Warszawa, 28-01-2011

Sprawozdanie ćwiczenie 25

Temat: Zjawisko interferencji światła. Pierścienie newtona, Interferometr Michelsona.

Wstęp teoretyczny

Interferencja- efekt nakładania się fal, w wyniku czego może wystąpić wzmocnienie natężenia fali wypadkowej (fale nakładają się w fazach zgodnych) lub osłabienie (nakładanie się w fazach przeciwnych).

Interferencję możemy zaobserwować stosując monochromatyczne źródło światła, zapewniając spójność wzajemną interferujących promieni. Stosowanym sposobem jest podział promienia biegnącego ze źródeł na dwa, z których każdy przebywa inną drogę, a następnie spowodowanie ich ponownego nałożenia. Spójność wzajemna promieni będzie zachowana tylko wtedy, jeżeli różnica przebytych dróg nie będzie zbyt duża.

Matematyczny opis natężenia nakładających się fal:

$$I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1} + I_{2}}\cos\phi$$

Gdzie: ϕ- kąt przesunięcia fazowego ($\phi = kn = \frac{2\pi}{\lambda}n$)

W zależności od wartości kąta przesunięcia ostatni wyraz zmienia się w granicach:

Od $- 2\sqrt{I_{1}I_{2}}$ (gdy cosϕ=-1, a więc $\phi = kn = \frac{2\pi}{\lambda}n = (2m + 1)\pi$

Do $2\sqrt{I_{1}I_{2}}$ (gdy cosϕ=1, a więc $\phi = kn = \frac{2\pi}{\lambda}n = m2\pi$

Z powyższych rozważań wynika, że osłabienie otrzymamy gdy $n = \frac{\lambda(2m + 1)}{2}$, natomiast wzmocnienie gdy n = mλ.

Część pierwsza- pierścienie Newtona

Na szklaną płytkę kładziemy płasko-wypukłą soczewkę o dużym promieniu krzywizny kierujemy wiązkę światła monochromatycznego o długości λ biegnącą prostopadle do powierzchni płytki. Promienie odbite od wypukłej strony soczewki (1’) mogą interferować z promieniami odbitymi od górnej powierzchni płytki (1’’) gdyż są wzajemnie spójne jako pochodzące od tego samego promienia a droga optyczna między nimi nie jest duża.

R² = r_m² + (R − e)² (1)

Ponieważ e ≪ R możemy zredukować powyższe równanie do postaci:

$$2e = \frac{{r_{m}}^{2}}{R}\ (2)$$

Pierścienie newtona są ciemne a więc dokonując przekształceń warunków na wygaszenie można uzyskać, iż 2e = mλ (3)

Zestawiając równie (2) z równaniem (3) otrzymujemy zależność pomiędzy promieniem pierścienia newtona  r_m a promieniem krzywizny soczewki R, długością fali λ oraz rzędem interferencji mającą postać:

r_m² = Rλm

Wykonanie ćwiczenia:

1. Włączyliśmy lampę sodową, położyliśmy na stoliku krzyżowym płytkę z soczewką i znaleźliśmy ostry obraz pierścieni interferencyjnych.

2. Zmierzyliśmy średnice dziesięciu kolejnych pierścieni interferencyjnych.

3. Zmieniliśmy źródło światła, na źródło o nie znanej długości fali. Zmierzyliśmy w ten sam sposób co poprzednio kolejne dziesięć pierścieni interferencyjnych.

Wyniki pomiarów dla lampy sodowej.

Dane metrologiczne: λ=589,3nm

		rząd	dm[mm]	rm[mm]	rm *	rm^2[mm^2]	rm^2 *	m*λ [mm]
	1		2,27	1,135	0,01	1,288225	0,0227	0,000589
	2		3,14	1,57	0,01	2,4649	0,0314	0,001179
	3		3,83	1,915	0,01	3,667225	0,0383	0,001768
	4		4,39	2,195	0,01	4,818025	0,0439	0,002357
	5		4,9	2,45	0,01	6,0025	0,049	0,002947
	6		5,36	2,68	0,01	7,1824	0,0536	0,003536
	7		5,75	2,875	0,01	8,265625	0,0575	0,004125
	8		6,15	3,075	0,01	9,455625	0,0615	0,004714
	9		6,51	3,255	0,01	10,59503	0,0651	0,005304
	10		6,87	3,435	0,01	11,79923	0,0687	0,005893

*błąd policzony metodą różniczki zupełnej, przyjmując za błąd dokładności pomiaru zarówno z lewej jak i z prawej strony 0,01mm.

$$r_{m} = \left| \frac{\partial\left( \frac{l - p}{2} \right)}{\partial l} \right|\left| l \right| + \left| \frac{\partial\left( \frac{l - p}{2} \right)}{\partial p} \right|\left| p \right|$$

$${{r}_{m}}^{2} = \left| \frac{{\partial\left( \frac{l - p}{2} \right)}^{2}}{\partial l} \right|\left| l \right| + \left| \frac{{\partial\left( \frac{l - p}{2} \right)}^{2}}{\partial p} \right|\left| p \right|$$

Gdzie: l- lewa strona pomiaru średnicy, p- prawa strona pomiaru średnicy.

