punkt należący do prostokąta ∩. A_k=(x_k,y_k,f(x_k,y_k)) (x_k,y_k)€D a

A_k=(x_k,y_k,0) (x_k,y_k)€∩\D. S_k-pole tej części płaszczyzny stycznej do w w pkt A_k która leży nad ∩.

Całka niezorien.-Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziału prostokąta na ∩ (∩ jest prost. Zawierającym interesujący nas obszar D) ciąg sum S_n=*(A_k)S_k jest zbieżny do tej samej granicy skończonej niezależnie od wyboru P_k to te granice nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną z F po .

51. Interpretacje geometryczne i fizyczne całki powierzchniowej niezorientowanej.

Interpretacja geom. Jeśli F(x,y,z)=1 to całka dS. przedstawia pole płata gładkiego .

Interpretacja fiz. Jeśli g(x,y,z) jest gęstością powierzchni masy płata to (x,y,z)dS przedstawia masę tego płata.

52. Obliczanie całki powierzchniowej niezorientowanej.

Jeśli F jest ciągłe na gładkim płacie to całka ∫∫F(x,y,z)dS istnieje i można ją obliczyć ze wzoru:

(x,y,z)dS=(x,y,f(x,y))dxdy

53. Szereg funkcyjny, jego zbieżność. Szereg potęgowy. Promień zbieżności. Przedział zbieżności. Ich obliczanie.

Szeregiem funkcyjnym nazywamy wyrażenie postaci

f₁(x)+ f₂(x)+ f₃(x)+…= f_n(x). Mówimy że ten szereg jest zbieżny w pkt x₁ gdy szereg liczb f_n(x₁) jest zbieżny.

Szereg potęgowy może być zbieżny lub rozbieżny. Szereg pot. o środku x₀ i współczynnikach C_n nazywamy szereg funkcyjny postaci:

C_n (x-x₀)ⁿ , x€R. Istnieje taka liczba R€[0,∞], że szereg ten jest zbieżny bezwzględnie w przedziale (x0-R, x₀+R) i rozbieżny (-∞,x₀-R) i (x₀+R,∞).

Liczby R nazywamy promieniem zbieżności.

Obliczanie: R=lub R=

54. Szereg Taylora i Maclaurina. Wielomian Taylora. Wzór z reszta La Grange’a. Tw o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora. Tw o jednoznaczności rozwijania funkcji szereg potęgowy.

Def. szeregów Taylora i Maclaurina. Niech f ma w x₀ pochodną dowolnego rzędu.

Dla x₀=0 jest to szereg Maclaurina.

Tw. o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora 1)Niech f ma poch. dowolnego rzędu w otoczeniu O(x₀) punktu x₀ 2) dla każdego C€ O(x₀)

I wtedy dla każdego x€ O(x₀) zachodzi równość: f(x)=

Tw o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy: Jeżeli na otoczeniu pkt x₀ funkcja jest sumą szer. Potęgowego to jest to jej szereg Taylora.

Jeśli f(x)= dla każdego x€ O(x₀) to te liczby C_n= dla każdego n€N

55. Szeregi Maclaurina dla funkcji sinx, cosx ,e^x

sinx= cos= e^x=

56. Twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego. Przykład zastosowania.

TW: Niech liczba 0<R≤∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego wtedy ∑^∞_n=1(nC_n*X^n-1) jest zbieżny na przedziale (-R,R) i (∑^∞_n=0C_n*Xⁿ)’ = ∑^∞_n=1 nC_n*X^n-1.

UWAGA! Podobny wzór jest prawdziwy dla postaci: ∑^∞_n=0C_n(X-X₀)ⁿ

Przykład: Oblicz ∑^∞_n=1n(0/5)^n-1

Rozpatrzmy szereg (∑^∞_n=0Xⁿ)’=(1/(1-x))’=1/(1-x)² dla (-1,1),

Korzystamy z TW. (∑^∞_n=0Xⁿ)’ = ∑^∞_n=1 nX^n-1 ; ∑^∞_n=1 (0,5)^n-1=1/(1-0,5)²=4

57. Twierdzenie o całowaniu szeregu potęgowego. Przykład zastosowania.

TW: Niech liczba 0<R≤∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego ∑^∞_n=0C_n*Xⁿ , x₀=0 wtedy szereg ∑^∞_n=0(C_n/(n+1))*Xⁿ⁺¹ jest zbieżny dla każdego xє(-R, R), ponadto = ∑^∞_n=0(C_n/(n+1))*Xⁿ⁺¹.

