ZADANIA Z ĆWICZEŃ: Zwartość i ciągłość: 1.Jeśli f:(X,d1)→(X,d2) jest ciągła na zbiorach zwartych, to jest ciągła. (albo: jeśli f:X→Y ciągła na zbiorach zwartych to f ciągła.) f. jest ciągła tzn, że jeśli xn→x0 to f(xn)→f(x0). Weźmy ciąg xn→x0. Jeśli AcX i A jest zwarty, to dla każdego ciągu xn→x0 takiego, że xnЄA i x0ЄA zachodzi f(xn)→f(x0). xn→x0, bierzemy zb. punktów tego ciągu: x1,x2,x3,…=A. bierzemy ciąg złożony z punktów należących do A. podciąg tego ciągu jest zbieżny. Więc każdy ciąg jest zbieżny (bo podciąg jest zbieżny). Zbiór punktów ciągu xn sam jest zwarty (ciągi są zbiorami zwartymi). 2. f:X→Y, y zwarte, jeśli wykres jest domknięty to f jest ciągła. Wykres W c XxY. Chcemy pokazać, że f ciągła, czyli chcemy pokazać że xn→x0 to f(xn)→f(x0). Weźmy ciąg xn→x0. y0=f(x0), y1=f(x1),…,yn=f(xn),… W={(x,y)ЄXxY, y=f(x)}. (xn,yn)cW, yncY –przestrzeń zwarta, czuli da się wybrać ykn→y’. (xkn,ykn)→(x0,y’). Zatem (x0,y’)ЄW’. Wykres W jest domknięty, stąd (x0,y’)ЄW=> y’=y0=f(x0). (xkn,ykn)→(x0,y0). xnk→x0=>f(xkn)→f(x0). Przypuśćmy, że funkcja nie jest ciągła, wtedy istnieje xn→x0 taki, że f(xn) nie dąży do f(x0). Zwartość, rzutowanie a domkniętość: 3. Jeśli Y zwarta to rzutowanie (p(x,y)=x) XxY→X jest funkcją domkniętą, tzn. jeśli AcXxY domknięty to p(A) domknięty cX. P(A) jest domknięty to znaczy, że zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Niech x będzie punktem skupienia zbioru p(A), tzn. że istnieje ciąg xn→x i jest zawarty w p(A), czyli xnЄp(A), czyli istnieje takie anЄA taki że p(an)=xn. Każdy an=(xn,bn), p((xn,bn))=an=xn, czyli an=xn. bnЄY, więc istnieje podciąg bnk, który jest zbieżny do b0, ank=(xnk,bnk)→(x,b0), więc (x,b0) jest punktem skupienia ciągu ankЄA. Więc (x,b0) jest punktem skupienia zbioru A, stąd (x,b0) jest punktem zbioru A ((x,b0)ЄA) więc punkt x=p((x,b0)), więc xЄp(A). to znaczy p(A) jest domknięty. 4. Jeśli A1, A2cX są zwarte, to A1∪A2 też. Załóżmy, że A1, A2 zwarte. Chcemy pokazać że A1∪A2 zwarte. Weźmy xnЄA1∪A2, xnЄA1 lub xnЄA2. Niech xnkЄA1, a A1 zwarte, więc podciąg xnkm podciągu xnk też. Spójność, łańcuch a zb otwarte: 5. Jeśli A∪B spójne i A∩B spójna i A,B otwarte to A i B spójne. A=A1∪A2, A1∩A2=Ø. Przypuśćmy A∩B⊂A2, A∪B=A1∪(A2∪B). A1∩(A2∪B)=(Ø=A1∩A2)∪(A1∩B)⊂ A1∩(A∩B)⊂A2⊂A1∩A2=Ø. 6. Jeśli X=UG pokrycie otwarte i X spójna to każde dwa punkty a,bЄX można połączyć skończonym łańcuchem zbiorów Gi. Y={b:istnieje łańcuch} Y jest otwarte i domknięte} Pokażemy żę Y jest otwarte, tzn. że zawiera punkty wewnętrzne, więc weźmy punkt yЄY I pokażemy że y-wewnętrzny. Rys. Bierzemy kulę która jest zwarta w ostatnim zbiorze łańcucha. Ta kula istnieje bo G jest otwarty. Wszystkie punkty w tej kuli łączą się z a w tym łańcuchu. Trzeba pokazać, że Y jest domknięty. Więc weźmy y0 –punkt skupienia zbioru Y. Rys. Istnieje taki Gi który zawiera y0, bo przestrzeń jest sumą zbiorów. Więc y0ЄGi. Każda kula B(y0,r) zawiera punkty zbioru Y. Weźmy kulę B(y0,r)cGi, istnieje yЄB(y0,r)∩Y=>yЄGi. Budujemy łańcuch łączący a z y0 to będzie dowód że y0ЄY. Rys. 7. X- spójna każdy zbiór A≠Ø i A≠X ma niepusty brzeg (każdy niepusty zbiór ma niepusty brzeg). X jest spójna gdy nie istnieje taki AcX, że A jest jednocześnie domknięty i otwarty. Niech A będzie dow. zbiorem i A≠Ø oraz A≠X. Przypuśćmy, że A ma pusty brzeg.	Pokażemy, że A jest otwarty i domknięty. Wiemy że A ma pusty brzeg. Pokażemy, że A jest otwarty. Niech xЄA. Chcemy pokazać, że istnieje kula B(x,r)cA. Przypuśćmy że nie. ∃B(x, r)B(x,r)cA, a zaprzeczenie: ∀B(x, r)B(x,r)A. xЄδA jeśli ∀B(x, r)B(x,r) więc punkt x jest brzegowy. Więc A jest otwarty. Pokażemy teraz, że A jest domknięty (zawiera więc swoje punkty skupienia). Niech x będzie punktem skupienia zbioru A, czyli istnieje ciąg anЄA taki, że an≠x0 i an→x0. Chcemy pokazać że x0ЄA. Przypuśćmy że tak nie jest. Pokażemy, że x0 jest brzegowy, czyli każda kula B(x0,r) zawiera punkty z A i z X-A. x0 jest brzegowy. Sprzeczność, x0ЄA, δA=Ā∩(X-A). Jeżeli A jest domknięty i otwarty, to Ā=A, (X-A)=X-A, więc δA=A∩X-A, czyli δA=Ø. Spójność a zwartość: 8. Wykres funkcji ciągłej f:[a,b]→X jest spójny. Jeśli X jest spójny i f:X→Y- ciągła to f(X) jest spójny. Obraz:f(X)={f(x):xЄX} Obraz: g(X)={g(x):xЄX}= {(x,f(x)): xЄ[a,b]}- wykres f(x). g:R→R^2. g(X)=(x,f(x)). 9. X spójna każde dwa punkty są zwarte w zbiorze spójnym. => : Zakładamy, że X-spójna. Weźmy x,yЄX. X-zbiór spójny zawierający x,y. <= : Zakładamy, że dla każdych x,y istnieje zbior Axy spójny taki, że x,yЄAxy. Chcemy pokazać, że x- spójna, X=∪y ∈ XAxy, X- ustalony. ???