Aproksymacja liniowa:

r_m² = Rλm → Y = B * X; Y = r_m², X = m * λ,  B = R 

Tabela współczynników aproksymacji wykonanej przy pomocy programu Origin (podczas aproksymacji uwzględniono Y):

Parametr	wartość	Błąd
B	2012, 24982	7,20515

$$\overset{\overline{}}{R} = 2012,\ 24982\ mm$$

Błąd przypadkowy:

R_p = 7, 20515 * t_{(β = 0, 692; k = 9)} = 7, 20515 * 1, 06 = 7, 64

Błąd systematyczny policzony dla pierwszego pomiaru:

$${R}_{s} = \left| \frac{\partial R}{\partial r_{m}} \right|\left| r_{m} \right| = \ \left| \frac{2}{\text{λm}}*r_{m} \right|\left| r_{m} \right| = 37,94$$

Obliczenie błędu ostatecznego metodą wariancji:

$$R = \sqrt{{{R}_{p}}^{2} + \frac{{{R}_{s}}^{2}}{3}} = 23,2$$

Wynik ostateczny:

R = 2012, 2 ± 23, 2 [mm];  β = 0, 682

Pomiary dla pierwszej nieznanej długości fali.

m	m * R	m * R		dm[mm]	rm[mm]	rm	rm^2[mm^2]	rm^2[mm^2]
1	2012,25	23,2		2,38	1,19	0,01	1,4161	0,0238
2	4024,5	46,4		3,23	1,615	0,01	2,608225	0,0323
3	6036,749	69,6		3,91	1,955	0,01	3,822025	0,0391
4	8048,999	92,8		4,46	2,23	0,01	4,9729	0,0446
5	10061,25	116		4,95	2,475	0,01	6,125625	0,0495
6	12073,5	139,2		5,4	2,7	0,01	7,29	0,054
7	14085,75	162,4		5,81	2,905	0,01	8,439025	0,0581
8	16098	185,6		6,2	3,1	0,01	9,61	0,062
9	18110,25	208,8		6,59	3,295	0,01	10,85703	0,0659
10	20122,5	232		6,92	3,46	0,01	11,9716	0,0692

Obliczenie długości fali świetlnej za pomocą aproksymacji liniowej:

r_m² = Rλm → Y = BX; Y = r_m²,  X = Rm,  B = λ

Tabela współczynników aproksymacji wykonanej przy pomocy programu Origin (podczas aproksymacji uwzględniono Y):

Parametr	wartość	Błąd
B	5,01176E-4	3,40286E-6

$$\overset{\overline{}}{\lambda} = 5,01176e - 4\ mm$$

Błąd przypadkowy:

λ_p = 3, 40286 * t_{(β = 0, 692; k = 9)} = 3, 40286 * 1, 06 = 3, 607032e − 6

Błąd systematyczny dla pierwszego pomiaru:

$${\lambda}_{s} = \left| \frac{\partial\lambda}{\partial R} \right|\left| R \right| + \left| \frac{\partial\lambda}{\partial r_{m}} \right|\left| r_{m} \right| = \left| \frac{2r_{m}}{\text{Rm}} \right|\left| r_{m} \right| + \left| \frac{{r_{m}}^{2}}{R^{2}*m} \right|\left| R \right| = 1,994e - 5$$

Obliczenie błędu ostatecznego metodą wariancji:

$$\lambda = \sqrt{{{\lambda}_{p}}^{2} + \frac{{{\lambda}_{s}}^{2}}{3}} = 1,2e - 5$$

Wynik ostateczny dla pomiaru długości fali świetlnej pierwszej nieznanej próbki:

λ = (5,01±0,12) e − 4 mm dla β = 0, 682

Pomiar dla drugiej nieznanej długości fali.

M	R	R	mR	m * R	dm	rm	rm	rm^2	rm^2
1	2012,25	23,2	2012,25	23,2	1,87	0,935	0,01	0,874225	0,0187
2	2012,25	23,2	4024,5	46,4	2,74	1,37	0,01	1,8769	0,0274
3	2012,25	23,2	6036,749	69,6	3,46	1,73	0,01	2,9929	0,0346
4	2012,25	23,2	8048,999	92,8	4,01	2,005	0,01	4,020025	0,0401
5	2012,25	23,2	10061,25	116	4,51	2,255	0,01	5,085025	0,0451
6	2012,25	23,2	12073,5	139,2	4,97	2,485	0,01	6,175225	0,0497
7	2012,25	23,2	14085,75	162,4	5,37	2,685	0,01	7,209225	0,0537
8	2012,25	23,2	16098	185,6	5,79	2,895	0,01	8,381025	0,0579
9	2012,25	23,2	18110,25	208,8	6,13	3,065	0,01	9,394225	0,0613
10	2012,25	23,2	20122,5	232	6,46	3,23	0,01	10,4329	0,0646