UWAGA! Podobny wzór jest prawdziwy dla postaci: ∑^∞_n=0C_n(X-X₀)ⁿ

Przykład: ln(1+x)

Wiemy, że szereg geom. 1-t+t²-t³+…=1/(1+t) jest zbieżny w (-1,1)

=x- x²/2 + x³/3 - …= ∑^∞_n=1(-1)^n-1 * Xⁿ/n w przedziale (-1,1)

58. Równania różniczkowe. Rozwiązywanie szczególne. Rozwiązanie ogólne. Zagadnienie Cauchy’ego. Warunki początkowe. Rząd równania różniczkowego. Krzywa całkowa.

DEF. Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie postaci F (x, y, y’, y”, y^(n’)) = 0 w którym F - funkcja wiadoma od n+2 zmiennych, y(x) - niewiadoma określona na przedziale (a, b);

DEF. Liczbę n (w równaniu F (x, y, y’, y”, y^(n’)) = 0) nazywamy rzędem równania różniczkowego

DEF. Równaniem ogólnym równania F(x, y, y’, y”, y^(n’)) = 0 nazywamy zbiór wszystkich rozwiązań tego równania.

DEF. Rozwiązanie, szczególny, równania F(x, y, y’, y”, y^(n’)) = 0 nazywamy każdą pojedynczą funkcję spełniającą to równanie.

DEF. Wykres każdego rozwiązania szczególnego równania różniczkowego nazywamy krzywą całkową tego równania.

DEF. Zagadnieniem Cauchy’ego dla równania F(x, y, y’, y”, y^(n’)) = 0 nazywamy następujące zagadnienie: „znaleźć rozwiązanie szczególne danego równania F(x, y, y’, y”, y^(n’)) = 0 które spełnia warunki początkowe”: y(x₀) = y₀; y’(x₀) = y₁ ; …; y^(n’) = y_n-1;

W tych wartościach liczby y₀, y₁…y_n-1 są znane i nazywamy wartościami początkowymi

59. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Postać różniczkowa równania. Przykłady

[ f(x) określ. na (a,b) i g(x) określ. na (c,d) ] są ciągłe g(x)≠0

DEF. Równanie różniczkowe postaci: y’(x)=f(x)/g(y(x)) o f. niewiadomej y(x) i nazywamy równ. różniczkowym o zmiennych rozdzielonych.

Jeśli dy/dx = f(x)/g(y) to można to zapisać w postaci różniczkowej: g(y)dy=f(x)dx

Przykład1: g(y(x))*y’(x)=f(x)

∫ g(y(x))*y’(x)dx=∫f(x)dx

y(x)=y wtedy dy=y’(x)dx, ∫g(y)dy=∫f(x)dx

Jeśli G(y) – jest f. pierwotną dla g(y) i F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x) to mamy

G(y)=F(x)+C; y=G^-1[F(x)+C] – równanie ogólne y’(x)=f(x)/g(y(x))

Przykład2: znajdź rozwiązanie szczególne: dy/dx=e^-y*cos spełnia w.p. y(0)=0, x=0, y=0

∫e^ydy = ∫cosxdx; e^y=sinx + C; e⁰=sin0 + C; 1=C; e^y=sinx+1 oraz ln(e^y=ln(sinx+1)

l=ln(sinx+1) rozwiązanie zagadnienia Cauche’go

60. Równanie liniowe rzędu 1-go. Jednorodne i niejednorodne.

DEF. dy/dx + p(x)y = f(x); p(x), f(x) – f. dane i ciągłe w (a, b); nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu 1-go: jednorodnym gdy f(x)=0, niejednorodnym f(x)≠0

Przykład: dy/dx –e^xy=0 – równ. liniowe rzędu 1-go jednorodne (p(x)=e^x, f(x)=0)

dy/dx+2sinx*y=cos – równ. liniowe rzędu 2-go niejednorodne (p(x)=2sinx, f(x)=cos)

dy/dx + y² = 0 nie jest równ. liniowym rzędu 1-go

61. Rozwiązanie równania liniowego rzędu 1-go jednorodnego.

dy/dx + p(x)y=0;

Równanie dy/dx + p(x)y=0 spełnia funkcja y(x)=0; Jeśli y(x)≠0 jest równ. 0 zmiennych rozdzielonych

dy/dx = -p(x)y; p(x) = ∫p(x)dx

∫dy/y = ∫-p(x)dx;

ln|y| = -p(x) + C₁, C₁єR;

|y|=e^-p(x) * e^C1, C₁ єR

y = e^C1 * e^-p(x) lub y= - e^C1 * e^-p(x) c=e^C1

y = c * e^-p(x), c≠0

Rozw. ogólne równania dy/dx + p(x)y=0: y = c * e^-p(x), cєR

Rozważamy zagadnienie Cauche’go dla tego równania:

y(x₀)=y₀; y₀=c*e^-p(x0) c=y₀* e^-p(x0)

W: Jeśli funkcja p(x) jest ciągła w przedziale (a, b) to wzór:” y = ce^-p(x), c є R ” przedstawia rozwiązanie ogólne zadanego równania. Zagadnienie Cauchy’ego dla zadanego równania ma dokładnie 1. rozwiązanie.

62. Rozwiązanie równania liniowego rzędu 1-go niejednorodnego. Metoda uzmienniania stałej.

Metoda polega na tym, że we wzorze: y=ce^-P(x), c є R, zastępujemy stałą c funkcją C(x) i tak dobieramy funkcję, aby y(x) = C(x)e^-P(x) była rozwiązaniem ogólnym równania dy/dx – e^xy = 0. Czyli, C(x) = ∫f(x)e^P(x)dx + C₁ jest rozwiązaniem ogólnym, aby otrzymać rozwiązanie szczególne to musimy z warunku (wcześniej podanego) obliczyć nasze C₁.

63. Rozwiązanie równania liniowego rzędu 1-go niejednorodnego. Metoda przewidywań.

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego można zapisać, jako sumę rozwiązanie ogólnego równania jednorodnego oraz rozwiązania szczególnego. Równanie szczególnego możemy wyznaczyć metodą przewidywania, tzn. jeżeli p(x) = const a q(x) jest wielomianem, funkcją wykładniczą, sinusem, cosinusem lub kombinację wymienionych to istnieje rozwiązanie szczególne (RS) w tej samej postaci, ale z innymi współczynnikami, które wyliczamy po podstawieniu do równania.

np.

q(x) [a, b, c, k, w – stałe znane]	RS [A, B, C – stałe nieznane]
ae^kx	Ae^kx
asin(wx) + bcos(wx)	Asin(wx)+Bcos(wx)
a, a+bx, a+bx+cx^2, ...	A, A+Bx, A+Bx+Cx^2, ...

64. Równanie zupełne. Rozwiązanie.

Niech będą dane funkcje P(x,y) i Q(x,y) klasy C₁ w pewnym obszarze normalnym D, i niech Q(x,y) będzie różne od zera w tym obszarze D.

dy/dx = -P(x,y)/Q(x,y)

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (*)

Mówimy, że równanie (*) jest równaniem różniczkowym zupełnym, gdy istnieje taka funkcja u(x,y) klasy C₂ w obszarze D, której różniczka zupełna równa się lewej stronie tego równania.

u'_xdx + u'_ydy = P(x,y)dx + Q(x,y)dy, czyli u'_x = P(x,y) i u'_y = Q(x,y)

Rozwiązanie: du = 0, czyli u(x,y) = C – jest to rozw. ogólne równania (*) zapisane w postaci uwikłanej

65. Równanie liniowe rzędu 2-go o stałych współczynnikach, jednorodne. Rozwiązanie za pomocą równania charakterystycznego.

y'' + py' + qy = 0, p,qєR jest to równ. różniczkowe liniowe jednorodne II rzędu o stałych współczynnikach. Jego równaniem charakterystycznym jest równanie: r² + ar + b = 0 (*). Rozwiązanie równania różniczkowego jest w zależności od pierwiastków równania (*):

- dwa pierwiastki rzeczywiste (r₁, r₂) to rozwiązanie ogólne: C₁e^r1x + C₂e^r2x

- jeden pierwiastek rzeczywisty (r₀) to RO: C₁e^r0x + C₂xe^r0x

- pierwiastki zespolone (a+bi, a-bi) to RO: C₁e^axcosbx + C₂e^axsinbx

66. Równanie liniowe rzędu 2-go o stałych współczynnikach, niejednorodne. Rozwiązanie metodą uzmiennienia stałych.

Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne: y'' + ay' + b = f(x) można rozwiązać metodą uzmiennienia stałych, czyli stałe C₁ i C₂ zamienić na funkcje C₁(x), C₂(x) które będą spełniały układ równań:

C'₁(x)y₁(x) + C'₂(x)y₂(x) = 0

C'₁(x)y'₁(x) + C'₂(x)y'₂(x) = f(x)

z którego wyliczamy algebraicznie C'' następnie całkując C₁, C₂.

UWAGA!! współczynnik przy y'' musi być 1. Jeśli nie jest dzielimy obustronnie przez niego równanie.

67. Równanie liniowe rzędu 2-go o stałych współczynnikach, niejednorodne. Metoda przewidywań.

Zasada taka sama jak w równaniach I rzędu (patrz 63).