Obliczenie długości fali świetlnej za pomocą aproksymacji liniowej:

r_m² = Rλm → Y = BX; Y = r_m²,  X = Rm, B = λ

Tabela współczynników aproksymacji wykonanej przy pomocy programu Origin (podczas aproksymacji uwzględniono Y):

Parametr	wartość	Błąd
B	5,1445E-4	2,97313-6

$$\overset{\overline{}}{\lambda} = 5,1445e - 4\ mm$$

Błąd przypadkowy:

λ_p = 2, 97313 * t_{(β = 0, 692; k = 9)} = 3, 40286 * 1, 06 = 3, 1515178e − 6

Błąd systematyczny dla pierwszego pomiaru:

$${\lambda}_{s} = \left| \frac{\partial\lambda}{\partial R} \right|\left| R \right| + \left| \frac{\partial\lambda}{\partial r_{m}} \right|\left| r_{m} \right| = \left| \frac{2r_{m}}{\text{Rm}} \right|\left| r_{m} \right| + \left| \frac{{r_{m}}^{2}}{R^{2}*m} \right|\left| R \right| = 1,09e - 5$$

Obliczenie błędu ostatecznego metodą wariancji:

$$\lambda = \sqrt{{{\lambda}_{p}}^{2} + \frac{{{\lambda}_{s}}^{2}}{3}} = 7,037e - 6$$

Wynik ostateczny dla pomiaru długości fali świetlnej pierwszej nieznanej próbki:

λ = (5, 145 ± 0, 074)e − 4 mm dla β = 0, 682

Część druga- Interferometr Michelsona

Światło lasera pada na półprzepuszczalne zwierciadło, które na ma celu podzielić wiązkę na dwie: pierwsza z nich pada na ZN i po odbiciu pada na czujnik fotoelektryczny, wiązka druga pada na zwierciadło ZR i po kolejnych odbiciach trafia również na czujnik.

Przesunięcie zwierciadła ZR powoduje „przesunięcie się” pierścieni w wyniku zmiany warunków wzmocnienia. Warunek powstania maksimów ma postać:

Nλ = 2d

Gdzie: d- przesuniecie zwierciadła

Wykonanie ćwiczenia:

1. Włączyliśmy urządzenia pomiarowe i ustawiliśmy w tryb licznika impulsów

2. Zgasiliśmy światło

3. Ustawiliśmy śrubę mikrometryczną do pozycji wyjściowej i wyzerowaliśmy licznik

4. Zmierzyliśmy ilość impulsów dla zadanych wartości przesunięcia śruby mikrometrycznej.

Wyniki pomiarów

	próba
Przesunięcie [mm]	1	2	3	średnia
0,01	29	30	32	30,33333
0,02	65	59	59	61
0,03	88	95	90	91
0,04	124	118	121	121
0,05	149	148	150	149

*błąd policzono metodą średniego błędu kwadratowego wartości średniej, ** uwzględniono współczynnik t-studenta dla β=0,682

Metoda aproksymacji liniowej, celem wyznaczenia długości fali świetlnej:

Nλ = 2d → Y = B * X; Y = 2d,  X = N; B = λ

Tabela wyników aproksymacji:

Parametr	Wartość	Błąd
B	6,6487e-4	2,89347e-6

Wartość średnia λ:

$$\overset{\overline{}}{\lambda} = 6,649e - 4\ mm$$

Błąd przypadkowy:

λ = blad * t_{(β = 0, 682; k = 4)} = 3, 327e − 6

Błąd systematyczny dla pierwszego pomiaru:

$$\lambda = \frac{2d}{N}$$

$$\lambda_{s} = \left| \frac{\partial\lambda}{\partial N} \right|\left| N \right| + \left| \frac{\partial\lambda}{\partial d} \right|\left| d \right|$$

Gdzie: N- 0,3% pomiaru+$\ \frac{1}{2}$ ostatniej cyfry znaczącej; d- 0,001mm

λ_s = 7, 879e − 5 mm

Obliczenie błędu ostatecznego metodą wariancji:

$$\lambda = \sqrt{{{\lambda}_{p}}^{2} + \frac{{{\lambda}_{s}}^{2}}{3}} = 4,56e - 5$$

Wynik ostateczny:

λ = (6, 649 + 0, 46) e − 4 mm dla β = 0, 682

Podsumowanie:

W pierwszej części znając długość fali światła sodowego wyznaczyłem nieznany promień soczewki. Następnie wykorzystując znajomość promienia soczewki, wyznaczyłem długości nieznanych fal świetlnych które badałem następnie. Wartości otrzymane zgadzają się rzędem wielkości z wartościami fali światła widzialnego, więc można iż nie popełniłem zarówno w pracy laboratoryjnej jak i w obliczeniach błędu grubego.

W drugiej części ćwiczenia, miałem wyznaczyć długość fali światła na podstawie ilości zliczeń maksimów interferencyjnych, w zależności od przesunięcia zwierciadła. W laboratorium jako źródło fali wykorzystałem laser o barwie światła czerwonej. Otrzymany wynik przeze mnie pokrywa się z tablicowymi wartościami dla tej barwy, można więc przyjąć, że ćwiczenie zostało wykonane prawidłowo.